沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第三章 线性方程组 3.4 线性方程组解的结构

第三章量线性方程组F=r+r=nfrn)Mg3.4线性方程组解的结构-nx(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

3.4 线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 主讲人：黄影

3.4线性方程组解的结构一齐次线性方程组解的结构aux, +ai2x2+... +ainx,= 0(1)a21x + a22X2 +... + a2nX, = 0asix +asx +.+asnx,=0解的性质性质1(1)的两个解的和还是(1)的解性质2(1)的一个解的倍数还是(1)的解性质3(1)的解的任一线性组合还是(1)的解

一、 齐次线性方程组解的结构 解的性质 性质1 (1)的两个解的和还是(1)的解. 性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解. 性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =  + + + =   + + + =  (1) 3.4 线性方程组解的结构

3.4线性方程组解的结构(1)若x = 51,x = 52 为 Ax = 0的解， 则 x = + 52 也是 Ax =0 的解证明：A=0,A=0:. A(5i + 52)= A5i + A52 = 0故x=1+2也是Ax= 0的解

(1)若 为 的解，则 =  1 x =  2 x , Ax = 0 x =  1 +  2 也是 Ax = 0 的解. 证明  A( 1 +  2 ) = A 1 + A 2 = 0  A 1 = 0, A 2 = 0 故 𝒙 = 𝝃𝟏 + 𝝃𝟐 也是𝑨𝒙 = 𝟎的解. 3.4 线性方程组解的结构

3.4线性方程组解的结构(2)若x=5为 Ax=0 的解，k为实数，则 x=k5也是Ax=0的解证明 A(k5)=kA(5)=k0=0证毕由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组Ax=0的解空间

(2)若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x =  1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0.  1 =  1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕. 3.4 线性方程组解的结构

3.4线性方程组解的结构定义齐次线性方程组(1)一组解向量ni,n2,"，nr，若满足i）n,n,n线性无关；ii）（1)的任一解向量可由ni,n2，n,线性表出则称 n1,n2…,n,为(1)的一个基础解系注基础解系是解向量组的极大线性无关组

齐次线性方程组(1)一组解向量    1 2 , , , r ， 若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 1 2 线性表出. , , ,   r i）    1 2 , , , r 线性无关； 则称    1 2 , , , r 为(1)的一个基础解系． 定义 3.4 线性方程组解的结构 注 基础解系是解向量组的极大线性无关组

3.4线性方程组解的结构定理在齐次线性方程组（1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n-r，其中n是未知量的个数，r=R(A)

定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数 等于 n r − ，其中n是未知量的个数， r R A = ( ) . 3.4 线性方程组解的结构

3.4线性方程组解的结构证明 若 R(A)= r<n，不妨设a11a12a1ra21a22.a2r+01：：：lar1ar2"arr则(1)可改写成a +a2x, +...+ai,x, = -al,r+1Xr+1-ainn(2)a21j +a22X2 +..+a2rx, =-a2,r+1Xr+1 -..-a2nna,+ar2X, +..+a.x, =-ar,+xr+1 -...-amn

证明 则(1)可改写成 若 R A r n ( ) =  ，不妨设 11 1 12 2 1 1, 1 1 1 21 1 22 2 2 2, 1 1 2 1 1 2 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + +  + +  + = − − −  + +  + = − − −   + +  + = − − −  (2) 3.4 线性方程组解的结构 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒓𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒓𝟐 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 𝒂𝟏𝒓 𝒂𝟐𝒓 ⋮ 𝒂𝒓𝒓 ≠ 𝟎

3.4线性方程组解的结构用 n-r 组数(1,0,··.,0),(0,1,.·.,0),··,(0,.,0,1)代入自由未知量（xr+1,Xr+2，.,xn），就得到(2)的 n-r 个解， 也即(1)的 n-r 个解n =(C11,Ci2..,C1r,1,0,...,0) n2 = (C21,C22,*,C2r, 0,1,...,0)[nn-r =(Cn-r,1,Cn-r,2,"*,Cn-r,r,0,0,..,1)且 n1,n2,,nn-,满足:①nin2,n-r线性无关

也即(1)的 n r − 个解 1 11 12 1 2 21 22 2 - - ,1 - ,2 - , ( , , , ,1,0, ,0) ( , , , ,0,1, ,0) ( , , , ,0,0, ,1) r r n r n r n r n r r c c c c c c c c c     =  =   =  用 n r − 组数 (1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0, ,0,1) 就得到(2)的 n r − 个解， 且    1 2 , , , n-r 满足： ① 线性无关. 3.4 线性方程组解的结构 1 2 , , ,   n-r 代入自由未知量 (𝒙𝒓+𝟏, 𝒙𝒓+𝟐, . , 𝒙𝒏)

3.4线性方程组解的结构事实上，若k,n+k,2+...+kn-rnn-r=0即 k1n1 + k2n2 + . + kn-rnn-r=(*,*,.*.,*,k1,k2,*,kn-r) =(0,0,...,0).. k, = k, =... = kn-r = 0,故n1,n2,…,nn-线性无关.②任取(1)的一个解n=(c,C2,,cn),可由n,n2,",nn-线性表出

事实上，若 1 1 2 2 - - 0, n r n r k k k    + + + = 1 2 ( , , , , , , , ) n r k k k =    − = (0,0, ,0) 1 2 0 n r k k k  = = = = − ， ② 任取(1)的一个解 1 2 ( , , , ), n  = c c c 即 故    1 2 , , , n r − 线性无关．  可由   1 2 , ， , n r − 线性表出． 3.4 线性方程组解的结构 𝒌𝟏𝜼𝟏 + 𝒌𝟐𝜼𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒏−𝒓𝜼𝒏−𝒓

3.4线性方程组解的结构事实上，由n，n2，nn-r是(1)的解，得Cr+11 + + Cnnn-r 也为(1)的解，即Cr+ +...+c,nn-r =(*,*,**,*,Cr+1,**,cn)为(1)的解.它与n 的最后n-r个分量相同,即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解n = Cr+1n1 + ... + Cnn-r由①②知，n,n2,,nn-r为(1)的一个基础解系

事实上，由    1 2 , , , n r − 是(1)的解，得 也为(1)的解，即 1 1 1 ( , , , , , , ) r n n r r n c c c c + − +   + + =    为(1)的解.它与  的最后 n r − 个分量相同， 即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解． 由①②知， 1 2 , , ,   n-r 为(1)的一个基础解系． 3.4 线性方程组解的结构 𝜼 = 𝒄𝒓+𝟏𝜼𝟏 + ⋯ + 𝒄𝒏𝜼𝒏−𝒓 𝒄𝒓+𝟏𝜼𝟏 + ⋯ + 𝒄𝒏𝜼𝒏−𝒓