沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第一章 随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率1.随机事件的基本概念及事件间的关系与运算本章2.概率的定义与基本性质.内容3.古典概型，几何概型，伯努利概型.提要4．加法公式，条件概率公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式5.事件的独立性.随机试验样本空间随机事件随机事件的概念关系包含与相等：互不相容：对立事件间的关系与运算运算并：交；差统计定义本章定义随机事件及其概率公理化定义知识事件的独立性结构性质非负、有界：逆事件概率：有限可加：加法公式：减法公式体系随机事件的概率概型古典概型与几何概型：伯努利概型定义：公式条件概率乘法公式：全概率公式：贝叶斯公式1.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。2.理解事件频率的概念，了解概率的统计定义。重点3理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。4.了解概率的基本性质及概率加法定理。分析5.了解条件概率的概念、概率的乘法定理。6.理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率的计算。难点古典概型的计算，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用分析-1-

- 1 - 第一章 随机事件及其概率 本章 内容 提要 1．随机事件的基本概念及事件间的关系与运算． 2．概率的定义与基本性质． 3．古典概型，几何概型，伯努利概型． 4．加法公式，条件概率公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式． 5．事件的独立性． 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1． 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 2． 理解事件频率的概念，了解概率的统计定义。 3． 理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 4． 了解概率的基本性质及概率加法定理。 5． 了解条件概率的概念、概率的乘法定理。 6． 理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率的计算。 难点 分析 古典概型的计算，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用 包含与相等；互不相容；对立 并；交；差 随 机 事 件 的 概 念 随 机 事 件 的 概 率 随机试验 样本空间 随机事件 事件间的关系与运算 定义 性质 条件概率 概型 关系 运算 统计定义 公理化定义 非负、有界；逆事件概率；有限可加；加法公式；减法公式 古典概型与几何概型；伯努利概型 定义；公式 乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式 事件的独立性 随 机 事 件 及 其 概 率

第一讲1.1随机事件本节、随机试验→样本空间→随机事件内容二、事件间的关系与运算提要1，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算教学2.培养善于发现问题、深入思维的能力；渗透偶然性和必然性辩证统一的哲学思想目标3.通过介绍本课程的研究对象一一揭示随机现象背后隐藏的规律性，培养学生勇于探索的数学精神重点随机事件的概念，事件间的关系与运算难点事件间的关系与运算2学时学时绪论20分钟与随机试验、样本空间25分钟主要随机事件15分钟内容事件间的关系与运算20分钟时间例题8分钟分配小结2分钟教学情景导入式、问题探究式和讲授式相结合的教学方法，使用智慧教学手段，基于超星学方法习平台线上和线下融合的混合式教学模式和手段教学调整，事件间的关系与运算的讲授顺序，先讲运算，再讲关系。经验运算律留给学生自学。总结-2-

- 2 - 第一讲 1.1 随机事件 本节 内容 提要 一、随机试验→样本空间→随机事件 二、事件间的关系与运算 教学 目标 1.了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算 2.培养善于发现问题、深入思维的能力；渗透偶然性和必然性辩证统一的哲学思想 3.通过介绍本课程的研究对象——揭示随机现象背后隐藏的规律性，培养学生勇于探索 的数学精神 重点 随机事件的概念，事件间的关系与运算 难点 事件间的关系与运算 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 绪论 20 分钟 随机试验、样本空间 25 分钟 随机事件 15 分钟 事件间的关系与运算 20 分钟 例题 8 分钟 小结 2 分钟 教学 方法 和手 段 情景导入式、问题探究式和讲授式相结合的教学方法，使用智慧教学手段，基于超星学 习平台线上和线下融合的混合式教学模式 教学 经验 总结 调整，事件间的关系与运算的讲授顺序，先讲运算，再讲关系。 运算律留给学生自学

教学过程附注引入：我们所生活的大千世界上随时发生着各种现象：一类是确定性现象一一必然性例如，水往低处流；种瓜得瓜，种豆得豆；向上抛一枚硬币必然下落；可导必连续…另一类是非确定性现象，即随机现象（随意现象）--偶然性马克思曾说“在“天有不测风云，人有夕祸福”充分概括了随机现象的存在。表面上是偶然性在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，所得结果不确定在起作用的地例如，瓜长多大，豆结多少？落下的硬币哪一面朝上？人寿命的长短；方，这种偶然始天气的阴晴冷暖；彩票，球队比赛的胜负随机现象给人们的感觉难以捉摸，不好把握，具有偶然性，这其中有没终是受内部隐藏有规律可循呢？有！哲学中的辩证法告诉我们必然性和偶然性是辩证统一的，着的规律支配随机现象看似偶然，依然存在固有的规律性，比如，抛一枚硬币，无法确定是正面朝上、还是反面朝上；但大量反复的，而问题在于地抛会发现，正面和反面朝上的次数几乎相等，也就是正面出现的频率接近发现这些规律。”一个稳定值，即呈现出一定的规律性随机现象在大量重复试验中呈现出来的规律性，称之为统计规律性。这样的试验称为随机试验一、随机试验→样本空间→随机事件1.随机试验定义1对随机现象的观察称为随机试验，满足下列三个条件：（1）可重复性：试验在相同条件下可重复进行：（2）多可能性：每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；（3）不确定性：每次试验前不能确定哪一个结果发生，随机试验简称试验，常用字母表示.例1下面的4个试验都是随机试验：掷一枚般子，观察出现的点数；先后抛两次硬币，观察正面与反面出现的情况；记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数；在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命调查城市居民（以户为单位）烟，酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟，酒年支出的元数。2.样本空间定义2随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记作．其中每一个可能的结果，称为样本点，记作。即写出例1中随机试验的样本空间：（（正，正），（正，反），（反，正），（反，反））：-3-

- 3 - 教学过程 附注 引入： 我们所生活的大千世界上随时发生着各种现象： 一类是确定性现象——必然性 例如，水往低处流；种瓜得瓜，种豆得豆；向上抛一枚硬币必然下落； 可导必连续. 另一类是非确定性现象，即随机现象 ( 随意现象)- 偶然性 “天有不测风云，人有旦夕祸福”充分概括了随机现象的存在。 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，所得 结果不确定. 例如，瓜长多大，豆结多少？落下的硬币哪一面朝上？人寿命的长短； 天气的阴晴冷暖；彩票，球队比赛的胜负. 随机现象给人们的感觉难以捉摸，不好把握，具有偶然性，这其中有没 有规律可循呢？有！哲学中的辩证法告诉我们必然性和偶然性是辩证统一的， 随机现象看似偶然，依然存在固有的规律性。 比如，抛一枚硬币，无法确定是正面朝上、还是反面朝上；但大量反复 地抛掷会发现，正面和反面朝上的次数几乎相等，也就是正面出现的频率接近 一个稳定值，即呈现出一定的规律性. 随机现象在大量重复试验中呈现出来的规律性，称之为统计规律性。这样的试 验称为随机试验 一、随机试验→样本空间→随机事件 1．随机试验 定义 1 对随机现象的观察称为随机试验，满足下列三个条件： （ 1 ）可重复性：试验在相同条件下可重复进行； （ 2 ）多可能性：每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所 有可能结果； （ 3 ）不确定性：每次试验前不能确定哪一个结果发生． 随机试验简称试验，常用字母表示． 例 1 下面的 4 个试验都是随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数； 先后抛两次硬币，观察正面与反面出现的情况； 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数； 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命． 调查城市居民（以户为单位）烟，酒的年支出，结果可以用（ x ， y ） 表示， x ， y 分别是烟，酒年支出的元数。 2．样本空间 定义 2 随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记作．其中 每一个可能的结果，称为样本点，记作．即 写出例 1 中随机试验的样本空间： { （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）} ； 马克思曾说 “在 表面上是偶然性 在 起 作 用 的 地 方，这种偶然始 终是受内部隐藏 着 的 规 律 支 配 的，而问题在于 发现这些规律

教学过程附注分类：有限和无限；一维和二维；离散和连续课堂练习写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷三颗般子，记录三颗殷子之和（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数3.随机事件（1）定义3般地，样本空间的任意子集称为随机事件，简称事件，可用大写字母表示例如，抛掷一枚般子，观察出现的点数事件Ai=（掷出i点)1=1,2,3,4,5,6事件B=掷出奇数点)说明：从概率论的角度，事件的本质是：结果从集合论的角度，事件的本质是：子集（2）事件的分类：不可能事件必然事件基本事件复合事件：由若干个样本点组成的事件例如，在掷殷子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件；“出点数8”则是不可能事件；“出现1点”，“出现2点”，，“出现6点”是基本事件“掷出奇数点”是复合事件，说明1：何谓事件的发生？—一事件的一个样本点出现了！例如，在般子试验中，B=(13,5)事件B发生当且仅当B中的样本点13，5中的某一个出现说明2：随机试验、样本空间、随机事件三者的关系：子集随机试验随机事件样本空间二、事件间的关系与运算1.四种关文氏图系：包含、符号表示概率论解释集合论解释相等、互斥、对立关系名称-4 -

- 4 - 教学过程 附注 分类：有限和无限；一维和二维；离散和连续. 课堂练习 写出下列随机试验的样本空间. （ 1 ）同时掷三颗骰子, 记录三颗骰子之和. （ 2 ）生产产品直到得到 10 件正品, 记录生产产品的总件数. 3．随机事件 （ 1 ）定义 3 般地，样本空间的任意子集称为随机事件，简称事件，可 用大写字母表示． 例如，抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 事件 Ai={ 掷出 i 点} i =1,2,3,4,5,6 事件 B={ 掷出奇数点} 说明：从概率论的角度，事件的本质是：结果 从集合论的角度，事件的本质是：子集 （ 2 ）事件的分类： 不可能事件 必然事件 基本事件 复合事件：由若干个样本点组成的事件. 例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于 7 ”是必然事件; “掷出点数 8 ”则是不可能事件; “出现 1 点”, “出现 2 点”, . , “出现 6 点”是基本事件; “掷出奇数点”是复合事件. 说明 1 ：何谓事件的发生？——事件的一个样本点出现了！ 例如，在掷骰子试验中，B={1,3,5 ｝事件B 发生当且仅当B 中的样本点 1 ， 3 ， 5 中的某一个出现. 说明 2 ：随机试验、样本空间、随机事件三者的关系： 二、事件间的关系与运算 1．四种关 系：包含、 相等、互斥、 对立 关系名称 符号表示 概率论解释 集合论解释 文氏图 随机试验 样本空间 子集 随机事件

教学过程附注事件一发生包含或者必然导致事子集件B发生与B 含有相等相同的样本相等A=B点互不相容与 B 不能与 B 的交ANB=Φ为空集(互斥)同时发生对立事件A不发:补集生若记B=A，则A与B是对立事件，AUB=Q且AB=：A与B有且仅有一个发生。注意：对立事件与互斥事件的区别互斥对立2.四种运算运算名称符号表示概率论解释集合论解释文氏图事件A与事AUB（或并并集件B至少有A+B)一个发生ANBA与B同时交交集发生或ABA发生而B差差集A-B不发生事件A不发A逆补集生3.五种算律(1)交换律：AUB=BUA；ANB=BNA（2）结合律：(AUB)UC= AU(BUC): (ANB)NC=AN(BNC)-5

- 5 - 教学过程 附注 包含 或者 事件一发生 必然导致事 件 B 发生 子集 相等 A B = 与 B 含有 相同的样本 点 相等 互不相容 （互斥） A B 与 B 不能 同时发生 与 B 的交 为空集 对立 ； 事件 A 不发 生 补集 若记 B A ，则 A 与 B 是对立事件， A B AB 且 ；A 与 B 有且仅有一个发生。 注意：对立事件与互斥事件的区别 2．四种运算 运算名称 符号表示 概率论解释 集合论解释 文氏图 并 A B （或 A B + ） 事件 A 与事 件 B 至少有 一个发生 并集 交 A B 或 AB A 与 B 同时 发生 交集 差 A B− A 发生而 B 不发生 差集 逆 A 事件 A 不发 生 补集 3．五种算律 （1）交换律： A B = B  A ； A B B A = ． （2）结合律： (A B) C = A (B C) ； ( ) ( ) A B C A B C = ． 互斥 对立

附注教学过程(3）分配律：AN(BUC)=(ANB)U(ANC)；AU(BNC)=(AUB)N(AUC)（4）对偶律：AUB=ANB：ANB=AUB.也称德摩根律上述运算律可推广到有限个或可数个事件的情形.（5）差积转换率：A-B=A-AB=AB例2一人向指定的篮筐投篮三次，观察投篮投中的情况.用A、B、C分别表示事件“第i次投篮投中”（i=1,2,3），用A、B、C表示下列事件(I）“第一、二次都投中，第三次未投中”可以表示成ABC；(2）“三次都未投中”可以表示成ABC；(3）“至少有一次投中”可以表示成AUBUC；（4）“至多一次投中”可以表示成ABCUABCUABCUABC：(5）“恰好有两次投中”可以表示成ABCUABCUABC；(6）“至多两次投中”可以表示成ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC或ABC;(7）“至少有两次投中”可以表示成ABCU ABCUABCUABC 或ABUBCUAC:(8)“第一、二次至少有一次投中，第三次未投中”可以表示成（AUB)NC小结：本节学习了三个基本概念，四种关系，四种运算，五种算律。思考题：对随机现象进行研究，我们就可以预料其结果了，是么？答：不是的！掌握随机现象并不意味着改变了“结果的随机性”。课后作业：超星学习平台在线作业；P27习题一：1，2，56

- 6 - 教学过程 附注 （3）分配律： A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ； A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ． （4）对偶律： A B A B = ； A B A B = ．也称德摩根律． 上述运算律可推广到有限个或可数个事件的情形． （5）差积转换率： A B A AB AB 例 2 一人向指定的篮筐投篮三次，观察投篮投中的情况．用 A 、B 、C 分 别表示事件“第 i 次投篮投中”（ i =1,2,3 ），用 A 、 B 、C 表示下列事件: (1)“第一、二次都投中，第三次未投中”可以表示成 ABC ； (2)“三次都未投中”可以表示成 ABC ； (3)“至少有一次投中”可以表示成 A B C ； (4)“至多一次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ABC ； (5)“恰好有两次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ； (6)“至多两次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 或 ABC ； (7)“至少有两次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ABC 或 AB BC AC ； (8)“第一、二次至少有一次投中，第三次未投中”可以表示成 ( ) A B C ． 小 结: 本节学习了三个基本概念，四种关系，四种运算，五种算律。 思考题： 对随机现象进行研究，我们就可以预料其结果了，是么？ 答：不是的！ 掌握随机现象并不意味着改变了“结果的随机性”。 课后作业：超星学习平台在线作业；P27 习题一 ：1，2，5

第二讲1.2随机事件的概率本节一、概率的统计定义内容二、概率的公理化定义提要三、概率的性质教学目的理解概率的概念，掌握概率的性质，概率的加法公式，减法公式，求逆公式要求重点概率的性质，三个公式难点概率的性质及其推导与运用学时2学时与主要统计定义15分钟内容公理化定义15分钟时间概率的性质50分钟分配小结及练习10分钟教学方法问题探究式、启发式和分组合作式相结合的教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教和手学手段，基于超星学习平台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验使用生动形象的比喻，把概念通俗化。总结-7-

- 7 - 第二讲 1.2 随机事件的概率 本节 内容 提要 一、概率的统计定义 二、概率的公理化定义 三、概率的性质 教学 目的 要求 理解概率的概念，掌握概率的性质，概率的加法公式，减法公式，求逆公式 重点 概率的性质，三个公式 难点 概率的性质及其推导与运用 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 统计定义 15 分钟 公理化定义 15 分钟 概率的性质 50 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 问题探究式、启发式和分组合作式相结合的教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教 学手段，基于超星学习平台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结 使用生动形象的比喻，把概念通俗化

附注教学过程引入：要掌握一个随机现象，就是要把握两件事：一是都有哪些结果（事件），即建立样本空间二是各种事件出现可能性的大小一一概率，这节课我们就来学习随机事件的概率。一、概率的统计定义定义1设A为随机试验E的任一事件，相同条件下重复试验n次，用n表示事件A在n次试验中出现的次数（称为频数)，称比值f.（A)="4为事件An在n次试验中出现的频率，容易验证，频率具有以下三条基本性质：(1）规范性：J(2)=1;（2）非负性：对任意事件A，有f，（A)≥0（3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件A，A，,A.，…，有J.(UA)=ZJ.(A),aa（4）稳定性：随着试验次数的增加，频率趋于稳定值limf,(A)=p这个稳定值称为事件发生的概率。定义2设E是随机试验，当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率f,(A)趋向于某数p，则称数p为事件A发生的概率，记为P(A)=p.P(A)~f,(A)，频率是概率的近似。概率的统计定义在一定程度上说明概率具有客观性，但这个定义仍有其局限性因为我们无法将一个试验无限次地重复，根本得不到确切的频率稳定值p，从而也就不能严格确定出任何一个事件的概率.二、概率的公理化定义1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（A.HKo几MoropoB）提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，即概率的公理化定义，标志着概率论这门学科作为一个独立的数学分支地位的确立，概率是随机定义3设E是随机试验，Q是样本空间，对E的每一个随机事件A，定事件的本质属性，-8-

- 8 - 教学过程 附 注 引入： 要掌握一个随机现象，就是要把握两件事：一是都有哪些结果（事件）， 即建立样本空间；二是各种事件出现可能性的大小——概率，这节课我们就来 学习随机事件的概率。 一、概率的统计定义 定义 1 设 A 为随机试验 E 的任一事件，相同条件下重复试验 n 次，用 A n 表 示事件 A 在 n 次试验中出现的次数（称为频数），称比值 ( ) A n n f A n = 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率． 容易验证，频率具有以下三条基本性质： （1）规范性： ( ) 1 n f  = ； （2）非负性：对任意事件 A ，有 ( ) 0 n f A  ； （3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) n i n i i i f A f A   = = = ． （4）稳定性：随着试验次数的增加，频率趋于稳定值 lim ( ) n n f A p 这个稳定值称为事件发生的概率。 定义 2 设 E 是随机试验，当试验的次数 n 充分大时，事件 A 发生的频率 ( ) n f A 趋向于某数 p ，则称数 p 为事件 A 发生的概率，记为 P(A) = p ． ( ) ( ) P A f A n ，频率是概率的近似。 概率的统计定义在一定程度上说明概率具有客观性，但这个定义仍有其局 限性．因为我们无法将一个试验无限次地重复，根本得不到确切的频率稳定值 p ，从而也就不能严格确定出任何一个事件的概率． 二、概率的公理化定义 1933 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A．H Колмогоров)提出了概率论 的公理化结构，给出了概率的严格定义，即概率的公理化定义，标志着概率论 这门学科作为一个独立的数学分支地位的确立． 定义 3 设 E 是随机试验， 是样本空间，对 E 的每一个随机事件 A ，定 概率是随 机 事件的本质属性

教学过程附注客观存在。好比一义一个实值函数P(A)，若P(A)满足下列条件：个木棒的长度。(1)规范性：P(Q2)=1;额率是概率(2）非负性：P(A)≥0：的近似和测量。好比木棒长度的测（3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件A,A，A，..，有量值P(U4)=ZP(A),i=l=则称P(A)为事件A的概率三、概率的性质（1）不可能事件的概率：P(Φ)=0（2）有限可加性：若事件AA，A两两互不相容，则P(UJA)=)P(A)is=（3）减法公式：对任意两个事件A，B，有P(A-B)= P(A)-P(AB)特别地，若事件BCA，则P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)（4）加法公式：对任意两个事件A，B，有P(AU B) = P(A) + P(B)- P(AB) 特别地，若AB=Φ，则P(AUB)=P(A)+P(B)推广到三个事件，有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)-P(BC)-P(AC)+ P(ABC)概率的加法公式还可以推广到多于3个事件的情形（5)对立事件的概率：对任意事件A，有P(A)≤1，且P(A)=I-P(A)证明（1）由Q=2+Φ+Φ+及可列可加性，可得，P(2) = P(2)+ P(Φ)+ P(Φ) +.,-9-

- 9 - 教学过程 附 注 义一个实值函数 P A( ) ，若 P A( ) 满足下列条件： （1）规范性： P( ) 1  = ； （2）非负性： P A( ) 0  ； （3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P A P A   = = = ， 则称 P A( ) 为事件 A 的概率． 三、概率的性质 （1）不可能事件的概率： P( ) 0  = ． （2）有限可加性：若事件 1 2 , , , A A A n 两两互不相容，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = = ． （3）减法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ． 特别地，若事件 B A  ，则 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ，且 P B P A ( ) ( )  ． （4）加法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) ． 特别地，若 AB = ，则 P(A B) = P(A) + P(B) ． 推广到三个事件，有 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + ． 概率的加法公式还可以推广到多于 3 个事件的情形． （5）对立事件的概率：对任意事件 A ，有 P A( ) 1  ，且 P(A) = 1− P(A) ． 证明 （1）由  =  +  +  + 及可列可加性，可得， P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ,  =  +  +  + 客观存在。好比一 个木棒的长度。 频 率是概率 的近似和测量。好 比木棒长度的测 量值

教学过程附注所以P(Φ)= 0.（2）设A+=,A+2=Φ，且A,A，A，A*两两互不相容，则由概率的可列可加性，有A= (4)+ (4)+ (4.) ()+ (0)- Z P(4)i=l(3)因为A=(A-B)UAB，又(A-B)与AB互不相容，由有限可加性，可得P(A)= P(A-B)+ P(AB),即P(A- B)= P(A)- P(AB) .当BCA时，有AB=B，所以P(A-B)=P(A)-P(B),又由概率的非负性可知P(A-B)≥0，所以P(B)≤P(A)（4）因为AUB=AU(B-AB)，A与(B-AB)互不相容，ABCB，所以P(AU B)= P[AU(B- AB))= P(A)+ P(B- AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)（5）因为AUA=Q,ANA=Φ,由规范性与有限可加性，可得P(A)+ P(A)= P(2)=1,从而，有P(A) =1- P(A) .例 1设事件 A,B互不相容，且 P(A)=,P(B)=q，求 p(AB),P(AUB),-10 -

- 10 - 教学过程 附 注 所以 P( ) 0  = ． （2）设 1 2 , , A A n n + + =  =  ，且 1 2 1 , , , A A A A n n+ 两两互不相容，则 由概率的可列可加性，有 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i n n i i P A P A P A P A P A P P P A  = = = = = + + + +  +  + =  ． （3）因为 A A B AB = − ( ) ，又 ( ) A B− 与 AB 互不相容，由有限可加性， 可得 P A P A B P AB ( ) ( ) ( ) = − + ， 即 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ． 当 B A  时，有 AB B = ，所以 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ． 又由概率的非负性可知 P A B ( ) 0 −  ，所以 P B P A ( ) ( )  ． （4）因为 A B A B AB = − ( ), A 与 ( ) B AB − 互不相容， AB B  ，所 以 P A B P A B AB P A P B AB P A P B P AB ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = − = + − = + − （5）因为 A A A A =  =  , , 由规范性与有限可加性，可得 P A P A P ( ) ( ) ( ) 1 + =  = ， 从而，有 P(A) = 1− P(A) ． 例 1 设事件 A B, 互不相容，且 P A p P B q ( ) , ( ) = = ，求 p AB ( ) ， P A B ( )