复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题七（解答）

第七章第1节5.（1）可积(2）不可积(3）不可积.（4）可积-6.提示：の-0,()m8.提示：充分性：设f(x)≤M.=>0，存在划分P，使得振幅の,≥的小区间的长度之和小于s，于是o,Ax,0与。>0，对任意划分P，振幅の,≥6的小区间的长Z0;Ax, 不度之和不小于0，于是0;Ax,≥0，则当=max(Ax,）→0时，1isli=趋于零，9.提示：由于g(u)在[A,B]连续，所以一致连续，V>0,38>0,Vu,u"e[A,B],只要u'-u0与S>0，存在划分P，使得振幅の（f)≥的小区间的长度之和小于6，于是Z0,(g. J)Ar, J2*dx. (4) [esin xdx<[3)(2xd7.提示：原式可化为，2=a1[V(t)-1(b)dx=0, 由此推出在(a, +h)）上至少有一点n，满足f(n)-f(b)=0.再对f(x)在[n,b]上应用Rolle定理,1

第七章 第 1 节 5. (1) 可积. (2) 不可积. (3) 不可积. (4) 可积. 6. 提示: ( ) 1 ) 1 ( 2 f f m ωi ≤ ωi . 8. 提示: 充分性: 设 f (x) ≤ M . ∀ε = σ > 0 , 存在划分 P , 使得振幅ω ≥ ε i 的小区间的 长度之和小于ε , 于是∑ ; = ∆ 与σ 0 > 0，对任意划分 P ，振幅 0 ω ≥ ε i 的小区间的长 度之和不小于σ 0 , 于是∑ ，则当 = ∆ ≥ n i i i x 1 0 0 ω σ ε max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ x 时， 不 趋于零. ∑ = ∆ n i i i x 1 ω 9. 提示: 由于 g(u) 在[A, B]连续, 所以一致连续, ∀ε > 0 ,∃δ > 0 , , 只要 ∀u',u"∈[A, B] u'−u" 0与δ > 0 , 存在划分 , 使得 振幅 P ωi( f ) ≥ δ 的小区间的长度之和小于ε , 于是 ∑ = ∆ 1 0 xdx ∫ 1 0 2 x dx ∫ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 1⎛ 2 2 1 dx x ∫ 1 0 2 dx x . (4) ∫ 2 < 0 sin π xdx ∫ 2 0 π xdx . 7. 提示: 原式可化为 ∫ + − = − 2 [ ( ) ( )] 0 2 a b a f x f b dx b a ，由此推出在 ) 2 ( , a b a + 上至少 有一点η ，满足 f (η) − f (b) = 0 . 再对 f (x) 在[η,b]上应用 Rolle 定理. 1

8.提示：令x==0(ax)=y(x)，不等式化为r(y(x)dx)≤J((x)dx.对区a间[0,]作划分P，任取5,[x-1,x,]，由F"(x)≥0，利用Jensen不等式(第5.1节习题24),得到(y(5)AxT时，F(a)单调增加，于是F(a)在a=T取最小值，而最小值为零，所以F(a)=J'f(x)dx+ J,-'(y)dy -ab ≥011.提示：对任意划分P，设8=min(Ax）。当00 (A=0时等式显然成立).对任意的0<<A，取[α,β]c[a,b]，使得e[α,β]，且当xE[α,β]时,成立 0<A-8<f(x)≤A,于是2

8. 提示: 令 a t x = , ϕ(ax) =ψ(x) , 不等式化为 ( ) ( ) ∫ ≤ ∫ 1 0 1 0 f ψ(x)dx f ψ(x) dx . 对区 间[0,1]作划分 P , 任取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − , 由 , 利用Jensen不等式(第5.1节习 题 24), 得到 , 再令 f "(x) ≥ 0 ( ) i n i i n i i i f x ⎟ ≤ f ∆x ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∆ ∑ =1 =1 ψ(ξ ) ψ(ξ ) max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ x , 即得到所 要证明的不等式. 9. 提示: 设 ( ) ( ), 1 0 f x dx = f ξ ∫ ξ ∈ (0,1). 令 = ∫ − ∫ , 则 α α α 0 1 0 F( ) f (x)dx f (x)dx F'(α) = f (α) − f (ξ ) . 当0 T F(a) F(a) a = T ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ∫ ∫ + − ≥ a b − F a f x dx f y dy ab . 11. 提示: 对任意划分 P , 设 ( )i i n = ∆x 1≤ ≤ δ min . 当 0 0 (A = 0 0 < ε < A , 取[α, β ] ⊂ [a,b], 使得ξ ∈[α, β ] , 且当 x ∈[α, β ]时, 成立 0 < A − ε < f (x) ≤ A , 于是 2

[m(β-a)(A-)"，得到A-(Lf(x)"g(x)dxA，由的任意性，即得到所要证明的等式第3节4sinx(1) F(x)=-f(x). (2) F(x)= (lnx)(3) F(x)=1.4+(x -sin xcosx)x2(2)2e.(3)2.(4)0.(1) 1.43. 提示:Jef(0)dt<xj,f(t)dt直_17当x=1，f(x)取极小值4.12(1) 0. (2) 0.5.711111570401(2) ln2-6.(1)(3)(4)(5)(6)1052In3881622ln2In6KI1111号(sin1-cos1)+2(7) 0. (8)3e22(10)-In2(9)元15322222e11+e2:(13)(元+2ln2-2).（12)(11)(1- In2).9A12n(/1+ 1)+ In(/2 +1) -1. (16) 2F2/2-1,2/2 _1e2.(14)(15) 1nb22317-8ln2：提示：令t=x+1(17)32dx=ro_dt1则[1x+1(18)元；提示：令1=x-4Jo x4 +12+12x或x=tant（19）ln(2+V2)-In(/3+1).提示：令x=I3(20)2.提示：令x=1+sint元4211(2)(3)7.(1)2p+1元3

[ ] { } [ ]n b n n a n n n m A f x g x dx M b a A 1 1 1 ( − )( − ) < [ ( )] ( ) ≤ ( − ) ∫ β α ε . 令 n → ∞ , 得到 A { f x g x dx} A n b a n − ≤ ∫ ≤ 1 ε [ ( )] ( ) , 由ε 的任意性, 即得到所要证 明的等式. 第 3 节 1. （1）F'(x) = − f (x). （2） x f x F x (ln ) '( ) = . （3） 2 2 4 ( sin cos ) 4sin '( ) x x x x F x + − = . 2. （1）1. （2）2e . （3） 4 2 π . （4）0 . 3. 提示: . ∫ < x tf t dt 0 ( ) ∫ x x f t dt 0 ( ) 4. 当 x = 1, f (x) 取极小值 12 17 − . 5. （1）0 .（2）0 . 6. （1） 105 71 .（2） 2 1 ln 2 − .（3） ln 3 40 ln 6 70 2ln 2 15 + + .（4） 88 1 .（5） 16 1 .（6） 1 2 1 π − . （7）0 .（8） ln 2 2 1 32 1 4 1 2 π − π − .（9） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 − 2 5 1 2 π e .（10） 2 1 (sin1 cos1) 2 − + e . （11） ( 2ln 2 2) 12 1 π + − .（12） 3 2 2 1 9 2 e + e .（13） (1 ln 2) 4 1 − . （14） 2 2 2 2 1 2 2 2 1 e − e − . （15）ln( 1 1) ln( 2 1) 1 2 + e − + + − .（16） 3 2 3 . （17） 8ln 2 3 17 − ; 提示: 令t = x +1. （18） π 4 2 ; 提示: 令 x t x 1 = − , 则∫ = + 1 + 0 4 2 1 1 dx x x ∫−∞ + 0 2 2 t dt . （19）ln(2 + 2) − ln( 3 +1) . 提示：令 t x 1 = 或 x = tan t . （20） 2 4 3 π − . 提示: 令 x = 1+ sint . 7. （1） 2 1 .（2） 1 1 p + .（3） π 2 . 3

[o[on为奇数n为奇数8. (1)(2)(n-1)!!(n -1)ln为偶数.2元n为偶数元n!!!n!!(2n)!1( (20)!!(22)!!(-1)"m!(3) α2n+l(4)(5)(n + 1)+I(2n + 1)!!8((21)!(23)1)-(e? -1)n=02(6)其中pk为排列数+2-n!n>0F2Le-n-及o=-(e2 -1)提示：利用递推公式1，2222312210.(1). (2) (3)T16411a≤o-3P111211.(1) 285.(2) 0.(3)0<a<1. (4) 14-In(7))a+323I1a≥1e3113. Ine+112~2e4214 -2"-: 示-hsu-, a'g(t)dt115.提示：对等式的两边求定积分，得到e[" f(x)dx = J' In xdx - (e -1)f' f(x)dx516.提示：作变量代换u=2x-t，将等式化为公2x12 (u)du- (u)du=号arctan x?,2等式两边对x求导，再以x=1代入17. n2元218.元A

8. （1） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − 为偶数 为奇数 n n n n π !! ( 1)!! 0 . （2） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − 为偶数 为奇数 n n n n 2π !! ( 1)!! 0 . （3） (2 1)!! (2 )!! 2 1 + + n n a n .（4） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − (23)!! (22)!! (21)!! (20)!! 8 1 . (5) 1 ( 1) ( 1) ! + + − m m n m . （6） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⋅ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∑ = + n k n k n k e P n n e n 0 1 2 2 ! 0 2 1 2 1 2 1 ( 1) 0 2 1 , 其中 为排列数. k Pn 提示: 利用递推公式 1 2 2 2 1 n = − n− I n I e 及 ( 1) 2 1 2 I 0 = e − . 10. (1) 2 16 3 π . (2) 2 4 1 π . (3) 2 4 2 π . 11. (1) 285 . (2) 0 . (3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − + < < − ≤ 1 3 1 2 1 0 1 3 1 2 1 3 1 0 2 1 3 1 3 a a a a a a a . (4) 14 − ln(7!). 13. 4 2 1 2 1 2 1 ln e e + − + . 14. f "(1) = 2, f '''(1) = 5 ; 提示: = ∫ x g t dt x f x 0 2 ( ) 2 ( ) − ∫ x x tg t dt 0 ( ) + ∫ x t g t dt 0 2 ( ) 2 1 . 15. e 1 ; 提示: 对等式的两边求定积分, 得到 . ∫ = e f x dx 1 ( ) ∫ − e xdx 1 ln − ∫ e e f x dx 1 ( 1) ( ) 16． 4 5 ; 提示：作变量代换u = 2x − t ，将等式化为 ∫ − − x x x f u du 2 2 1 2 ( ) 2 2 2 1 arctan 2 1 uf (u)du x x x ∫ = − ， 等式两边对 x求导，再以 x = 1代入. 17. π . 2 n 18. π 2 . 4

19. 提示：g(x)=af(ax)-(x)=0,令x=1,得到对任何a,有f(a)=)20.提示：积分+2)nx-In2dx0=I(+)nx-In2 dx +(+2)nx-In2dx)x(2x)1对上面两积分中任意一个作变量代换x=4.21.提示：maxf(x)=(maxf(x)-minf(x))+minf(x)设maxf(x) =f(), min|f(x)|=f(n)],则max(x)-minf(x)=()-(n)≤()-f(n)=[,f(x)dx≤J(x)dx设()=(),则mn((=()22.提示：令F(x)=J(u)(x-u)du-Jl(x)dxpu，显然F(0)=0，只须证明F(x)=023.提示：()=)+(号)+((x)≥()+(-)对不等式两边积分注。本题也可直接利用7.2节习题8的结果，取g()=124.提示：(=)+(x-)+((x-)≤)+()将x换成x2，再对不等式两边积分注本题也可直接利用当"(x)≤0时与7.2节习题8相对应的结果，取α=1 , p(t)=r2.(2k+1)2k+2)元25.提示：[2"f(x)sin nxdx=+J2k+l)元f(x)sin nxdxf(x)sinnxdx+J2k元"25

19. 提示: g'(x) = af (ax) − f (x) ≡ 0 , 令 x = 1, 得到对任何a , 有 a f f a (1) ( ) = . 20. 提示：积分 dx x x x x f 2 ln ln 2 2 4 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + dx x x x x f 2 ln ln 2 2 2 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x x x f 2 ln ln 2 2 4 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ + 对上面两积分中任意一个作变量代换 t x 4 = . 21. 提示: max f (x) = (max f (x) − min f (x)) + min f (x) . 设max f (x) = f (ξ) , min f (x) = f (η) , 则 max f (x) − min f (x) = f (ξ ) − f (η) ≤ f (ξ ) − f (η) = ∫ ≤ ∫ b a f '(x)dx f '(x) dx ξ η ; 设 b − a 1 f (x)dx f (ς ) b a∫ = , 则 min f (x) ≤ f (ς ) ∫ − = b a f x dx b a ( ) 1 . 22. 提示: 令 = ∫ − x F x f u x u du 0 ( ) ( )( ) − ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) , 显然 , 只须证明 . F(0) = 0 F'(x) ≡ 0 23. 提示: 2 2 "( ) 2 1 2 2 ' 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a f x a x a f a f x f ξ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ 2 2 ' 2 a x a f a f , 对不等式两边积分. 注. 本题也可直接利用 7.2 节习题 8 的结果, 取ϕ(t) = t . 24. 提示: 2 3 1 "( ) 2 1 3 1 3 1 ' 3 1 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f x = f f x f ξ x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 3 1 3 1 ' 3 1 f f x , 将 x换成 , 再对不等式两边积分. 2 x 注. 本题也可直接利用当 f "(x) ≤ 0时与 7.2 节习题 8 相对应的结果, 取 a = 1 , . 2 ϕ(t) = t 25. 提示: ∫ ∑ ∫ ∫ − = + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + π π π π π 2 0 1 0 (2 1) 2 (2 2) (2 1) ( )sin ( )sin ( )sin n k n k n k n k n k f x nxdx f x nxdx f x nxdx 5

-2()- (+)sin tdt ≥026. 提示: 设g(x)=f(x)dx, 则g(0)=0, g(元)=0. 再令 h(x)=Jog(x)sinxdx,则 h(0)=0, h(元)= [g(x)sin xdx= [" f(x)cosxdx =0 . 对 h(x) 应用 Rolle 定理,可知存在ne(0,元)，使得h(n)=g(n)sin n=0,即g(n)=0.再对g(x)应用 Rolle定理，可知存在1E(0,n)，52E(n,元),使得f(与)=0，f(52)=0第4节163ln10_811-2. (5)99,(3)(2)(1)-ln2.(4) e+032210108341(.4元1m2 + b21a2（10)(7)a?元3a?(8).(9)(6)158334(11）元.（12）α2(13)at?3. .2at(14)提示：今a-t:0→+001+131+r3'22a?（15）/2元a2；提示：将曲线方程化成极坐标方程r2=2-sin?202.提示：取焦点（α.0)为极点，x轴为极轴，则抛物线的极坐标方程为4a22ac0+7求面积函数A(①)：-de的极值点，由A(①)=0可2J0(1-cos0)21-cos0得到9=280/10-83. (1)(e? +1). (3) In(seca+tana). (4) 6a. (5) 2元2a. (6) 8a(2)2743元a(7）元a/1+4元2+=1n2元+/1+4元K22716.3元h(2 AB + 2ab + Ab + aB). (2)5. (1)元abc.(3)3636

∑∫ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 0 0 sin 1 2 (2 1) n k tdt n k t f n k t f n π π π ≥ 0 . 26. 提示: 设 = ∫ , 则 x g x f x dx 0 ( ) ( ) g(0) = 0, g(π ) = 0 . 再令 , 则 , . 对 应用 Rolle 定理, 可知存在 = ∫ x h x g x xdx 0 ( ) ( )sin h(0) = 0 = ∫ = π π 0 h( ) g(x)sin xdx ( ) cos 0 0∫ = π f x xdx h(x) η ∈ (0,π ), 使得h'(η) = g(η)sinη = 0 , 即 g(η) = 0 . 再对 应用 Rolle 定理, 可知存在 g(x) (0, ) ξ 1 ∈ η , ( , ) ξ 2 ∈ η π ,使得 ( ) 0 f ξ 1 = , ( ) 0 f ξ 2 = . 第 4 节 1. （1） ln 2 2 3 − .（2） 3 16 .（3） 2 π .（4） 2 1 + − e e .（5） 10 81 ln10 10 99 − . （6） 15 8 .（7） 2 8 3 πa .（8） 3 2 3 4 π a .（9） ( ) 4 2 1 4 1 e − a π .（10） 2 2 2 1 πa + πb . （11）π .（12）a 2 . （13） 2 2 1 πa . （14） 2 2 3 a ；提示：令 3 1 t at x + = ， 3 2 1 t at y + = ，t : 0 → +∞ . （15） 2 2πa ；提示：将曲线方程化成极坐标方程 2 sin 2θ 2 2 2 2 − = a r . 2. 提 示 : 取焦点 (a,0) 为极点 , x 轴为极轴 , 则抛物线的极坐标方程为 1 cosθ 2 − = a r . 求面积函数 ∫ + − = θ π θ θ θ θ d a A 2 2 (1 cos ) 4 2 1 ( ) 的极值点, 由 A'(θ ) = 0 可 得到 2 π θ = . 3. (1) 27 80 10 − 8 . (2) ( 1) 4 1 2 e + . (3) ln(sec a + tan a) . (4) 6a . (5) a . (6) . 2 2π 8a (7) ( ) 2 2 ln 2 1 4 2 π 1+ 4π + π + + π a a . (8) 2 3πa . 4. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − a a 2 3 , 2 3 3 2π . 5. (1) (2 2 ) 6 AB ab Ab aB h + + + π . (2) πabc 3 4 . (3) 3 3 16 a . (4) 3 9 8 3 2 ⎟a ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − . 6

6.提示:(1)作区间[a,b]的划分P:a=xo<x<x2<<x,=b,则关于小区域(x,y)x-l≤x≤x,0≤y≤f(x))绕y轴旋转所得的体积有AV, = 元(x2 -x2)f(x) = 2元x,f(x)(2) 设x=r(0)cos, y=r(0)sin, a=r(α)cosα, b=r(β)cosβ. 则V=J'ndx -πar?(α)sin’α +rbr?(β)sin2 β21nf'd(y2x)=J'mdx +=Jm? sin? e(rcos -rsin0)de元[3r2'sin?0cos0+2r3sin0cos20-r3sin30)d0283(0)sin ed0.341元2,(1) 2元2 (3) 2 (4)() 6元°α,(1) 7元°a2元ab2. (2) (i)7. (1)231050m (7) (e3" +1)a (8)[2n(/2+1)-(5) 2元2α2b. (6)31548.2a5-10a2c3+15ac4-6c5=0.9. a=1./210.h2V212-(V2+1)元(S, + S2),11.(1) a=(2)26302x?两边关于x在[0,1]上积分，由(x)x=2,12.提示：(1)对xf(x)=f(x)+2+只x可化为（山)=，得到()=4+%又因为 x(s)=(x)+结合222x2+(4-a)x，其中常数ae[-8,4]a，解得f(x)=f(I)= 4+22元(α2+10a+160)，可知当a=-5时区域S绕x轴旋转所得的f(x)dx:(2)元30旋转体体积最小332元／P(2)2/2元+2元ln(/2+1)13. (1)2.37

6. 提示: (1) 作区间[a,b]的划分 P : , a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b 则关于小区域 { } ( , ) , 0 ( ) 1 x y x x x y f x i− ≤ ≤ i ≤ ≤ 绕 y 轴旋转所得的体积有 ( ) ( ) 2 1 2 i i i i V x x f x ∆ ≈ π − − 2 ( ) i i ≈ πx f x . (2) 设 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , a = r(α) cosα , b = r(β ) cos β . 则 = ∫ a b V y dx 2 π π α α 2 2 ( )sin 3 1 − ar π β β 2 2 ( )sin 3 1 + br = ∫ a b y dx 2 π + ∫ b a d( y x) 3 1 2 π = ∫ − α β πr sin θ (r'cosθ rsinθ )dθ 2 2 ( ) + ∫ + − β α π r r θ θ r θ θ r θ dθ 2 2 3 2 3 3 3 'sin cos 2 sin cos sin 3 1 = ∫ β α θ θ θ π r ( )sin d 3 2 3 . 7. (1) 2 3 4 πab . (2) (i) 2 2 1 π , (ii) . (3) 2 2π 3 105 32 πa . (4) (i) , (ii) . 2 3 6π a 2 3 7π a (5) a b . (6) 2 2 2π 3 3 8 πa . (7) 3 3 ( 1) 15 e + a π π . (8) 3 3 2 2 ln( 2 1) 4 a⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − π . 8. 2 10 15 6 0 . 5 2 3 4 5 a − a c + ac − c = 9. a = 1. 10. 2 2 1 3 b − . 11. (1) 2 2 a = , ( ) 6 2 3 1 1 2 min S + S = − ; (2) ( 2 1)π 30 1 + . 12. 提示：（1）对 2 2 3 '( ) ( ) x a xf x = f x + 两边关于 x在[0,1]上积分，由∫ = ， 1 0 f (x)dx 2 得到 2 (1) 4 a f = + . 又因为 2 2 3 '( ) ( ) x a xf x = f x + 可化为 2 3 ( )' a x f = , 结合 2 (1) 4 a f = + , 解得 x a x a f x (4 ) 2 3 ( ) 2 = + − , 其中常数a ∈[−8,4]. (2) ( 10 160) 30 ( ) 2 2 1 0∫ f x dx = a + a + π π , 可知当 a = −5时区域 绕 轴旋转所得的 旋转体体积最小. S x 13. (1) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − 2 3 2 3 (2 ) 3 2 a p p π p . (2) 2 2π + 2π ln( 2 +1). 7

b+/b2-a22元a2babarcsinVa?-b2d1232元a2. (6) (i) (4-2 /2)元a2; (i) 2/2元a2=元a2. (5)(4)5511/5-114.6V2V2R=2/2.(2) K=R=2V2a16.(1) KX4a3VPR= (2x+ p)217. (1) K3NP(2x+ p)2, R=(a*+b)x2-aFatb(2) K :atb[α2 +b2)x? - α4(3) K :R=3..3/laxy3.3/laxy(4) K=R=at.at18. (x-3) + (y+2)2 = 8第5节1. 75mg2. 5V5-1q63.5.4×107N4.2元2bpya?+b25.1.04×10%Jarep- x).69

(3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − − + = < + − − + a b a a b a b a b b ab a b a b a b b a b a a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 4 ln 2 2 π π π π π . (4) 2 5 12 πa . (5) 2 5 32 πa . (6) (i) 2 (4 − 2 2)πa ; (ii) 2 2 2πa . 14． π 6 11 5 −1 . 16. (1) 4 2 K = , R = 2 2 . (2) a K 4 2 = , R = 2 2a . 17. (1) 2 3 (2x p) p K + = , p x p R 2 3 (2 + ) = . (2) [ ]2 3 2 2 2 4 4 (a b )x a a b K + − = , [ ] a b a b x a R 4 2 3 2 2 2 4 ( + ) − = . (3) 3 3 1 axy K ⋅ = , R = 3⋅3 axy . (4) at K 1 = , R = at . 18. ( 3) ( 2) 8 . 2 2 x − + y + = 第 5 节 1. 75mg. 2. q 6 5 5 −1 . 3. N. 7 5.4×10 4. 2 2 2 2π bρ a + b . 5. J. 9 1.04×10 6. (2 ) 3 4 4 πgr ρ − ρ 水 . 8

4p7.38.9J.(729 π7_ 243 r5)2224+9T3957351-105s=1.06×10*s.10.3/g11.容器改为由曲线y=cx*绕y轴旋转所得的旋转曲面t-1oQ=Q0-2160012.18164,13. (t) =.提示：设B物质的浓度为y()，则(0≤1≤V400253 9.11kdl，解得y(0)=/2k+c.由(0)=号11得到k：与《)=dy="24255400y14. P(t)= Pmax -(Pmax - P(to0)e-(-),提示：P(t)满足方程dP=a(Pmax-P(t)dt15.提示：由dN=kNdt与N(O)=No，解得N(t)=Noek16.1000ln2m.提示：设废气浓度为y(t)，则dy=-1000(t)dt，解得ae_1000J(t) =1009

7. 2 4 3 4 πρω r . 8. 9J. 9. T T T T ⎟k ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − 35 2224 9 5 243 7 729 7 5 3 . 10. 5 10 3 1 × g s s. 4 = 1.06×10 11. 容器改为由曲线 y = cx 4 绕 y 轴旋转所得的旋转曲面. 12. 1600 0 0 2 t t Q Q − − = ⋅ . 13. 25 1 400 18 y(t) = t + , ) 3 64 (0 ≤ t ≤ . 提示: 设 B 物质的浓度为 y(t) , 则 dt y k dy = , 解得 y(t) = 2kt + c . 由 5 1 y(0) = 与 4 1 ) 2 1 y( = , 得到 400 9 k = , 25 1 c = . 14. . ( ) max max 0 0 ( ) ( ( )) t t P t P P P t e− − = − − λ 提示: P(t) 满足方程dP = λ(Pmax − P(t))dt . 15. 提示: 由dN = kNdt 与 0 N(0) = N , 解得 . kt N t N e0 ( ) = 16. 1000ln 2m. 提示: 设废气浓度为 y(t) , 则dy y(t)dt 1000 1 = − , 解得 1000 100 ( ) t e a y t − = . 9