沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.4 矩阵的分块法

矩阵的分块2.4分块矩阵的定义11（按行、列分）2、分块矩阵的分法3、分块矩阵的运算(1)加法(2)（3）乘法数乘求逆(4)转置(5)

1、 分块矩阵的定义 2、分块矩阵的分法（按行、列分） 3、 分块矩阵的运算 （1）加法 （2）数乘 （3）乘法 （4）转置 （5）求逆 2.4 矩阵的分块

矩阵的分块C1]C, =[a例 CCiC01C,=10A =0aCCM0C0C4矩阵的分块就是将矩阵用若干条B,纵线和横线分成00aB许多个小矩阵，福每一个小矩阵称B,B2A=为子矩阵0bB,20bB, =[0 1 1 b]

1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 a a A b b              123 , BBB            例 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 a a A b b              ,            B a 1   1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 a B b        B b 3  0 1 1  C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4 矩阵的分块 4 0 01 1 C b b            3 0 1 0 0 1a C            C2  0 0  C a 1   1  矩阵的分块就是 将矩阵用若干条 纵线和横线分成 许多个小矩阵 ， 每一个小矩阵称 为子矩阵

B0EC0福0a-090a.....=[A A A A],A=按列分块5060B,aB,按行分块BBa

, B O E C         A A A A 1 2 3 4 , 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 a a A b b              1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 a a A b b              1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 a a A b b              1 2 3 4 , B B B B              按行分块 按列分块

矩阵分块的基本原则第一是要求作适当分块后，在矩阵运算中，把子矩阵当作“数”，像普通的数为元素的矩阵一样运算。第二是尽量使运算能简单方便因此矩阵分块时必须注意到矩阵的运算规则对于不同的运算，矩阵分块的原则也不相同！特点同行上的子矩阵有相同的“行数”；同列上的子矩阵有相同的“列数

第一是要求作适当分块后，在矩阵运算中，把 子矩阵当作“数” ，像普通的数为元素的矩阵 一样运算。第二是尽量使运算能简单方便. 因此矩阵分块时必须注意到矩阵的运算规则， 对于不同的运算，矩阵分块的原则也不相同! 矩阵分块的基本原则 特点 同行上的子矩阵有相同的“行数”； 同列上的子矩阵有相同的“列数”．

利用分块相加时分块矩阵的运算规则A、B的分法必须完全相同1.分块矩阵的加法设A、B都是mXn矩阵，将A、B按同样的方法进行适当分块Bi1B4A1B =BBslSrSr其中A,与B,的行数相同,列数相同,那末，Ar +B,Au + BuA+B=BBSTSYsr

, , 其中A B ij ij 与 的行数相同 列数相同 那末， 11 11 1 1 1 1 . r r s s sr sr A B A B A B A B A B                 11 1 11 1 1 1 , r r s sr s sr A A B B A B A A B B                       分块矩阵的运算规则 1. 分块矩阵的加法 设A、B 都是m×n矩阵，将A、B按同样的方法进行适当分块， 利用分块相加时， A、B的分法必须 完全相同

11123411福..例3224222！B=A=00800576-.65-187-1B,B2AA2B3B4作A+B运算,要求对2345A和B的行A, + BA, + B,3654列的分法A+B=A, +B,A4 +B4相同.5867:654L7:A, +B, =[1 2]+[1 1]=[2 3]

1 2 3 4 4 3 2 1 5 6 7 8 8 7 6 5 A              例 1111 2222 0000 1111 B               作 A+B 运 算 ,要求对 A 和 B 的 行 、 列 的 分 法 相同 . 1 2 3 4 A A A A        1 2 3 4 B B B B        1 1 2 2 3 3 4 4 A B A B A B A B A B             A B 1 1    1 2 1 1     2 3 2 3 4 5 7 6 5 6 6 5 5 4 7 8 4 3             

2．分块矩阵的数乘A7A=设矩阵A有分块Sr则数与分块矩阵的乘积kAkA =kAKASsr作kA运算，对A的分法无要求

11 1 1 ,            r s sr A A A A A 11 1 1 .            r s sr kA kA kA kA kA 作kA运算，对A的分法无要求. 2. 分块矩阵的数乘 设矩阵A有分块 则数与分块矩阵的乘积

3.分块矩阵的乘法设A是mXs矩阵，B是sXn矩阵，若A的列的分块方法与B的行的分块方法相同，即s.S.SB4AllB=12BAABtiShSIstCr1Cir则AB=Cs1CS其中C=ZABw(i=l,.,s, j =l,...,rk=利用分块作AB运算，A的列的分法与B的行的分法必须相同

11 1 11 1 1 1 , , t r s st t tr A A B B A B A A B B                       11 1 1 r s sr C C AB C C              1 1, , ; 1, , t ij ik kj k C A B i s j r  其中     利用分块作AB运算，A的列的分法与B的行的分法必须相同. 3. 分块矩阵的乘法 设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，若A的列的分块方法与B 的行的分块方法相同，即 1 s t s 1 s t s 则

[1[1000102-2例00112011-1已知A=B =?1010010130LO201.121[1求 AB."O[1000[11-2！210021101-1解AB=101000131LO1102[10:2111AlBr3B E,0Bz3E2E, LB21E,-

例 1 2 0 0 1 2 0 0 , 1 0 1 0 0 1 0 1 A               已知 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 , 3 0 1 0 1 1 2 0 1 2 B               求 AB. 解 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 AB               1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 3 0 1 0 1 1 2 0 1 2              11 11 2 13 2 2 21 2 23 A O B E B E E B E B          

解0[1-2！001201012010.一AB=0110301010Lo11210211BE,Br31E,E2B23.E2×32LB212x2CAA,Br3C/2A,BuC13C21C3CLBu + B21 2E, Bi3 + B2323A福4福1201324020302231

2 3 A B11 11         解 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 AB               1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 3 0 1 0 1 1 2 0 1 2              11 11 2 13 2 2 21 2 23 A O B E B E E B E B            2 2  2 3 2 3 11 12 13 21 22 23 C C C C C C         A11 A B11 13 B B 11 21  2 2E B B 13 23  .              3 2  1  2 1 2 1  2 0 4 2 3 4 0 0 2 2 0 1 3