沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第七章 参数估计

第七章参数估计本章参数的点估计法：矩估计法、极大似然估计法，1.内容2.评价估计优良性标准：无偏性、有效性、一致性3.正态总体参数的置信区间提要无偏性参数的点估计矩估计评价点估计优良性标准有效性极大似然估计参数一致性估计本章均值u的区间估计知识结构单个正态总体参数的区间估计体系方差的区间估计均值差－,的区间估计两个正态总体方差比，的区间估计重点1参数的矩估计法、极大似然估计法2.单个正态总体参数的区间估计。分析难点极大似然估计法、置信水平α、置信区间.分析

第七章 参数估计 本章 内容 提要 1．参数的点估计法：矩估计法、极大似然估计法． 2．评价估计优良性标准：无偏性、有效性、一致性． 3．正态总体参数的置信区间． 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1．参数的矩估计法、极大似然估计法． 2．单个正态总体参数的区间估计． 难点 分析 极大似然估计法、置信水平  、置信区间． 参 数 估 计 矩估计 极大似然估计 一致性 有效性 无偏性 评价点估计 优良性标准 参 数 的 点 估 计 均值差   1 2 − 的区间估计 方差比 2 2   1 2 的区间估计 均值  的区间估计 方差 2  的区间估计 单个正态总体 两个正态总体 参 数 的 区 间 估 计

第二十三讲87.1点估计本节一、点估计的概念内容二、矩估计提要三、极大似然估计教学理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和极大似然估目的计法要求重点矩估计法和极大似然估计法难点极大似然估计法学时2学时与主要点估计的概念10分钟内容矩估计30分钟时间极大似然估计45分钟分配小结及练习5分钟教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第二十三讲 §7.1 点估计 本节 内容 提要 一、点估计的概念 二、矩估计 三、极大似然估计 教学 目的 要求 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念； 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和极大似然估 计法 重点 矩估计法和极大似然估计法 难点 极大似然估计法 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 点估计的概念 10 分钟 矩估计 30 分钟 极大似然估计 45 分钟 小结及练习 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附 注引入统计推断是数理统计的核心内容.所谓统计推断是指根据样本对总体的分布或分布的数字特征等作出合理的推断.统计推断的主要内容分为两大类：一类是估计问题，另一类是假设检验问题，而估计问题又分为参数估计和非参数估计：我们主要讨论参数估计问题．参数估计研究的是当总体的分布类型已知，而其中的参数未知时，如何利用样本值对这些未知参数进行估计的问题。参数估计可分为点估计和区间估计两种本节我们来学习参数的点估计。讲授新课一、点估计的概念点估计就是研究如何由样本X..XX提供的信息对未知参数θ作出估计，即构造一个合适的统计量(X,X2，",X,），用它的观测值(x2",x）作为未知参数的估计值.称(X,X2，",X）为的估计量，称(x2",）为θ的估计值，今后如果没有必要强调是估计量还是估计值时，常把二者都称为参数①的点估计，统一记作二、矩估计1.矩估计的基本思想矩估计法是由英国统计学家K.皮尔逊（K.Pearson)在20世纪初引进的一种寻找估计量的简单易算的方法（思想）精髓是：替换，用样本矩替换总体矩2.矩估计的求法设总体X的分布函数中有k个未知参数,,",，X,X,",X，是取自X的样本，,x2,x为样本观测值（1）计算出EX,EX?,EX

教学过程 附 注 引入 统计推断是数理统计的核心内容．所谓统计推断是指根据样本对总体的分布或 分布的数字特征等作出合理的推断．统计推断的主要内容分为两大类：一类是估计 问题，另一类是假设检验问题，而估计问题又分为参数估计和非参数估计．我们主 要讨论参数估计问题．参数估计研究的是当总体的分布类型已知，而其中的参数未 知时，如何利用样本值对这些未知参数进行估计的问题．参数估计可分为点估计和 区间估计两种． 本节我们来学习参数的点估计。 讲授新课 一、点估计的概念 点估计就是研究如何由样本 1 2 , , , X X X n 提供的信息对未知参数  作出估 计，即构造一个合适的统计量 1 2 ( , , , )  X X X n ，用它的观测值 1 2 ( , , , ) n  x x x 作 为未知参数  的估计值．称 1 2 ( , , , )  X X X n 为  的估计量，称 1 2 ( , , , ) n  x x x 为  的估计值，今后如果没有必要强调是估计量还是估计值时，常把二者都称为参数  的点估计，统一记作  ． 二、矩估计 1．矩估计的基本思想 矩估计法是由英国统计学家 K.皮尔逊(K.Pearson)在 20 世纪初引进的一种寻 找估计量的简单易算的方法． （思想）精髓是：替换，用样本矩替换总体矩 2．矩估计的求法 设总体 X 的分布函数中有 k 个未知参数 1 2 , , ,    k ， 1 2 , , , X X X n 是取自 X 的样本， 1 2 , , , n x x x 为样本观测值 （1） 计算出 2 , , , k EX EX EX

教学过程附注1nEX =ZX-n台1EX?2x?（2）近似替换，列方程组n台-EXA-1X.n台（3）解方程组得到的解记为1,2,…,0k，作为6,，…,0,的矩估计量矩估计量的观测值称为矩估计值，矩估计量与矩估计值统称为矩估计，记为ME.例1：（连续型）[(α+1)xa,0-1为未知参数），设总体X的密度函数为f(x)=0,其它x,x2，"",x，为来自总体的一组样本观测值，求参数α的矩估计值。例2：（离散型）设总体X服从参数为入（入>0）的泊松分布，X1，，X.为总体X的样本，求参数入的矩估计量。例3设总体X的期望u及方差α都存在，且α有限，但都未知，求u与2的矩估计解设X,X2,X,是取自X的样本，EX=μ，DX=2,EX?=DX +(EX)=α?+(EX), 即α?= EX?-(EX),用X,S分别代替EX,DX，得μ与的矩估计分别为a=x, α-↓x-(x)E(X, -X) = S .n=n i=l这就是说，样本均值X是总体期望μ的矩估计，未修正样本方差S是总体方差的矩估计，注在实际中人们总是用样本方差S?作为总体方差的估计.含两个位置参数的情形：例4设总体X在(a,b)上服从均匀分布，a,b为未知参数，X,X,,",X,是来自X的样本，试求a,b的矩估计量(b-a)2EX=a+bDX:解212解得a=EX-/3DX，b=EX+/3DX用X替换EX,S，替换DX，从而a,b的矩估计量

教学过程 附 注 （2） 近似替换，列方程组 1 2 2 1 1 1 1 1 n i i n i i n k k i i EX X n EX X n EX X n = = =  =     =     =      （3） 解方程组. 得到的解记为    1 2 , , , k ，作为 1 2 , , ,    k 的矩估计量 矩估计量的观测值称为矩估计值．矩估计量与矩估计值统称为矩估计，记为 ME ． 例 1：（连续型） 设总体 X 的 密 度 函 数 为 ( 1) ,0 1 ( ) ( 1 ) 0, x x f x     +   =  −   为未知参数 其它 ， 1 2 , , , n x x x 为来自总体的一组样本观测值，求参数  的矩估计值。 例 2：（离散型）设总体 X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，X1，.，Xn为总 体 X 的样本，求参数λ的矩估计量。 例 3 设总体 X 的期望  及方差 2  都存在，且 2  有限，但都未知，求  与 2  的矩估计． 解 设 1 2 , , , X X X n 是取自 X 的样本， EX =  ， 2 DX = ， 2 2 2 2 EX DX EX EX = + = + ( ) ( )  ，即 2 2 2  = − EX EX ( ) ， 用 2 , X Sn 分别代替 EX DX , ，得  与 2  的矩估计分别为  X  = ， ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) n n i i n i i X X X X S n n   = = = − = − =   ． 这就是说，样本均值 X 是总体期望  的矩估计，未修正样本方差 2 n S 是总体方 差 2  的矩估计， 注 在实际中人们总是用样本方差 2 S 作为总体方差的估计． 含两个位置参数的情形： 例 4 设总体 X 在 ( , ) a b 上服从均匀分布，ab, 为未知参数， 1 2 , , , X X X n 是 来自 X 的样本，试求 ab, 的矩估计量． 解 2 a b EX + = ， 2 ( ) 12 b a DX − = ， 解得 a EX DX = − 3 ，b EX DX = + 3 ． 用 X 替换 EX , 2 n S 替换 DX ，从而 ab, 的矩估计量

教学过程附注a=X-3s.,b=X+3s.注求参数矩估计时，如果能用低阶的矩估计，就不要用高阶的矩估计例如，若总体X～U(O,の)，θ未知，则θ可以通过期望或方差表示，02EX=2DX =2'12根据矩估计思想，可以得到的两个矩估计=2X或者是=2/3S,，习惯上采用第一个矩估计，同时说明了参数矩估计是不唯一的.矩估计法没有充分利用F（x,の)对参数所提供的信息，而极大似然估计弥补了这缺陷，下面我们介绍极大似然估计法.矩法的优点是简单三、极大似然估计易行，并不需要事先知道总体是什么分1.极大似然估计的基本思想布，缺点是，当总体极大似然估计法是统计中十分重要，应用最广泛的方法之一，该方法最初由德国数学家高斯（Gauss）于1821年提出，但未得到重视.费歇尔（R.A.Fisher）在1922类型已知时，没有年再次提出极大似然的想法，并探讨了它的性质，使之得到广泛的研究和应用，充分利用分布提供下面通过一个例子来说明极大似然估计的思想：例1某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过.只听一声枪的信息，一般场合响，野免应声倒下，如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢？下，矩估计量不具有你就会想，只发一枪便打中，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率看来这一枪是猎人射中的，唯一性：这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想：其主要原因在于建下面我们再看一个例子，进一步体会极大似然法的基本思想例2假定盒子里黑、白球共5个，但是不知道黑球具体数目：现在随机有放立矩法方程时，选取回抽取3个小球，发现是两个黑球和一个白球，问盒子里最可能有几个黑球？那些总体矩用相应解盒子里黑白球所有可能有6种，以P记盒子里黑球所占的比例样本矩代替带有一5白4白1黑3白2黑2白3黑1白4黑5黑定的随意性1-52-53-54-5po1设事件A=（抽出三个球中包含两个黑球)，易知p(A)=Cp(1-p)2/34101p1555512365432P(A)00125125125125既然“三个球中包含两个黑球”是已经发生的随机事件，因此，使得这个事件发生概率最大的那个值就是未知参数P最有可能的取值，以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想

教学过程 附 注 3 n a X S  = − , 3 n b X S  = + ． 注 求参数矩估计时，如果能用低阶的矩估计，就不要用高阶的矩估计． 例如，若总体 X U(0, )  ， 未知，则  可以通过期望或方差表示， 2 EX  = ， 2 12 DX  = ， 根据矩估计思想，可以得到  的两个矩估计  2X  = 或者是 2 3 n  S  = ,习惯上采用 第一个矩估计，同时说明了参数矩估计是不唯一的． 矩估计法没有充分利用 F x( ; )  对参数  所提供的信息，而极大似然估计弥补了这 一缺陷，下面我们介绍极大似然估计法． 三、极大似然估计 1．极大似然估计的基本思想 极大似然估计法是统计中十分重要，应用最广泛的方法之一．该方法最初由德 国数学家高斯(Gauss)于 1821 年提出，但未得到重视．费歇尔(R.A.Fisher)在 1922 年再次提出极大似然的想法，并探讨了它的性质，使之得到广泛的研究和应用． 下面通过一个例子来说明极大似然估计的思想： 例 1 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔从前方窜过 .只听一声枪 响，野兔应声倒下 .如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢? 你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 . 下面我们再看一个例子,进一步体会极大似然法的基本思想 . 例 2 假定盒子里黑、白球共 5 个，但是不知道黑球具体数目．现在随机有放 回抽取 3 个小球，发现是两个黑球和一个白球，问盒子里最可能有几个黑球？ 解 盒子里黑白球所有可能有 6 种，以 p 记盒子里黑球所占的比例 5 白 4 白 1 黑 3 白 2 黑 2 白 3 黑 1 白 4 黑 5 黑 p 0 1 5 2 5 3 5 4 5 1 设事件 A = ｛抽出三个球中包含两个黑球｝，易知 2 2 3 p A C p p ( ) (1 ) = − ． p 0 1 5 2 5 3 5 4 5 1 P A( ) 0 12 125 36 125 54 125 32 125 0 既然“三个球中包含两个黑球”是已经发生的随机事件，因此，使得这个事件 发生概率最大的那个值就是未知参数 p 最有可能的取值． 以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的 基本思想 . 矩法的优点是简单 易行,并不需要事先 知道总体是什么分 布 .缺点是，当总体 类型已知时，没有 充分利用分布提供 的信息 . 一般场合 下,矩估计量不具有 唯一性 . 其主要原因在于建 立矩法方程时，选取 那些总体矩用相应 样本矩代替带有一 定的随意性

教学过程附 注2.极大似然估计的求法设总体X的未知参数为，02，…,.，步骤如下：x"m离散型（1）写出似然函数L（①..0）立(x...)连续型i(2）选择，使L()最大（即求L(①)的最大值点）通常：①先取对数InL(0)dIn L()olnL(e.)②后求导：de0e,③建立似然方程或方程组（令导数为零）aln()=a0解方程求出θ或(i=1,,m)注：若似然方程无解或L(①)不可微，则由定义或其它方法求如当L(の)为θ的单调函数（增或减）时，则θ为θ取值的下限或上限。例1：（离散型）设总体X～P()服从参数为入（入>0）的泊松分布，X1，X.为总体X的样本，求参数入的最大似然估计量。解 X~P(a),EX=令=，解得=为参数的最大似然估计量例2：（连续型）[(α+1)x", 0-1为未知参数），0,其它,X2，"，x，为来自总体的一组样本观测值，求参数α的最大似然估计值。例3设总体X~N(μ,)，与均未知，-0μ+00，>0，设X,X2",X,为X的一个样本，X,x2",x,为样本值，求μ与的极大似然估计(x-μ)?)解总体X的密度函数为f(x,μ,）exp2g2V2元似然函数

教学过程 附 注 2．极大似然估计的求法 设总体 X 的未知参数为    m , 2 , , 1  ，步骤如下： （1）写出似然函数 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ; , , , , ( , , , ) ( ; , , , ) n i m i n m n i m i p x L f x          = =    =      离散型 连续型 （2）选择  ，使 L( )  最大（即求 L( )  的最大值点） 通常：先取对数 ln L( ) 后求导： d L ln ( ) d   或 ln ( i) i L     建立似然方程或方程组（令导数为零） ( ) 0 ln =    L  解方程求出 ˆ  或 ˆ ( 1, , ) i  i m = 注：若似然方程无解或 L( )  不可微，则由定义或其它方法求 ˆ  如当 L( )  为  的单调函数（增或减）时，则 ˆ  为  取值的下限或上限。 例 1：（离散型）设总体 X P( )  服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，X1，.， Xn为总体 X 的样本，求参数λ的最大似然估计量。 解 X P( )  , EX =  令  = X ，解得  ˆ = X 为参数  的最大似然估计量 例 2：（连续型） 设总体 X 的 密度 函 数为 ( 1) ,0 1 ( ) ( 1 ) 0, x x f x     +   =  −   为未知参数 其它 ， 1 2 , , , n x x x 为来自总体的一组样本观测值，求参数  的最大似然估计值。 例 3 设总体 2 X N( , )   ,  与 2  均未知， −   +  ， 2   0 ，设 1 2 , , , X X X n 为 X 的一个样本， 1 2 , , , n x x x 为样本值，求  与 2  的极大似然估 计． 解 总体 X 的密度函数为 2 2 2 2 1 ( ) ( ; , ) exp 2 2 x f x        − = −    ， 似然函数

教学过程附注exp1-22(ax-m)L(u,o)=f(x;μ,02)=(2元)2g对数似然函数InL(u,0")=-号(2元")-2(S(x, -m)2,2g2对数似然方程[aln L(u, ) = 0aualn L(μu,o")=002即Z(x, -μ)=0n+1μ)= ((x.2g2204台21月1解得x=x，Z(x -x) ,=nlni=l1n1nSx=X, 0?(X,-X)所以，μ与的极大似然估计分别为μ=ni=lni=l虽然求导函数的方法是求参数极大似然估计的常用方法，但是，并不是对所有的情况都适用，下面举例说明.例4设X,X2,,X是来自均匀总体U(0,①)的一个样本，求参数的极大似然估计量，解总体X的密度函数为[100，同时θ取最小值，为使L(の)>0，必须满足0<x<，i=1,2,n，即0<minf(x)=X(), X(m) =max(x)<0，欲使取最小值，考虑到xm<0，因CnISiSn此只有当の=x(n)时，L(の)取到最大值，故参数θ的极大似然估计量为X(n)

教学过程 附 注 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( , ) ( ; , ) (2 ) exp ( ) 2 n n n i i i i L f x x        − = =   = = − −       ， 对数似然函数 2 2 2 2 1 1 ln ( , ) (2 ) ( ) 2 2 n i i n L x      = = − − −  ， 对数似然方程 2 2 2 ln ( , ) 0 ln ( , ) 0 L L        =      =   即 2 1 2 2 4 1 1 ( ) 0 1 ( ) 0 2 2 n i i n i i x n x      = =  − =    − + − =    解得 1 1 n i i x x n  = = =  ， 2 2 1 1 ( ) n i i x x n  = = −  ， 所以，  与 2  的极大似然估计分别为 1 1 n i i X X n   = = =  ， 2 2 1 1 ( ) n i i X X n   = = −  ． 虽然求导函数的方法是求参数极大似然估计的常用方法，但是，并不是对所有 的情况都适用，下面举例说明． 例 4 设 1 2 , , , X X X n 是来自均匀总体 U(0, )  的一个样本，求参数  的极大 似然估计量． 解 总体 X 的密度函数为 1 , 0 ( ; ) 0, x f x        =    其它 ， 似然函数 1 2 1 1 , 0 , , ( ) ( ; ) 0, n n n i i x x x L f x     =     = =     其它 ， 当 1 2 0 , , , n   x x x  时， 对数似然函数 ln ( ) ln L n   = − ， 似然方程 ln ( ) 0 d L n d    − = = ， 显然对数似然方程无解，故通过极大似然原理，由于 ln ( ) 0 d L d    ，所以似然 函数 L( )  关于  是单调递减函数，要使 L( )  取到最大值，必须满足使 L( ) 0   ， 同 时  取 最小 值．为 使 L( ) 0   ， 必须 满足 0 i   x  ， i n =1,2, , ， 即   (1) 1 0 min i i n x x    = ， ( )   1 max n i i n x x    =  ，欲使  取最小值，考虑到 ( ) n x  ，因 此只有当 ( ) n  = x 时， L( )  取到最大值，故参数  的极大似然估计量为 X( ) n ．

教学过程附注性质2(不变性原理）设θ是θ的极大似然估计，g()是θ的函数，若g(0)具有单值反函数，则g(0)的极大似然估计g()为g()，即g(0)=g(0)下面给出常见分布参数的矩估计和极大似然估计，见表7.1.表7.1常见分布参数点估计常见分布矩估计极大似然估计二项分布B(n,p),n已p=X/np=X/n知均匀分布U(a,b)a=X-/3s,b-X+V3sa=X(n,b=X(n)泊松分布P(a)a-x元=xi=1/x指数分布E(2)i=1/xA-X,o=S?正态总体N(u,α)u-x,o?=S?小结：矩估计的思想是替换，极大似然估计的思想是看起来最象，同样一种分布的未知参数可以采用两种方法来进行参数估计，所得结果往往会不同，因此涉及到估计量的优劣比较问题，下节课来学习。思考题：请你设计一个方案，用极大似然法来估计湖中的鱼数。作业：超星学习平台线上作业；教材习题七：3，4（2），6拓展作业：《湖中的鱼数》的设计方案及实验报告

教学过程 附 注 性质 2(不变性原理) 设   是  的极大似然估计， g( )  是  的函数，若 g( )  具 有单值反函数，则 g( )  的极大似然估计 g( )   为 g( )   ，即 g g ( ) ( )     = ． 下面给出常见分布参数的矩估计和极大似然估计,见表 7.1． 表 7.1 常见分布参数点估计 常见分布 矩估计 极大似然估计 二项分布 B n p n ( , ), 已 知 p X n  = p X n  = 均匀分布 U a b ( , ) 3 , 3 n n a X S b X S   = − = + (1) ( ) , n a X b X   = = 泊松分布 P( )   X  =  X  = 指数分布 E( )   1 X  =  1 X  = 正态总体 2 N( , )   2 2 ,   X Sn   = = 2 2 ,   X Sn   = = 小 结: 矩估计的思想是替换，极大似然估计的思想是看起来最象，同样一种分布 的未知参数可以采用两种方法来进行参数估计，所得结果往往会不同，因此涉及到 估计量的优劣比较问题，下节课来学习。 思考题：请你设计一个方案，用极大似然法来估计湖中的鱼数。 作业：超星学习平台线上作业；教材习题七 ：3，4（2），6 拓展作业：《湖中的鱼数》的设计方案及实验报告

第二十四讲87.2估计量的评选标准87.3区间估计本节、估计量的评选标准：无偏性、有效性和一致性内容二、区间估计提要教学了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的目的无偏性、有效性：了解区间估计的概念，会求单个正态总体均值和方差的置信区间，会求两要求个正态总体均值差和方差比的置信区间重点正态总体均值与方差的区间估计难点估计量的有效性、一致性的验证学时2学时与主要估计量的评选标准40分钟内容区间估计45分钟时间小结及练习5分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第二十四讲 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 本节 内容 提要 一、估计量的评选标准：无偏性、有效性和一致性 二、区间估计 教学 目的 要求 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的 无偏性、有效性； 了解区间估计的概念，会求单个正态总体均值和方差的置信区间，会求两 个正态总体均值差和方差比的置信区间. 重点 正态总体均值与方差的区间估计 难点 估计量的有效性、一致性的验证 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 估计量的评选标准 40 分钟 区间估计 45 分钟 小结及练习 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附注引入由前一节可以看到，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题，而判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和一致性，讲授新课一、无偏性定义1设θ=(X,X,,,X)是未知参数的估计量，若对任意①，有E(①)=，则称θ是θ的无偏估计，或称具有无偏性，否则称θ是θ的有偏估计.令b，=Eθ-θ，称b，为估计量θ的偏差，而无偏估计是偏差为0的估计。若limE(①)=θ，则称θ是θ的渐近无偏估计.无偏性是对估计量的最基本的要求，它的意义在于：当一个无偏估计量被多次重复使用时，其估计值在未知参数真值附近波动，并且这些估计值的理论平均值等于被估计参数：这样，无偏估计保证了没有系统偏差，即用①估计e，不会系统地偏大或偏小，这种要求在工程技术中是完全合理的例1证明样本均值X是总体均值u的一个无偏估计，样本方差S2是总体方差α的无偏估计，但未修正样本方差S是总体方差的渐近无偏估计，证明设XX，.X是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望和方差，故EX, =EX,=...=EX,=μ,DX,= DX,=...=DX,=o?,因此EX=E|-(X,+X,+..+X.n(EX, +EX, +..+EX.)n1-njn=μ所以样本均值X是总体均值u的一个无偏估计又因为

教学过程 附 注 引入 由前一节可以看到，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相 同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估 计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用 哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题，而判断估计量好坏的标准 是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就 是估计的无偏性，有效性和一致性． 讲授新课 一、无偏性 定义 1 设 1 2 ( , , , )   X X Xn   = 是未知参数  的估计量，若对任意   ， 有 ( )  E  = ，则称   是  的无偏估计，或称   具有无偏性．否则称   是  的有偏估 计． 令 n b E   = − ，称 n b 为估计量   的偏差，而无偏估计是偏差为 0 的估计． 若 lim ( ) n E    → = ，则称   是  的渐近无偏估计． 无偏性是对估计量的最基本的要求，它的意义在于：当一个无偏估计量被多次 重复使用时，其估计值在未知参数真值附近波动，并且这些估计值的理论平均值等 于被估计参数．这样，无偏估计保证了没有系统偏差，即用  估计  ，不会系统地 偏大或偏小，这种要求在工程技术中是完全合理的． 例 1 证明样本均值 X 是总体均值  的一个无偏估计，样本方差 2 S 是总体方 差 2  的无偏估计，但未修正样本方差 2 n S 是总体方差 2  的渐近无偏估计． 证明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律， 从而有相同的期望和方差．故 EX EX EX 1 2 = = = = n  ， 2 DX DX DX 1 2 = = = = n  ， 因此 ( ) 1 2 1 2 1 ( ) 1 1 n n E X E X X X n EX EX EX n n n     = + + +     = + + + = = 所以样本均值 X 是总体均值  的一个无偏估计． 又因为