中国矿业大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第十章 重积分

810.1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质

§10.1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 -1-

一、二重积分的概念引例1设有一立体(如右图)底：是xOy面上的闭区域D;Z=f(x,y)侧面：以D的边界曲线为准线而母线平行z轴的柱面；顶：曲面z=f(x,y)，假定f(x,y)≥0且在D上连续求该曲顶柱体的体积V？平顶柱体：体积高×底面积

引例 1 设有一立体(如右图). -2-   ： 体积 平 柱体 高 顶 底面积 一、二重积分的概念 底：是 面上 xOy 的闭区域D； D z 以 的边界曲线为准线 而母线平行 轴 侧面： 的柱面； (, ) (, ) 0 z f xy f xy D   曲面 ，假定 顶： 且在 上连续. 求 的体积 该 ？ 曲顶柱体 V

①分割：将D任意分割成z,=f(5,n)Aoi,Ao2...",Aon既表示第i个小区域，Ao:#又表示它的面积，yVY4X②近似：任取(5i,n)eAo，AV, ~ f(5i,n).Ao,求和: V=AV,~Zf(5,n,)A;3-Zf(5i,n,)Ao, a=max[A,的直径)取极限：V=lim1-0i=1

④ 取极限： ① 分割： ② 近似： ③ 求和： -3- 将 任意分割成 D 1 2 ， ，      n i  ：既表示第 个小区域， i 又表示它的面积. (, ) ii i 任取 ，     (, ) V f i ii i       ， 1 1 (, ) n n i ii i i i V Vf           ； 0 1 lim ( , ) n ii i i V f          ，   1max . i i n       的直径

引例2设有一平面薄片，占有xOv面上的闭区域D它在点(x,y)处的面密度为p(x,y)，假定p(x,y)>0,且在D上连续，求其质量M？福均匀平面薄片：质量=面密度×面积

(, ) (, ) (, ) 0 xy xy x O y M x y D D    设有一平面薄片，占有 面上的闭区域 ， 它在点 处的面 引例 2 密度为 ，假定 且在 上连续，求其质量 ， ？ - 4 - 均匀平面薄 片：质量 面密  度 面积

①分割：将D任意分割成Ao,Ao2,..",AonD△：既表示第i个小区域，Ao,又表示它的面积(5,,n,)近似：任取(s,,n)eAo,2x0AM, ~ p(5,n.).△o,求和: M=AM,~p(5,n,)A;31-N取极限：M=limp(Si,n,)Ao,， =max[△o,的直径)元0il

-5- ① 分割：将 任意分割成 D 1 2 ， ，      n i  ：既表示第 个小区域， i 又表示它的面积. ② 近似： (, ) ii i 任取 ，     (, ) Mi ii i      ， ④ 取极限： ③ 求和： 1 1 (, ) n n i ii i i i M M           ； 0 1 lim ( , ) n ii i i M          ，   1max . i i n       的直径

定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数将D任意分割成n个小闭区域△o,Ao2,,Ao，其中△o表示第i个小闭区域，也表示它的面积；在每个△,上任取一点(5,n)，作乘积f(S,n)A，并作和f(s,n,)Ao,=令入表示各小闭区域的直径的最大值，若入一0时上述和式总有极限，则称该极限为f(x,y)在D上的二重积分，记做「[f(x,y)do,DD:积分区域即, J f(x,y)do =limZf(5,n,)A,.被积函数f(x,y):1>0i=10面积元素do:

1 2 , , D n n i i 将 任意分割成 个小闭区域 ，其中       表示第 个小闭区域，也表示它的面积; 令 各小闭区域的直径的 表示 最大值. -6- 定义：设 是有界闭区域 上的有 fy D (, ) x 界函数. 0 1 ( , ) lim ( , ) . n ii i D i f yd f x          即， 在每个 上任  i (, ) (, ) ii ii i 取一点 ，作乘积 ，     f  1 (, ) n ii i i f     并作和 .   (, ) (, ) D f xy D f xyd 二重  上述和式总有极限，则称该极限为 在 上的 积分，记做 , 若 时，   0 D：积分区域 d ：面积元素 f xy (, )：被积函数

注1：二重积分只与f(x,y)和D有关，而与D的分割方式和（si,n)的选取方式均无关注2:当f(x,y)在D上连续，则[lf(x,y)d存在D注3：在直角坐标系下，可用平行于坐标轴的直线网格分割 D, 则d = dxdy, [[ f(x,y)do也写成[[ f(x,y)dxdy.DL注4:依据定义，可得「do=D的面积.D注 5:曲顶柱体体积=[[f(x,y)do;DJI p(x,y)do.平面薄片质量=D7-

(, ) (, ) 1 i i f xy D D   注 ：二重积分只与 和 有关，而与 的分割方式 和 的选取方式均无关. (, ) (, ) . 5 D D f xyd xyd        曲顶柱体体积 ； 平面薄片质量 注 ： 2 (, ) ( . , ) D f xy D f xyd 注 ：当 在 上连续，则 存在 (, ) (, 3 ) . D D D d d    xdy f x y d f x y dxdy   注 在直角坐标系下， 直线网格 ， 可用平行于坐标轴的 分割 ， 也 则 写成 ： -7- 4 . D d D   注 ：依据定义，可得 的面积 

★二重积分的几何意义Z=f(x,y)设曲顶柱体的体积V.(1I) z= f(x,y) ≥0, ([ f(x,y)do =V;D(2) z= f(x,y)≤0, (/ f(x,y)do =-V;D(3)z=f(x,y)在D上变号，(f(x,y)do等于xOy面D上方曲顶柱体的体积一xOv面下方曲顶柱体的体积8

(1) ( , ) 0 ( , ) D z f xy f xyd V     ， ；  (2) ( , ) 0 ( , ) D z    f xy f xyd V  ， ；  (3) ( , ) ( , ) . D z f x y D f x y d xOy xOy    在 上变号， 面  等于 上方曲顶柱体的体积 面下方曲顶柱体的体积 ★二重积分的几何意义 设曲顶柱体的体积 V. - 8 -

二、二重积分的性质假定这里所涉及的函数在有界闭区域D上是可积的(1)常数因子可提到积分号之外：[kf(x,y)do=k[[f(x,y)do (k为常数).D?(2)函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和：[Lf(x, y)±g(x, y)]do =[[ f(x, y)do± [[ g(x, y)doDD(3)积分对区域的可加性：若D可分解为两个互不重叠的区域D和D，且f(x,y)在D和D,上均可积，则[[ f(x, y)do = [ f(x, y)do + [[ f(x, y)doDDD2

(1) ( , ) ( , ) ( ). D D kf x y d k f x y d k      常数因子可提到积分号之外： 为常数 二、二重积分的性质 -9- 假定这里所涉及的函数在有界闭区域 上是可积的 D . (2) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . D DD f xy gxy d f xyd gxyd         函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和： 1 2 12 12 (3) (, ) (, ) (, ) (, ) . DDD D D D f xy D D f xyd f xyd f xyd       若 可分解为两个互不重叠的 区域 和 ，且 在 和 上均可 积分对区域的可加性： 积，则

(4)积分保持不等号的性质：若在D上f(x,y)≤g(x,y),则[[f(x,y)do≤[[ g(x,y)do;DD特别的，[[ f(x, y)do≤ [[If(x, )]do.D(5)积分的估值不等式:设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则 mo≤[[f(x,y)do≤Mo.D(6)积分中值定理：设f(x,J)在闭区域D上连续，α为D的面积，则在D[l f(x, y)do = f(5,n)..上至少存在一点(5,n)，使得D-10-

-10- (4) (, ) (, ) (, ) (, ) D D D f x y g   x y f x y d g x y d 若在 上 ，   积分保持不等号的性质： 则 ； (5) (, ) (, ) , . D f xy m f xyd M Mm D    D    设 分别是 在闭区域 上的最大值和最小值， 为 积分的估值不等式 则 ： 的面积， (6) (, ) (, ) (, ) (, ) . D f xy D D D f xyd f         设 在闭区域 上连续， 为 的面积，则在 上至 积分中值定理： 少存在一 点 使得 ， (, ) (, ) . D D f xyd f xy d    特别的， 