沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件及其概率1.4 条件概率与乘法公式

1.4条件概率与乘法公式一、条件概率二、 乘法定理沈阳师范大学

一、条件概率 二、乘法定理 1.4 条件概率与乘法公式

一、条件概率引例1将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反两面的情况，设事件A为“至少有一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率分析设H为正面，T为反面S = HH, HT,TH,TT72A=B=HHHT,TH){HH,TT}, P(B)=342事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为1/4P(AB)+ P(B).P(BA), 则 P(BA) =3/43P(A)沈阳师范大学

将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两 面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事 件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 S = { HH, HT,TH,TT }. . 2 1 4 2 P(B) = = 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 P(B A), 3 1 则 P(B A) =  P(B). 3 4 1 4 = ( ) ( ) P A P AB = 设 H 为正面, T 为反面. 引例1 一、条件概率 A = {HH,HT,TH}, B = {HH,TT}

-引例2某运动员参加手枪射击项目，假设击中靶Q上的任意一点的机会均等．求：(1)该运动员射出一枚子弹击中靶心区域B的概率;解：设事件B=击中靶心区域B由几何概型可知，S(B)P(B) =1S(2)ABB沈阳师范大学

 A B AB 引例2 某运动员参加手枪射击项目, 假设击中靶 上的任意 一点的机会均等．求： (1)该运动员射出一枚子弹击中靶心区域 B 的概率；  解：设事件B = {击中靶心区域B }由几何概型可知, ( ) ( ) ( ) S B P B S = 

+引例2某运动员参加手枪射击项目。假设击中靶2上的任意一点的机会均等．求：(2)已知该运动员射出一枚子弹击中了区域A ,子弹击中靶心区域B的概率S(AB)S(AB)P(BA)解：设A={击中区域A}.S(QA)S(A)S(AB)P(AB)S(AB)S(2)P(BA)S(A)S(A)ABP(A)BS(2)2沈阳师范大学

 A B AB 引例2 某运动员参加手枪射击项目, 假设击中靶 上的任意 一点的机会均等．求： A B  (2)已知该运动员射出一枚子弹击中了区域 ,子弹 击中靶心区域 的概率. 解：设 A = {击中区域 A }. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A S AB S AB P B A S S A = =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S AB S AB S P B A S A S A S  = =  ( ) ( ) P AB P A =

H2.定义设A,B是两个事件,且P(A)>0,称P(AB)P(BA)0三P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(AB)同理可得P(AB)=P(B)为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率沈阳师范大学

( ) ( ) ( ) P B P AB 同理可得 P AB = 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. . ( ) ( ) ( ) , , ( ) 0, 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 设 是两个事件 且 称 A B P A P AB P B A A B P A =  2. 定义

43.性质(1)非负性: P(BA)≥ 0;(2)规范性: P(SB)=1, P(B)=0;(3) P(A U A,B) = P(AB)+ P(AB) - P(A,AB);(4) P(AB)= 1- P(AB).(5)可列可加性：设Bi,B,，…是两两不相容的事件,则有ZFB.P(B;A).A=i-1i-1沈阳师范大学

(3) ( ) ( ) ( ) ( ); P A1  A2 B = P A1 B + P A2 B − P A1A2 B (4) P(AB) = 1− P(AB). (2)规范性 : P(S B) = 1, P( B) = 0; 件 则有 可列可加性 设 是两两不相容的事 , (5) : , , B1 B2  ( ). 1 1   =  = =        i i i P Bi A P B A 3. 性质 (1)非负性 : P(B A)  0;

1计算条件概率的两种方法： 中，先计算 P(A),P(AB)(1)在原样本空间P(AB)计算再按公式P(BIA)=P(A)(2)在缩小后的样本空间 Q,中计算 B发生的概率 P(BIA).沈阳师范大学

 P AB ( ) ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A = P(A) A B P(B | A) 计算条件概率的两种方法： (2)在缩小后的样本空间 中计算 发生的 概率 . (1)在原样本空间 中, 先计算 , 再按公式 计算

例2先后将一枚硬币抛两次，已知第一次抛出正面，问两次都为正面的概率是多少？解方法一：样本空间Q=（正，正)，（正，反)，（反，正)，（反，反）}设事件A=（（正，正），（正，反）}，事件B=【（正，正)）}，1P((正,正))1P(AB)4P(B|A)22P(A)P(正,正),(正,反))4方法二：Q，=【（正，正），（正，反）}，B=【（正，正)）1B中样本点个数P(BIA) :22.中样本点个数沈阳师范大学

例２ 先后将一枚硬币抛两次，已知第一次抛出正面， 问两次都为正面的概率是多少? 解 方法一:样本空间 = {（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}． 设事件 A = {（正，正），（正，反）}，事件B = {（正，正））}， 方法二:  = A {（正，正），（正，反）}，B = {（正，正））     ( , ) ( , ), ( , ) 1 ( ) 1 4 ( | ) ( ) 2 2 4 P AB P P B A P A P = = = = 正 正 正 正 正 反 1 ( | ) 2 A B P B A = =  中样本点个数 中样本点个数 ．

例3一箱中有12件同类产品，其中10件正品，2件次品．任意抽取两次，每次抽取一件，抽出后不再放回．已知第一次抽取的是次品，则第二次抽取的仍是次品的概率是多少？解设事件A=[第一次抽取的是次品}，B=[第二次抽取的是次品]21P(A)方法一：在原样本空间中计算，则1261P(AB)21166P(BA)P(AB)P(A)1111211666沈阳师范大学

例３ 一箱中有12件同类产品，其中10件正品，2件 次品．任意抽取两次，每次抽取一件，抽出后不再 放回．已知第一次抽取的是次品，则第二次抽取的 仍是次品的概率是多少？ 解 设事件 A = {第一次抽取的是次品}，B = {第二次抽取的是次品}． 方法一：在原样本空间中计算，则 2 1 ( ) 12 6 P A = = 2 1 1 ( ) 12 11 66 P AB =  = ( ) ( ) ( ) P AB P B A P A = 1 66 1 1 11 6 = =

乘法公式设 P(A)>0, 则有P(AB) = P(A)P(BA)同样地，概率乘法还有另一种形式设 P(B)>0,则有P(AB) = P(B)P(AB)沈阳师范大学

二、 乘法公式 设 P A( 0, )  则有 P AB P A P ( ) ( ) = (B A) 设 P B( 0, )  则有 P AB P B P ( ) ( ) = (A B) 同样地，概率乘法还有另一种形式：