复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题三（题目）

习题3.11.按函数极限的定义证明：lim x3=8;(2) lim Vx=2;(1)3→2x-→4x-11x+11(3)lim(4)limPx→3 x+1x→0 2x-1limInx=-00;lim e-*=0:(5)(6)x→0+x22x(8)(7)lim=+0;lim00。12+ x2 - 420x+1X-→-02.求下列函数极限：x?-1x? -1(2)(1)limlim 2x2 -x-1:2x2-x-1X~03x5-5x3 +2x(1+2x)(1+ 3x)-1(3)(4)limlimxx0x5 -x3 +3xx→0(1+x)" -1(1 + mx)" -(1+nx)"(5) (6)limlim-43x→0xx→0sinx-sina(7)lim(8)limx-ar→oI-0 1-coSxcos.x-cos3xtan x- sin x(9)(10)limlim4x31→0x→03.利用夹逼法求极限：[1!lim x (1)(2)lim xxx-→0x4.利用夹逼法证明：xk(1)lim=0(a>1，k为任意正整数)：1->+o α'In* x.lim(2) =0(k为任意正整数);xX→+05.讨论单侧极限：[10<x≤12xx2(1) f(x)=1<x<2,在x=0,12三点：2x2<x<312# +1(2) f(x)在x=0点：=12x-1(3)Dirichlet函数[1,x为有理数，D(x)=在任意点：10,x为无理数，11(4) (x)在x=(n = 1,2,3,...)。nxx1

习 题 3.1 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞ ； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞ ； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞ 。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ lim x→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ lim x→+∞ x x 1 。 4. 利用夹逼法证明： (1) lim x→+∞ x a k x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) lim x→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数); 5. 讨论单侧极限： (1) f x( ) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f x( ) = 2 1 2 1 1 1 x x + − ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f x( ) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 1

6.说明下列函数极限的情况：sinx(1) lim(2) lim e' sinx;xx→1(4) limlim x" sin-(3)(H(6) lim(5) lim7.设函数12+ersinxf(x) =4[x |1+ex问当x→O时，f(x)的极限是否存在？8.设limf(x）=A（a≥0)，证明：limf(x）=A。9.(1)设limf(x3）=A，证明：limf(x）=A。(2）设limf(x2）=A，问是否成立limf(x）=A?10.写出下述命题的“否定命题”的分析表述：(1)（x，)是无穷小量；(2）（x，）是正无穷大量；(3）f(x)在x。的右极限是A(4）f(x）在x。的左极限是正无穷大量；(5)当x→-00，f(x)的极限是A;(6）当x→+c0，f(x)是负无穷大量。11.证明limf(x)=+0的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于xo的数列(x,)（x>x。)，成立lim f(x,) = +o0 。12.证明limf(x)=-co的充分必要条件是：对于任意正无穷大量(x,)，成立lim f(x) =-0 。13.证明limf(x）存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量（x，)，相应的函数值数列f(x）)收敛。14．分别写出下述函数极限存在而且有限的Cauchy收敛原理，并加以证明：(1) lim f(x):(2)lim (x);(3) lim f(x)。15.设f(x)在(0,+oo)上满足函数方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A，证明f(x)=A, xE(0,+o0)。习题3.21.按定义证明下列函数在其定义域连续：1(1)y= Vx;(2) y = sin -x2

6. 说明下列函数极限的情况： (1) lim x→∞ sin x x ; (2) lim x→∞ e sin x x ; (3) lim x→+∞ x x α sin 1 ; (4) lim x→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) lim x→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) lim x→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x) 的极限是否存在？ 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f x( ) lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) (2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f x( ) 在 x0 的右极限是 A； (4) f x( ) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f (x) 是负无穷大量。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ }（ ＞ ），成立 limx x → +0 f (x) + ∞ x0 xn xn x0 lim n→∞ f xn ( ) = + ∞ 。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f (x) − ∞ xn lim n→∞ f xn ( ) = − ∞ 。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }，相应的函 数值数列{ }收敛。 lim x→+∞ f (x) xn f xn ( ) 14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加以证明： （1） lim ；（2） ；（3） 。 x x → 0 f x( ) limx x → +0 f x( ) lim x→−∞ f x( ) 15．设 f x( ) 在(0,+∞) 上满足函数方程 f (2x) = f (x) ，且 lim x→+∞ f (x) = A ，证明 f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 习 题 3.2 1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y = x ； (2) y = sin 1 x ； 2

sinxx+0,(3)x1x=0.2.确定下列函数的连续范围：1(1)y=tanx+cscx;(2) y=Vcosx(x -1)(x- 3)(3)(4) y=[x] n (1+x);yx+11(5) (6) y= sgn(sin x)。x3.若f(x)在点x连续，证明f2(x)与If(x)I在点x。也连续。反之，若2(x)或1f(x)在点x连续，能否断言f(x）在点x连续？4.若f(x)在点x。连续，g(x)在点x。不连续，能否断言f(x）·g(x)在点x。不连续？又若f(x）与g(x）在点x。都不连续，则上面的断言是否成立？5.若f,g在[a,b]上连续，则max(f.g】与min(f,g]在[a,b]上连续，其中max(f, g) =max (f(x), g(x)),xe[a,b]:min (f, g)=min (f(x),g(x)), xe[a,b]。6.若对任意8>0，f在［a+8,b-8］上连续，能否得出(1）f在(a,b)上连续?(2于在[a,b]上连续?7.设limf(x)=α>0，limg(x)=β，证明：limf(x)8()=αB；并求下列极限：2.x1+x+1(1)(2) limlimTon+xsinx-(3) (4) limlim(sina+0):nx-→a(sina1元limtan(5) 4n-→on)8.指出下列函数的不连续点，并确定其不连续的类型：x2-11(1) y=(2) y=[x] sin-x33x+2xx(3) y=(4) y=[2x] - 2[x];sinx11(5)(6) y= xln"[x|:y=a2x"x?-x/1+ 3x 1(7)y(8)y=[x(x2 - 1)V1+2x -1sin9sin x,x为有理数，(p,q互质，p>0),(9) y(10)ypp0,x为无理数；[0,x为无理数3

(3) y = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0. , 0, sin x x x x 2. 确定下列函数的连续范围： ⑴ y = tan x + csc x ； ⑵ y = 1 cos x ； ⑶ y = ( ) x x( x − − + 1 3 1 ) ； ⑷ y = [x] ln (1+x)； ⑸ y = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x 1 ； ⑹ y = sgn (sin x)。 3. 若 在点 连续，证明 与 | f x | 在点 也连续。反之，若 或 | f x | 在点 连续，能否断言 在点 连续? f x( ) x0 f x 2 ( ) ( ) x0 f x 2 ( ) ( ) x0 f x( ) x0 4. 若 f x( ) 在点 x0 连续， g(x) 在点 x0 不连续，能否断言 f x( ) ⋅ g(x) 在点 x 不连续? 0 又若 f x( ) 与 g(x) 在点 x 都不连续，则上面的断言是否成立? 0 5. 若 f , g 在[a,b]上连续，则 max { f , g }与 min{ f , g }在[a,b]上连续，其中 max{f，g} = max { f x( ) ， g(x) }，x∈[a,b]； min {f，g} = min { f x( ) ， g(x) }，x∈[a,b]。 6. 若对任意δ > 0，f 在［a +δ , b -δ ］上连续，能否得出 (1) f 在(a,b)上连续? (2) f 在[a,b]上连续? 7. 设 lim = ＞0， x x → 0 f x( ) α limx x → 0 g(x) = β ，证明： lim = ；并求下列极限： x x → 0 f x g x ( ) ( ) αβ ⑴ lim x→∞ 1 2 1 1 1 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x x x x ； ⑵ lim x→∞ x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 1 ； ⑶ lim x a → x a a x − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 sin sin (sin a ≠ 0) ； ⑷ lim n→∞ n n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 ； ⑸ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 4 tan π 。 8. 指出下列函数的不连续点，并确定其不连续的类型： ⑴ y = x x x 2 3 1 3 2 − − + ⑵ y = [x]sin 1 x ； ⑶ y = x sin x ； ⑷ y = [2x] - 2[x]； ⑸ y = 1 x n 2 1 e x − ； ⑹ y = x x ； n ln | | ⑺ y = x x x x 2 2 1 − | |( − ) ； ⑻ y = 1 3 1 1 2 1 + − + − x x ； ⑼ y = ⎩ ⎨ ⎧ ; , 0 sin , 为无理数 为有理数 ， x πx x ⑽ y = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > 0 . sin , ( , 0), 为无理数 互质 ， ， x p q p p q x p π 3

9.设f(x)在(0,+o0)上连续，且满足f(x）=f(x)，xE(0,+o0)，证明f(x)在(0,+o0)上为常数函数。习 题3.31.确定a与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于（～）ax：(1) u(x)= x5 - 3x + 2x3, (x-0, x-→00);x5+2x23x--43 (r-0, x-0);(2) u(x) =(3)(x)= /+ // (x-0+x-+80);(4) u(x)= x+ /x+ /x (x0+,x++0);(5)u(x)= /1+3x - /1+2x (x→0,x-+0):(6) 2(x)= /x2 +1 -x (x-+00);(7)u(x)= /x +x - x (x-0+);(8) u(x)= /1+x/x - e2 (x-0+);(9) u(x)=In cos x- arc tan x2 (x--0);(10)u(x)=1+tan x-/1-sinx (x→0)。2.（1）当x→+8o时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。α(a>1),x,xα(α>0)，In*x(k>0)，[x]l:(2）当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由11x(α>0),1n(k>0)(a>1)[q3.计算下列极限：V1+x_3/1+2x2cos.x(1) lim(2)limX-0+1cos/xIn(1 + 3x)x→0lim(Vi+x+x. V1-x+x2):lim (x+ /x+ Vx - /x):(3) (4)a'-aaxa-aa(5)(6)lim(a>0);lim(a>0):x-αx-ax-→aInx-Inalim x(In (1+x) - In x ):(7)(8)lim(a>0);x-→ax-a-(0)(9) lim(x+e)*;limcosx10x-→0a) limn("/x-1) (x>0);lim n2(/x."t/x)(x>0)。(2)习题3.41.证明：设函数f(x)在[a,+o)上连续，且limf(x）=A（有限数)，则f(x)在[a,+oo)有界。2.证明：若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且a+)和(b-)存在，则它可取到介于α+)4

9．设 f (x) 在(0,+∞) 上连续，且满足 ( ) ( ) ， 2 f x = f x x ∈ (0,+∞) ，证明 在 上 为常数函数。 f (x) (0,+∞) 习 题 3.3 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞）； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+,x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+,x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0,x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e (x→0+)； 2x (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α ＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由 xα (α ＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 3. 计算下列极限： ⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ →0+ lim x 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x a ln x a − − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 习 题 3.4 1．证明：设函数 在 上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 f x( ) [a,+∞) lim x→+∞ f (x) f x( ) [a,+∞) 2．证明：若函数 f x( ) 在开区间(a,b)上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则它可取到介于 f(a+) 4

和(b-)之间的一切中间值。3.证明：若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到(a)和(b)之间的一切值，则f(x)是[a,b]上的连续函数。4.应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。5.应用闭区间套定理证明零点存在定理。6.证明方程x=asinx+b（a,b>0）至少有一个正根。7.证明方程x+px+q=0（p>0）有且仅有一个实根。8.证明：（1）sin二在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a>0)上一致连续；x（2）sinx2在（-00,+o0）上不一致连续，但在[0,A]上一致连续；（3）/x在[0,+)上一致连续；(4）Inx在[1,+o)上一致连续；(5)cos/x在[0,+)上一致连续。9.证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点。10.设函数f(x)在[0,2]上连续，且(0)=八2)，证明：存在x，yE[0,2]，y-x=1，使得(x)=fy)。11.若函数f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界。12.证明：（1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续：（2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。13.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)±0,xE[a,b],证明f(x)在[a,b]上恒正或恒负。14.设函数f(x)在[a,b]上连续，a≤x,<x<…<x,≤b，证明在[a,b]中必有，使得f()=-[f(x)+f(x2)+...+ f(x.)]。15.若函数f(x)在[a,+o0)上连续，且limf(x）=A(有限数)，则f(x)在[a,+o0)上一致连续。5

和 f(b-)之间的一切中间值。 3．证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 4．应用 Bolzano-Weierstrass 定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。 5．应用闭区间套定理证明零点存在定理。 6. 证明方程 x = asin x + b （ a,b > 0 ）至少有一个正根。 7．证明方程 0（ ）有且仅有一个实根。 3 x + px + q = p > 0 8．证明： （1）sin 1 x 在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； （2）sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续，但在[0,A]上一致连续； （3） x 在[0,+∞) 上一致连续； （4）ln x 在[1,+∞)上一致连续； (5) cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 9．证明：对椭圆内的任意一点 P，存在椭圆过 P 的一条弦，使得 P 是该弦的中点。 10．设函数 在[0,2]上连续，且 f(0) = f(2)，证明：存在 x，y∈[0, 2]，y - x = 1，使得 f(x) = f(y)。 f x( ) 11．若函数 f x( ) 在有限开区间(a,b)上一致连续，则 f x( ) 在(a,b)上有界。 12．证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 13. 设函数 f x( ) 在[a,b]上连续，且 f (x) ≠ 0, x ∈[a,b]，证明 f x( ) 在[a,b]上恒正或恒负。 14．设函数 f x( ) 在[a,b]上连续， a ≤ x1 < x2 < " < xn ≤ b ，证明在[a,b]中必有ξ ，使 得 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) 1 2 n f x f x f x n f ξ = + +"+ 。 15．若函数 在 上连续，且 = A (有限数)，则 在 上一致 连续。 f x( ) [a,+∞) lim x→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 5