复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题三（解答）

第三章第1节2/2112. (1): (2)(3)(4)5;(5)n;(6)nm(n-m)：（7)cosa（8）2：P321(9)4:(10)211n1则业≤1:3.（1）提示：0+x-→1-x->2r-2(2) lim f(x)=-l, lim f(x)=1:x>0-x>0-（3）D(x)在任意点无单侧极限；(4) lim f(x)=0, lim f(x)=1-nnoα1+00（4）不存在：（5）1：（6）不存在7.存在；提示：limf(x)=limf(x)=1x->0X>010. (1) 380>0,VN,n>N:n≥80 :(2) 3G>0,VN,3n>N:x,≤Go:(3) 60 >0, V8 >0,3xE(x0,Xo +8):|f(x)- A|≥80 :(4) 3G >0,V8>0,3x e(xo -8,xo): f(x)≤Gg :1

第三章 第 1 节 2．（1） 3 2 ；（2） 2 1 ；（3） 3 2 ；（4）5；（5）n ；（6） ( ) 2 1 nm n − m ；（7） ；（8） ； （9） ；（10） cosa 2 4 2 1 . 3．（1）提示：当 n x n 1 1 1 = 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x ； （2） 0 0 ∃G > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G ； （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε ； （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G ； 1

(5) 38 >0,VX >0,3xE(-00,-X):f(x)-A≥60 :(6) 3G >0, VX >0,3x E(X,+): f(x)≥-Go15.提示：Vxo E(0,+o0)，利用f(xo)=f(2"xo)与lim f(2"xo)=limf(x)=A第2节（k元（k+1)元）：（2）U(2k元-号,2k元+号); (3) (-1,1]U[3,+0);2. （1)2222EZ(4) (μ/x>-1, x@N*): (5) (-00,0)U(0,+0)/F1keZ, #0(6) U(k元,(k+1)元),5. 提示: max(f,g)=(x)+g()+(x)-g(x)min (f.g)=→(r()+g(x)-1(x)- g(x),7. (1) 1, (2) e2, (3) ecota, (4) efl, (5) e2.8.（1）x=1-2，第二类不连续点：(2）x=k（keZ,k±0)，第一类不连续点；x=0，第二类不连续点；（3）x=k元（kez,k±0)，第二类不连续点；x=0，第三类不连续点；(4) x =k（keZ)，第一类不连续点；2（5）x=0，第三类不连续点；（6）x=0，第三类不连续点；（7）x=0，第一类不连续点：x=1，第三类不连续点：x=-1，第二类不连续点：（8）x=0，第三类不连续点；（9）非整数点，第二类不连续点：（10）非整数有理点，第三类不连续点119.提示：Vxe(0,+)，利用f(x)=f(x2"），limx2"=1及f(x）的连续性，得到(x)= f(1)第3节1. (1) u(x)~2x3 (x-→0): u(x)~x (x→00):2

（5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε ； （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G . 15．提示： (0, ) ， 利用 与 . ∀x0 ∈ +∞ ( ) (2 ) 0 0 f x f x n = f x f x A x n n = = →∞ →+∞ lim (2 ) lim ( ) 0 第 2 节 2．（1） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∈ 2 ( 1) , 2 kπ k π k Z ∪ ；（2） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∈ 2 ,2 2 2 π π π kπ k k Z ∪ ；（3）(−1,1] [ ∪ 3,+∞)； （4）{ }+ x | x > −1, x ∉ N ；（5）{ } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −∞ +∞ | ∈ , ≠ 0 1 ( ,0) (0, ) \ k Z k k ∪ ； （6） ( ) π ,( +1)π ∈ k k k Z ∪ . 5．提示： { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 max f , g = f x + g x + f x − g x ； { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 min f , g = f x + g x − f x − g x . 7．（1）1，（2） ，（3） ，（4） ，（5） . 2 e a ecot x+1 e 2 e 8．（1） x =1,−2 ，第二类不连续点； （2） x = k (k ∈ Z,k ≠ 0) ，第一类不连续点； x = 0 ，第二类不连续点； （3） x = kπ (k ∈ Z,k ≠ 0) ，第二类不连续点； x = 0 ，第三类不连续点； （4） ( ) 2 1 x = k k ∈ Z ，第一类不连续点； （5） x = 0 ，第三类不连续点； （6） x = 0 ，第三类不连续点； （7） x = 0 ，第一类不连续点； x = 1，第三类不连续点； x = −1，第二类不连续点； （8） x = 0 ，第三类不连续点； （9）非整数点，第二类不连续点； （10）非整数有理点，第三类不连续点. 9．提示：∀x ∈ (0,+∞) ，利用 ( ) ( ) 2 1 n f x = f x ， lim 1 2 1 = →∞ n x n 及 的连续性，得到 . f (x) f (x) ≡ f (1) 第 3 节 1．（1）u(x) ～ 2x3 (x → 0) ；u(x) ～ x5 (x → ∞) ； 2

(2) u(x)~-2x- (x→0): u(x)~x(x→00)：323(3) u(x)~x3 (x→0+); u(x) ~x2 (x→+o0);11(4) u(x) ~ x8 (x →0+): u(x) ~x2 (x→+o0):(5) u(x)~ 5,x(x →0); u(x) ~ /3x2 (x-→+00);61x- (x→+0);(6) u(x)~2°1(7) u(x)~x2 (x →0+);(8) u(x) ~-2x(x→0+):2x (x→0);(9) u(x) ~2(10) u(x)~x(x→0)2. (1)Inx(k>0),xa(α>0),a(a>1),[x],x;11α(α>0)，(2)(a>1),xa(k>0)OE11（4)1,（5)ana，（6)αaα-l,3. (1)(2)0,((3)261(7)1,(8)(9)e2,(10)e-l,(11)lnx,(12) lnxa第4节8.提示：-1-→0，但sin(1)在(0,1)上，令x-sinXnXnxn元n元xnxnn元+2[xi -x2111在(a,I)上，利用不等式sinsinα?XiX2X2Xi在-80,+0)上，令x,=n元+号，，x,=n元，x,-x,→0，但(2）2sin(x,) - sin(,)|=1:3

（2）u(x) ～ 2 ( 0) ； ～ − x−1 x → u(x) ( ) 3 1 x x → ∞ ； （3）u(x) ～ ( 0 ) 3 2 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 3 x x → +∞ ； （4）u(x) ～ ( 0 ) 8 1 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 1 x x → +∞ ； （5）u(x) ～ ( 0) 6 5 x x → ；u(x) ～ 3 ( ) 2 1 x x → +∞ ； （6）u(x) ～ ( ) 2 1 1 → +∞ − x x ； （7）u(x) ～ ( 0 ) 2 1 x x → + ； （8）u(x) ～ − 2x (x → 0+) ； （9）u(x) ～ ( 0) 2 − 3 x 2 x → ； （10）u(x) ～ x (x → 0). 2．（1）lnk x (k＞0)， xα (α ＞0)，a (a＞1), [x]!, x x x ； (2) x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， xα (α ＞0)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0). 3．（1） 6 1 ，（2）0 ，（3） 2 1 ，（4）1，（5）a lna ，（6） ， α α−1 αa （7）1，（8） a 1 ，（9） ，（10） ，（11） ，（12） . 2 e −1 e ln x ln x 第 4 节 8．提示： （1） 在(0,1) 上，令 nπ xn ' 1 = ， 2 " 1 π π + = n xn ， 0 ，但 xn ' − xn " → 1 1 sin 1 sin ' " − = n n x x ； 在(a,1) 上，利用不等式 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 sin 1 sin a x x x x x x − − ≤ − ≤ . （2） 在 − ∞,+∞) 上，令 2 ' π xn = nπ + ， xn = nπ " ， 0 ，但 xn ' − xn " → sin( ) sin( ) 1 2 " 2 ' xn − xn = ； 3

在[0,A]上，利用不等式sinx-sin≤x-≤2Ax-x2利用不等式/-≤V/-x2（3）利用不 --(+ -(4)利用不等式cosx-cos-2/-x2（5）9.提示：过P点作弦，设弦与x轴的夹角为θ，P点将弦分成长度为l(①)和l2(①)的两线段。则f(0)=l;(0)-12(0)在[0,元]连续，满足f(0)=-f(元)，于是在[0,元]必有一个零点10.提示：令F(x)=f(x+1)-f(x)，则F(1)=-F(0)，于是F(x)在[0,1)必有一个零点14. 提示：min,((x)≤=[(x)+(x2)+.+ (x,)]≤ max((x)xe[a,b]15.提示：由limf(x)=A，V>0,X>a,Vx,x">X:|f(x)-f(x")<。由于f(x)→在[a,X+1]连续，所以一致连续，也就是30<1,Vx,x"[a,X+1]dx-<9)[f(x)-f(x")]<6。于是 Vx,x"[a,+0)(x'-x|<8):|f(x)-f(x")/<84

在[0, A] 上，利用不等式 1 2 2 2 2 1 2 2 2 sin x1 − sin x ≤ x − x ≤ 2A x − x . （3） 利用不等式 1 2 1 2 x − x ≤ x − x . （4） 利用不等式 1 2 2 1 2 ln 1 ln 2 ln 1 x x x x x x x ≤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + . （5） 利用不等式 1 2 1 2 1 2 cos x − cos x ≤ x − x ≤ x − x . 9．提示：过 P 点作弦，设弦与 x 轴的夹角为θ ，P 点将弦分成长度为 ( ) l 1 θ 和 ( ) l2 θ 的两线 段。则 ( ) ( ) ( ) f θ = l 1 θ −l2 θ 在[0,π ]连续，满足 f (0) = − f (π ) ，于是在[0,π ]必有一个零点. 10．提示：令 F(x) = f (x +1) − f (x) ，则 F(1) = −F(0) ，于是 F(x) 在[0,1]必有一个零点. 14．提示： min { ( )} [ , ] f x x∈ a b ≤ [ ] ( ) + ( ) + + ( ) ≤ 1 1 2 n f x f x f x n " max{ ( )} [ , ] f x x∈ a b . 15．提示：由 f x A ， x = →+∞ lim ( ) ∀ε > 0, ∃X > a, ∀x', x"> X : f (x') − f (x") < ε 。由于 在[ 连续，所以一致连续，也就是 f (x) a, X +1] ∃0 < δ <1, ∀x', x"∈[a, X +1]( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。于是 ∀x', x"∈[a,+∞)( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 4