复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十一（解答）

第十一章第1节4. (1) S° =(x,y)x>0,y± 0); aS = (x,y)x =0或x >0, y=0);S=(x,y)x≥0)(2) S° = (x, )0x)(2) D= (x, y,2)] x >0, y >0,z >0);(3) D=(x,y,2) r? ≤x? +y2 +2 ≤r2(4) D=(x, y,2)[≤x? +y2, x? +y2 +0)2. f(x):(1+x2)23. f(x)=x2 +2x, z(x,y)=x+/y-14.（1）不存在；（2）不存在；（3）不存在；（4）极限存在为零，提示：利用平均值不等式x4 +x*+v8x4 + y8128,,8ro33

第十一章 第 1 节 4. (1) = { } (x, y) x > 0, y ≠ 0 D S ; ∂ S = {(x, y) x = 0或x > 0, y = 0}; S = { } (x, y) x ≥ 0 . (2) {( , ) 0 1} 2 2 = x y x} 2 2 ; (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 ; (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R ; (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ . 2. 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = . 3. f (x) x 2x , 2 = + z(x, y) = x + y −1. 4. (1) 不存在；（2）不存在；（3）不存在； （4）极限存在为零. 提示: 利用平均值不等式 = + 3 4 8 x y 3 8 8 4 4 8 4 1 3 2 1 2 1 x y x x y ≥ + + . 1

7.（1)1;(2)+0;(3)(4)2;(5)1;(6)0;(7)+00;(8)02.8.（1）两个二次极限存在为0，二重极限不存在；（2）两个二次极限存在分别为1和-1，二重极限不存在；（3）两个二次极限不存在，二重极限存在为0。11.提示：利用Lagrange中值定理f(x)-f(y)=f"()(x-y)12. 提示: 利用[f(x,J)-f(xo, yo)≤[(x,)-(x, yo)+[f(x,o)-f(xo,o)第3节3. 提示： (1-,1-)- f(1-,1-1)→+82n1/2nn5.（1）提示：任取一点(xo,yo)，由，limf(x,y)=+，可知存在R>0，当x +y >R2,成立 f(x,J)>f(xo,y)。f(x,y)在紧集(x,)x2 +y≤R)上必定取到最小值，且此最小值就是它在R?上的最小值；(2）提示：任取(xo,yo），设f(xo,yo)>0，由，limf(x,y)=0，可知存在R>0，当x? +y>R?,成立 f(x,y)0，当x2+>R，成立f(x,J)>(xo,o)，+则f(x,J)在紧集((x,)x2+y2≤R2)上必定取到最小值，且此最小值就是它在R2上的最小值。6.提示：单位球面是R”上的紧集，设f在单位球面上的最小最大值分别为a和b，再利用f(x)=xx8.提示：设seaD，证明对任意点列(）（x,eD，x→s），点列(f(x))收敛且极限只与s有关，而与点列(xn）的选取无关，记该极限为g(s)，令XEDF()=[(x)XeaD'(g(x)再证明了在D连续。2

7. （1）1;（2）+ ∞ ;（3） 2 1 ;（4）2 ;（5）1;（6）0 ;（7）+ ∞ ;（8）0 . 8. (1) 两个二次极限存在为0 ，二重极限不存在； （2）两个二次极限存在分别为1和−1，二重极限不存在； （3）两个二次极限不存在，二重极限存在为0 。 11. 提示：利用 Lagrange 中值定理 f (x) − f ( y) = f '(ξ )(x − y). 12．提示: 利用 f (x, y) − f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) − f (x, y0 ) + ( , ) ( , ). 0 0 0 f x y − f x y 第 3 节 3. 提示： − − ) − 2 1 ,1 2 1 (1 n n f − − ) → +∞ 1 ,1 1 (1 n n f . 5.（1）提示：任取一点(x0 , y0 ) ，由 = +∞ + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y ，可知存在 ，当 ，成立 。 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必 定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值； （2）提示：任取(x0 , y0 ) ，设 f (x0 , y0 ) > 0 ，由 lim ( , ) 0 2 2 = + →+∞ f x y x y ，可知存在 ， 当 ，成立 ，则 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 6．提示：单位球面是 n R 上的紧集，设 在单位球面上的最小最大值分别为 和 ，再利用 f a b ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = x x f (x) x f 。 8. 提示: 设ς ∈ ∂D , 证明对任意点列{xn } ( xn ∈ D , → ς n x ), 点列{ 收敛, 且极限只与 f (xn )} ς 有关, 而与点列{xn }的选取无关, 记该极限为 g(ς ) , 令 ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∂ ∈ = g x x D f x x D f x ( ) ( ) ( ) ~ ， 再证明 f ~在 D 连续。 2