沈阳师范大学：《数学分析》课程教学大纲 Mathematical Analysis（二）

《数学分析2》课程教学大纲(Mathematical Analysis II)一、课程说明课程代码：07051140课程总学时（理论总学时/实践总学时）：90（75/15）周学时（理论学时/实践学时）：6（5/1）学分：6开课学期：第2学期1.课程性质本课程是数学与应用数学专业必修课，是一门重要的核心课程。本课程为后续的专业学习（包括微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等）奠定坚实的数学分析基础，目的是让学生熟悉定积分和级数的基本内容，掌握相关的基本理论、方法和运算，培养学生具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想，提高运用数学分析理论工具解决实际问题的能力。2.课程目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：课程目标1：深刻理解数学分析中积分的思想，系统地掌握不定积分、定积反常积分的基本的定义、基本理论和方法：熟练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化为有理函数的积分方法：掌握定积分的可积条件、可积函数类以及无穷限和无界函数的反常积分，收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等基本概念，以及利用定义证明收敛性的方法。并能熟练地掌握平面图形面积、立体体积、弧长、旋转曲面的面积计算。掌握级数的收敛和发散、正项级数敛散性判别法以及交错级数的莱布尼茨判别法；熟练掌握函数列在区域上一致收敛等概念以及它们之间的区别与联系；同时掌握两类特殊的函数项级数（幂级数和傅里叶级数）敛散性的判别。掌握数学分析的基本知识和严谨的逻辑推理方法，熟悉数学分析中处理问题的方法，能理解具体和抽象、有限与无限的辩证关系。具有良好的逻辑推理能力、抽象思维能力以及严谨的数学语言表达能力。课程目标2：通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知

《数学分析 2》课程教学大纲 （Mathematical Analysis II） 一、课程说明 课程代码：07051140 课程总学时（理论总学时/实践总学时）：90（75/15） 周学时（理论学时/实践学时）：6（5/1） 学分：6 开课学期：第 2 学期 1.课程性质 本课程是数学与应用数学专业必修课，是一门重要的核心课程。本课程为后续的专业学习 （包括微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等）奠定坚 实的数学分析基础，目的是让学生熟悉定积分和级数的基本内容，掌握相关的基本理论、方法 和运算，培养学生具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想，提高运用数学分析理论 工具解决实际问题的能力。 2.课程目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 课程目标 1：深刻理解数学分析中积分的思想，系统地掌握不定积分、定积反常积分的 基本的定义、基本理论和方法；熟练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化 为有理函数的积分方法；掌握定积分的可积条件、可积函数类以及无穷限和无界函数的反常 积分，收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等基本概念，以及利用定义证明收敛性的方法。并 能熟练地掌握平面图形面积、立体体积、弧长、旋转曲面的面积计算。掌握级数的收敛和发 散、正项级数敛散性判别法以及交错级数的莱布尼茨判别法；熟练掌握函数列在区域上一致 收敛等概念以及它们之间的区别与联系；同时掌握两类特殊的函数项级数（幂级数和傅里叶 级数）敛散性的判别。掌握数学分析的基本知识和严谨的逻辑推理方法，熟悉数学分析中处 理问题的方法，能理解具体和抽象、有限与无限的辩证关系。具有良好的逻辑推理能力、抽 象思维能力以及严谨的数学语言表达能力。 课程目标 2：通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知

的欲望，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。课程目标3：通过课后分组作业，使学生掌握团队协作的相关知识与技能，具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神：能够与同伴、教师进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力。3.课程目标与毕业要求指标点对应关系毕业要求课程目标毕业要求分解指标点3.1系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，具有良好的数学抽象、课程目标1逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力：3.知识整合课程目标1.23.3掌握数学学科的基本思想和方法，了解数学的历史概况和发展的基本规律。10.1理解教学反思对教师专业成长和教育的价值：学会运用批判性思维方法，10.反思研究课程目标1.2.3独立思考判断，自主分析解决问题，养成从学生学习、课程教学、学科理解等不同角度反思分析问题的习惯。11.2掌握沟通合作技能，与同事合作交流，分享经验和资源，实现共同发展；11.交流合作能够与中学生、家长进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力课程目标2.3及符合社会发展的适用能力。4.教学内容及课时安排与课程目标的对应关系章次内容总课时理论课时实践课时支撑课程目标8第八章不定积分102课程目标1第九章定积分14122课程目标1、2、3课程目标1、2第十章定积分的应用651课程目标1、2第十一章871反常积分课程目标1、22第十二章数项级数1012课程目标1、33第十三章函数列与函数项级数1316课程目标1、2第十四章幕级数12102课程目标1、31210第十五章2傅里叶级数5.本门课程与其他课程关系本课程是大学一年级第二学期开设的专业课程，先修课程为数学分析1。通过本课程的学习可为数学分析3、微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等数学学科的后续课程提供必要的基础理论和基本方法

的欲望，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。 课程目标 3：通过课后分组作业，使学生掌握团队协作的相关知识与技能，具有团队协 作活动的体验，具备良好的团队协作精神；能够与同伴、教师进行有效的沟通交流，具有良 好的集体协作和组织协调能力。 3.课程目标与毕业要求指标点对应关系 毕业要求 毕业要求分解指标点 课程目标 3.知识整合 3.1 系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，具有良好的数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力； 课程目标 1 3.3 掌握数学学科的基本思想和方法，了解数学的历史概况和发展的基本规律。 课程目标 1.2 10.反思研究 10.1 理解教学反思对教师专业成长和教育的价值；学会运用批判性思维方法， 独立思考判断，自主分析解决问题，养成从学生学习、课程教学、学科理解等不 同角度反思分析问题的习惯。 课程目标 1.2.3 11.交流合作 11.2 掌握沟通合作技能，与同事合作交流，分享经验和资源，实现共同发展； 能够与中学生、家长进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力 及符合社会发展的适用能力。 课程目标 2.3 4. 教学内容及课时安排与课程目标的对应关系 章次 内容 总课时 理论课时 实践课时 支撑课程目标 第八章 不定积分 10 8 2 课程目标 1 第九章 定积分 14 12 2 课程目标 1、2、3 第十章 定积分的应用 6 5 1 课程目标 1、2 第十一章 反常积分 8 7 1 课程目标 1、2 第十二章 数项级数 12 10 2 课程目标 1、2 第十三章 函数列与函数项级数 16 13 3 课程目标 1、3 第十四章 幂级数 12 10 2 课程目标 1、2 第十五章 傅里叶级数 12 10 2 课程目标 1、3 5. 本门课程与其他课程关系 本课程是大学一年级第二学期开设的专业课程，先修课程为数学分析 1。通过本课程的学 习可为数学分析 3、微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析、概率论与数理统 计等数学学科的后续课程提供必要的基础理论和基本方法

6.推荐教材及参考书（1）《数学分析》（第四版）华东师范大学数学系编高等教育出版社2010年：（2）《数学分析》（第二版）陈纪修於崇华金路高等教育出版社2004年：（3）《数学分析》（第三版）复旦大学数学系编高等教育出版社2007年；（4）《数学分析》（第三版）郭大钧等，高等教育出版社2015年。7.课程教学方法与手段（1）教学方法：启发式教学法、讲授法、演示法（2）教学手段：学习通线上线下混合式教学8.成绩评定方法（1）总评成绩计算方法总评成绩=平时表现成绩（占总成绩的20%）+期末笔试试卷成绩（占总成绩的80%）注：平时成绩包括：课堂表现（占总成绩的5%）+阶段测验（占总成绩的3%）+各项作业成绩（占总成绩的12%）②各项作业成绩包括：共3项作业，每项作业分别占总成绩的4%。详见下表：平时表现占总成绩20%期末笔试试卷成课程总评成绩绩占总成绩80%课堂表现（5%）阶段测验（3%）各项作业（12%）152070课程目标1总评成绩=20%*平时成绩2030课程目标2+80%*期末笔试试卷成绩200课程目标325（2）课程分目标达成评价方法乙(毫分项所得总分×各分项所占总成绩比例)各分项应得总分课程分目标达成度=Z各分项所占总成绩比例（3）课程目标达成评价方法课程目标达成度=0.63*课程目标1达成度+0.28*课程目标2达成度+0.09*课程目标3达成度

6.推荐教材及参考书 （1）《数学分析》（第四版） 华东师范大学数学系编 高等教育出版社 2010 年； （2）《数学分析》（第二版） 陈纪修 於崇华 金 路 高等教育出版社 2004 年； （3）《数学分析》（第三版） 复旦大学数学系编 高等教育出版社 2007 年； （4）《数学分析》（第三版） 郭大钧等，高等教育出版社 2015 年。 7.课程教学方法与手段 （1）教学方法：启发式教学法、讲授法、演示法 （2）教学手段：学习通线上线下混合式教学 8.成绩评定方法 （1）总评成绩计算方法 总评成绩=平时表现成绩（占总成绩的 20%）+期末笔试试卷成绩（占总成绩的 80%） 注：①平时成绩包括：课堂表现（占总成绩的 5%）+阶段测验（占总成绩的 3%）+ 各 项作业成绩（占总成绩的 12%） ②各项作业成绩包括：共 3 项作业，每项作业分别占总成绩的 4%。 详见下表： 平时表现占总成绩 20% 期末笔试试卷成 绩占总成绩 80% 课程总评成绩 课堂表现（5%） 阶段测验（3%） 各项作业（12%） 课程目标 1 15 20 70 总评成绩=20%*平时成绩 +80%*期末笔试试卷成绩 课程目标 2 20 30 课程目标 3 25 20 0 （2）课程分目标达成评价方法    = 各分项所占总成绩比例 各分项所占总成绩比例） 各分项应得总分 各分项所得总分 （ 课程分目标达成度 （3）课程目标达成评价方法 课程目标达成度=0.63*课程目标 1 达成度+0.28*课程目标 2 达成度+0.09*课程目标 3 达成 度

9.实践教学安排习题课及学生分组讨论解决相关的课程内容。详见下表：时间学时实践内容2第2周第八章习题课2第5周第九章习题课1第6周第十章习题课1第8周第十一章习题课2第9周第十二章习题课3第12周第十三章习题课2第13周第十四章习题课第15周2第十五章习题课二、教学内容纲要第八章不定积分（10学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握原函数，不定积分等基本概念、性质及基本积分公式表。熟练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化为有理函数的积分。2.主要内容2学时8.1不定积分概念及基本积分公式3学时8.2换元积分法与分部积分法3学时8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握基本积分公式，不定积分的几何意义，换元积分法和分部积分法，有理函数的不定积分。（2）教学难点：理解不定积分的儿何意义，灵活运用代换的选择技巧，利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分

9.实践教学安排 习题课及学生分组讨论解决相关的课程内容。详见下表： 时间 实践内容 学时 第 2 周 第八章习题课 2 第 5 周 第九章习题课 2 第 6 周 第十章习题课 1 第 8 周 第十一章习题课 1 第 9 周 第十二章习题课 2 第 12 周 第十三章习题课 3 第 13 周 第十四章习题课 2 第 15 周 第十五章习题课 2 二、教学内容纲要 第八章 不定积分（10 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握原函数，不定积分等基本概念、性质及基本积分公式表。熟 练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化为有理函数的积分。 2.主要内容 8.1 不定积分概念及基本积分公式 2 学时 8.2 换元积分法与分部积分法 3 学时 8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 3 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握基本积分公式，不定积分的几何意义，换元积分法和分部积分法， 有理函数的不定积分。 （2）教学难点：理解不定积分的几何意义，灵活运用代换的选择技巧，利用欧拉代换 求某些无理根式的不定积分

第九章定积分（14学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生掌握定积分的定义、可积条件、可积函数类。熟练掌握定积分的性质。熟练掌握微积分学基本定理及定积分计算。掌握无穷限和无界函数的非正常积分，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛等基本概念，以及利用定义证明敛散性的方法。2.主要内容2学时9.1定积分概念2学时9.2牛顿一莱布尼兹公式3学时9.3可积条件9.4定积分的性质2学时3学时9.5微积分学基本定理·定积分的计算（续）3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握“分割、近似求和、取极限”变量数学思想，牛顿一莱布尼茨公式，理解定积分的必要条件、可积准则、可积函数类，掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理，微积分学基本定理。（2）教学难点：建立“分割、近似求和、取极限”变量数学思想，理解牛顿一莱布尼茨公式的证明，证明定积分的必要条件，可积函数类，理解较难的积分不等式的证明，理解积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项。第十章定积分的应用（6学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握平面图形面积、立体体积的计算。掌握曲线弧长、旋转曲面面积的计算。了解定积分在物理上的简单应用。2.主要内容1 学时10.1平面图形的面积1 学时10.2由平行截面面积求体积1 学时10.3平面曲线的弧长与曲率

第九章 定积分（14 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生掌握定积分的定义、可积条件、可积函数类。熟练掌握定积分的性质。 熟练掌握微积分学基本定理及定积分计算。掌握无穷限和无界函数的非正常积分，收敛，发 散，绝对收敛，条件收敛等基本概念，以及利用定义证明敛散性的方法。 2.主要内容 9.1 定积分概念 2 学时 9.2 牛顿—莱布尼兹公式 2 学时 9.3 可积条件 3 学时 9.4 定积分的性质 2 学时 9.5 微积分学基本定理·定积分的计算（续） 3 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握“分割、近似求和、取极限”变量数学思想，牛顿—莱布尼茨公 式，理解定积分的必要条件、可积准则、可积函数类，掌握定积分的基本性质和积分第一中 值定理，微积分学基本定理。 （2）教学难点：建立“分割、近似求和、取极限”变量数学思想，理解牛顿—莱布尼 茨公式的证明，证明定积分的必要条件，可积函数类，理解较难的积分不等式的证明，理解 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项。 第十章 定积分的应用（6 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握平面图形面积、立体体积的计算。掌握曲线弧长、旋转曲面 面积的计算。了解定积分在物理上的简单应用。 2.主要内容 10.1 平面图形的面积 1 学时 10.2 由平行截面面积求体积 1 学时 10.3 平面曲线的弧长与曲率 1 学时

1 学时10.4旋转曲面的面积1 学时10.5定积分在物理中的某些应用3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握平面图形面积的计算公式，由平行截面面积求体积的计算公式，平面曲线的弧长计算公式，旋转曲面面积的计算公式，微元法解决问题的思路和方法。（2）教学难点：掌握平面图形面积的计算公式及其应用，由平行截面面积求体积的计算公式及其应用，平面曲线的弧长计算公式及其应用，理解由参数方程定义的旋转曲面的面积，在物理上的应用。第十一章反常积分（8学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生理解反常积分的概念，掌握无穷积分和瑕积分的性质与收敛准则。2.主要内容2学时11.1反常积分的概念3学时11.2无穷积分的性质与收敛判别2学时11.3瑕积分的性质与收敛判别3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法，判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，瑕积分的收敛判别法则。（2）教学难点：理解反常积分是变限积分的极限，运用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，掌握瑕积分的收敛判别法则。第十二章数项级数（12学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握级数、级数的收敛和发散、级数的和等基本概念以及级数的性质，收敛条件。熟练掌握正项级数敛散性判别法。熟练掌握交错级数的菜布尼兹判别法。掌握条件收敛，绝对收敛的概念以及二者间的关系。了解绝对收敛级数的性质。2.主要内容3学时12.1级数敛散性

10.4 旋转曲面的面积 1 学时 10.5 定积分在物理中的某些应用 1 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握平面图形面积的计算公式，由平行截面面积求体积的计算公式， 平面曲线的弧长计算公式，旋转曲面面积的计算公式，微元法解决问题的思路和方法。 （2）教学难点：掌握平面图形面积的计算公式及其应用，由平行截面面积求体积的计 算公式及其应用，平面曲线的弧长计算公式及其应用，理解由参数方程定义的旋转曲面的面 积，在物理上的应用。 第十一章 反常积分（8 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生理解反常积分的概念，掌握无穷积分和瑕积分的性质与收敛准则。 2.主要内容 11.1 反常积分的概念 2 学时 11.2 无穷积分的性质与收敛判别 3 学时 11.3 瑕积分的性质与收敛判别 2 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法，判别无穷积分与瑕积分收 敛的方法，瑕积分的收敛判别法则。 （2）教学难点：理解反常积分是变限积分的极限，运用狄利克雷判别法或阿贝尔判别 法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，掌握瑕积分的收敛判别法则。 第十二章 数项级数（12 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握级数、级数的收敛和发散、级数的和等基本概念以及级数的 性质，收敛条件。熟练掌握正项级数敛散性判别法。熟练掌握交错级数的菜布尼兹判别法。 掌握条件收敛，绝对收敛的概念以及二者间的关系。了解绝对收敛级数的性质。 2.主要内容 12.1 级数敛散性 3 学时

12.2正项级数4 学时3学时12.3一般项级数3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握级数收敛定义和柯西准则，比式判别法和根式判别法，某些特殊类型的级数的收敛性问题。（2）教学难点：掌握用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性，判别法的推导和应用，以及判别法的灵活运用。第十三章函数列与函数项级数（16学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握函数列在一点、在区域上逐遂点、在区域上一致收敛等概念以及它们的区别与联系。了解函数列一致收敛的充要条件及判别。掌握函数项级数一致收敛的概念以及一致收敛的判别法。掌握一致收敛的函数列的极限的分析性质。2.主要内容4学时13.1一致收敛性9学时13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握一致收敛定义和判别方法，函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性。（2）教学难点：判别法的应用，在一致收敛的条件下证明各项分析性质。第十四章幂级数（12学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握与幂级数有关的基本概念及收敛半径，收敛区间和收敛域的求法。熟练掌握幂级数的内闭一致收敛性以及其和函数的性质。了解幂级数的相等条件及乘积性质。掌握函数的幂级数展开。2.主要内容6学时14.1幂级数4学时14.2函数的幂级数展开

12.2 正项级数 4 学时 12.3 一般项级数 3 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握级数收敛定义和柯西准则，比式判别法和根式判别法，某些特殊 类型的级数的收敛性问题。 （2）教学难点：掌握用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性，判别法的推导和应用， 以及判别法的灵活运用。 第十三章 函数列与函数项级数（16 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握函数列在一点、在区域上逐点、在区域上一致收敛等概念以 及它们的区别与联系。了解函数列一致收敛的充要条件及判别。掌握函数项级数一致收敛的 概念以及一致收敛的判别法。掌握一致收敛的函数列的极限的分析性质。 2.主要内容 13.1 一致收敛性 4 学时 13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 9 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握一致收敛定义和判别方法，函数列与函数项级数的确定的函数的 连续性、可积性与可微性。 （2）教学难点：判别法的应用，在一致收敛的条件下证明各项分析性质。 第十四章 幂级数（12 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握与幂级数有关的基本概念及收敛半径，收敛区间和收敛域的 求法。熟练掌握幂级数的内闭一致收敛性以及其和函数的性质。了解幂级数的相等条件及乘 积性质。掌握函数的幂级数展开。 2.主要内容 14.1 幂级数 6 学时 14.2 函数的幂级数展开 4 学时

3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握幂级数的收敛区间和内闭一致收敛性，对初等函数的幂级数展开。（2）教学难点：掌握幂级数收敛域的判定，用间接的方法以幂级数形式表示某些非初等函数。第十五章傅立叶级数（12学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握三角级数的概念与性质。熟练掌握求函数的傅里叶级数的方法。掌握收敛定理的意义及应用。2.主要内容4学时15.1傅立叶级数15.2以21为周期的函数的展开式2学时4学时15.3收敛定理的证明3.教学重点与难点（1）教学重点：掌握傅里叶级数展开式，以21为周期的函数的展开式，傅立叶级数收敛定理。（2）教学难点：傅里叶级数展开式中系数的确定及收敛定理的运用，对函数作相应的奇式或偶式延拓进行傅里叶级数展开，理解两个预备定理的证明。撰写人（签字)：杨玉审定人（签字）：张丽娜单位负责人（签字）：王立柱单位（盖章）：时间：2024年8月20日

3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握幂级数的收敛区间和内闭一致收敛性，对初等函数的幂级数展开。 （2）教学难点：掌握幂级数收敛域的判定，用间接的方法以幂级数形式表示某些非初 等函数。 第十五章 傅立叶级数（12 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握三角级数的概念与性质。熟练掌握求函数的傅里叶级数的方 法。掌握收敛定理的意义及应用。 2.主要内容 15.1 傅立叶级数 4 学时 15.2 以 2l 为周期的函数的展开式 2 学时 15.3 收敛定理的证明 4 学时 3.教学重点与难点 （1）教学重点：掌握傅里叶级数展开式，以 2l 为周期的函数的展开式，傅立叶级数收 敛定理。 （2）教学难点：傅里叶级数展开式中系数的确定及收敛定理的运用，对函数作相应的 奇式或偶式延拓进行傅里叶级数展开，理解两个预备定理的证明。 撰写人（签字）：杨玉 审定人（签字）：张丽娜 单位负责人（签字）：王立柱 单位（盖章）： 时间：2024 年 8 月 20 日