复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题二（解答）

第二章第1节1.（1）反证法。若V6是有理数，则可写成既约分数V6=㎡。由m2=6n2，可知m是偶17数，设m=2k，于是有3n2=2k2，从而得到n是偶数，这与㎡是既约分数矛盾.n（2）提示：利用（1）的结论第2节n2n?n?1.（5）提示：2°c33n(1 +2)"3"3（6）提示：当n>5，有n!"5!2记的整数部分为m，则有兴/(2k-1)(2k+1)111115: (3)(4)0:(5)5:(6)9. (1) 3; (2)(7)0:(8)2: (9) 1;2UP1.352n-13.52n-1则2x，=1+（10）3，提示：设x=22232-12"2.2221/12n-1两式相减，得到x，=1+2(=+21-7)2*222nan.a..a.....lan11.提示：mla,aa2an-1n-112.（1）提示：设ai+a2+…+an=Sn，则kak=nSn-Sk，再利用例2.2.6的结论；k=lk=l（2）提示：利用定理1.2.2与（1）13.提示：令a，=a+αn，b,=b+β1

第二章 第 1 节 1．（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ，可知 是偶 数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾. （2）提示：利用（1）的结论. 第 2 节 1．（5）提示： 3 3 2 2 2 3 (1 2) 2 n n n C n n n 5，有 5 5 2 1 5! 3 ! 3 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n ； （7）提示：记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (2k −1)(2k +1) . 9．（1）3；（2） 2 1 ；（3） 3 1 ；（4）0 ；（5） 2 1 ；（6） 2 1 − ；（7）0 ；（8） 2 1 ；（9）1； （10）3，提示：设 n n n x 2 2 1 2 5 2 3 2 1 2 3 − = + + +"+ ，则 2 1 2 2 1 2 5 2 3 2 1 − − = + + + n n n x " ， 两式相减，得到 n n n n x 2 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 1 2( 2 1 − = + + + + − " − . 11．提示： n n n n n a a a a a a a a 2 1 3 1 2 1 − = ⋅ ⋅ ⋅"⋅ . 12．（1）提示：设 a1 + a2 +"+ an = Sn ，则 ∑ ，再利用例 2.2.6 的结论； = − = = − n k n k k nSn Sk ka 1 1 1 ∑ （2）提示：利用定理 1.2.2 与（1）. 13．提示：令 an = a +α n bn = b + β n , . 1

a, +a, +.+a-14．提示：注意有lim=ann-→o第3节2.（1）提示：设liman=+o0，则VG>0,3N,>0,Vn>N,:an>3G。对固定的Na +a+.an.GEN>2N,,Vn>N于是2na, +a2+..+an3GGaN+I+aN,+2 +...+anai+a, +.+anGn22nnk"a,+k"-'an--+...+ao7.提示：记k=a-，则a,+aan-+..+"ao再利用Stolzk"定理.8.提示：作代换ak=Ak-Ak-1，得到Piai + Ppa2 + ran = A, - 4(P2 - i)+ A(ps - 2)+.+ A-(P, -Pr-)PnPn再对后一分式应用Stolz定理第4节1：（2）e：（3）Ve：（4）1：（5）e；提示：当n≥2时，有1.(1)12(+)(+)(+)2.（1）依次证明x，-1，(xn)单调减少，limx,=-1;（4）依次证明xn0，当n≥2时x,≥V2及2

14．提示：注意有 a n a a an n = + + + − →∞ 1 2 1 lim " . 第 3 节 2．（1）提示：设 = +∞ ，则 →∞ n n lim a ∀G > 0,∃N1 > 0,∀n > N1 : an > 3G 。对固定的 N1 ， 2 , : ∃N > N1 ∀n > N 2 1 1 2 G n a a aN − = + + + − 2 2 1 2 " 1 3 。 7．提示：记 ，则 −1 k = λ n n n n n n n n k k a k a a a a a 1 0 1 1 0 + + + + + + = − − − " λ " λ ，再利用 Stolz 定理. 8．提示：作代换 ak = Ak − Ak−1，得到 = + + + n n n p p a p a " p a 1 1 2 2 n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) 1 2 − 1 + 2 3 − 2 + + −1 − −1 − " ， 再对后一分式应用 Stolz 定理. 第 4 节 1．（1） e 1 ；（2）e ；（3） e ；（4）1；（5）e ；提示：当 n ≥ 2时，有 n n n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −1，{xn }单调减少， lim = −1 →∞ n n x ； （4）依次证明 xn 0 ，当 n ≥ 2 时 xn ≥ 2 及 2

-x=-号+≤0，即(s）单调减少有下界；对X=-2，依次证明对任意n有2Xx,-/2及+-x,=-+≥0，即(）单调增加有上界.2xna+2b5.2；提示：先求数列(xn+1一x,)的通项公式xn+1-x,(b-a)，再利用32Xn = Xi +(x2 -x))+(x - x2)+..+(xn -Xn-1)6.（1)提示：a≤x,n，利用不等式xm一x，≤m-xm-/+xm-1-Xm-2+..+x+1-x15．提示：利用Cauchy收敛原理16．提示：采用反证法。不妨设()是单调增加的有界数列。假设它不收敛，则38>0,VN>0,3m,n>N:m-x,>80取N,=1,3m,>n>N,:xm-xm>60取N,=m,3m,>n,>N,:xm,-Xm>60取N=mk-1,3>>N:Xm-Xm>80于是xm-xm>k8→+o0(k→)，与数列(x,)有界矛盾3

0 1 2 +1 − = − + ≤ n n n n x x x x ，即 {xn }单调减少有下界；对 2 x1 = − ，依次证明对任意 n 有 xn ≤ − 2 及 0 1 2 +1 − = − + ≥ n n n n x x x x ，即{xn }单调增加有上界. 5． 3 a + 2b ; 提示：先求数列{xn+1 − xn }的通项公式 ( ) 2 1 1 1 x x b a n n n ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − + ，再利用 ( ) ( ) ( ) n = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + + n − n−1 x x x x x x " x x . 6．（1）提示： a ≤ xn n ，利用不等式 m n m m m m n n x − x ≤ x − x + x − x + + x − x −1 −1 −2 " +1 . 15．提示：利用 Cauchy 收敛原理. 16．提示：采用反证法。不妨设{xn }是单调增加的有界数列。假设它不收敛，则 ∃ε 0 > 0，∀N > 0 ，∃m,n > N ： 0 − > ε m n x x . 取 1, : ; 1 1 1 1 0 1 1 = ∃ > > − > ε m n N m n N x x "" , : ; 2 1 2 2 2 2 2 0 = ∃ > > − > ε m n 取N m m n N x x . , : ; 1 0 "" = ∃ > > − > ε − k k k k k k k m n 取N m m n N x x 于是 ( ) 0 1 xm − xn > k → +∞ k → ∞ k ε ，与数列{xn }有界矛盾. 3