沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.3 维数、基底与坐标

s6.3 维数，基底与坐标2

§6.3 维数，基底与坐标 2

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间复习问题1.线性空间的定义2.常见线性空间的举例

3 复习问题 1.线性空间的定义 第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 2.常见线性空间的举例

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间预习问题1.线性空间的维数、基底的定义？2.常见线性空间的基底举例3.向量在基底下坐标的定义4.线性空间的基底的求法

4 预习问题 1.线性空间的维数、基底的定义？ 第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 2.常见线性空间的基底举例 3.向量在基底下坐标的定义 4.线性空间的基底的求法

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间一、向量的线性相关（无关）定义 2 α= kα, +kα, +...+k,α, -k,α, (α,eV,k, eP,i=1,2,.,n)-称为向量α,α，,α，的一个线性组合，或说α是α,α，",α，的线性表示定义3{α,α,,α,}与(β,β,",β,}等价[α,α2,..,α,/ (β,,,β,]且(β,β,,β,] {αi,α2,.,α,]记为α,α2,,α,] 等价→(β,β2,,β,]

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 一、向量的线性相关（无关） 定义 2 1 1 2 2 1 ( V, P, 1,2, , ) n n n i i i i i       k k k k k i n = = + + + =   =  称为向量 1 2 , , ,   n 的一个线性组合，或说 是 1 2 , , ,   n 的线性表示. 定义 3 { 1 2 , , ,    r }与{ 1 2 , , ,    s }等价 ⎯⎯⎯⎯→ { 1 2 , , ,   r }⎯⎯ { 1 2 , , ,    s }且{ 1 2 , , ,    s }⎯⎯ { 1 2 , , ,   r }. ⚫ 记为 { 1 2 , , ,    r }⎯⎯→ 等价 { 1 2 , , ,    s }

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间定义 4向量α,αz,α（r≥1）线性相关存在不全为零的数kP（i=1,2,.,n），使kα+kα,+..+kα=0成立；否则称α,α2,,α线性无关α,α2,.…,α,线性无关设kα, +k,α+...+k,α,=0 = k, =k,=...=k,=0常用结论的推广：共读P247.1 一3:1α线性相关（无关） α=0(α±0);α,α2,",α,线性相关日α,{α,α2,",α,}，3a, {a,α-a+,a,;α,αz",α,线性无关Vα,α,α2,…,α,],不能由该向量组中其余向量线性表示

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 定 义 4 向 量 1 2 , , ,   r ( r  1 )线性相关 ⎯⎯⎯⎯→ 存 在不全为零的 数ki  P ( i n = 1,2, , )，使 1 1 1 1 1 1 k k k    + + + = 0 成立；否则称 1 2 , , ,   r 线性无关. ⚫ 1 2 , , ,    r 线性无关  设 k k k k k k 1 1 2 2 1 2    + + + =  = = = = r r r 0 0 . ⚫ 常用结论的推广：共读 P247. 1 — 3： 1)  线性相关（无关）    =  0 0 ( ) ； 1 2 , , ,    r 线性相关     j { 1 2 , , ,    r }，  j ⎯⎯ { 1 1 1 , , , , ,     j j r − + }； 1 2 , , ,    r 线性无关     j { 1 2 , , ,    r }，不能由 该向量组中其余向量线性表示

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间2)α,α2.,α,线性无关;[α,α2,α,] —β,β,,β,] r≤s.3)α,α,…α,线性无关；α,α,,,αr,β线性相关β<准一表示[αi,α2,,α, ].?n元数组组成的线性空间中，至多有n个线性无关的向量，而任意n+1个向量线性相关（例如：几何空间中至多3个向量线性无关，而任意4个向量线性相关）：

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 2) 1 2 , , ,    r 线性无关；{ 1 2 , , ,    r }⎯⎯ { 1 2 , , ,    s }  r s . 3) 1 2 , , ,    r 线性无关； 1 2 , , , ,    r 线性相关   ⎯⎯⎯⎯ 唯一表示 { 1 2 , , ,    r }. 4) n 元数组组成的线性空间中，至多有 n 个线性无关的向量，而任意 n＋1 个向量线性相关 （例如：几何空间中至多 3 个向量线性无关，而 任意 4 个向量线性相关）

S6.3维数，基底与坐标第六章线性空间→问题：一般线性空间中至多有几个向量线性无关？

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 → 问题: 一般线性空间中至多有几个向量线性无关？

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间二、维数， 基与坐标定义5V中有n个线性无关的向量，且无多于n个的向量线性无关，则称V是n维的，记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称V是无限维的，记成dimV=o0.线性空问V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数例1（1）Vz：两相交矢量确定此平面→dimV,=2;V3三相交矢量确定此空间→dimV3=3.(2)pn={(a,a2,",a)[aEP,i=1,2,",n)是n维的,ei,e2，en是pn的一个极大无关组.(3）R[x]=f(x)|f(x)是实系数多项式)当f(x)=ao+.+a,xn，且k。+...+k,xn=0时有ko==k,=0成立，故1,X，，x"，是R[x]的一个极大无关组→dimR[x]=8

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 二、维数，基与坐标 定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多于n个的向量线性 无关，则称V是n维的, 记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞. 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极 大无关组所含向量的个数

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间定义6dimV=n，如果&,2，…,&n线性无关，则称1,&2，…,&n为V的一组基（或一个基）；αEV，α=ai+a2&2+…+anEn，称a1,a2,,an为α在基ε,&2，…,En下的坐标，记为（a1,a2,",an).注：（1）基是V中一个极大无关组→V中有多个基，但维数是唯一确定的；（2）对任意的αEV，α可由基ε1,2，…,n唯一线性表示一这即说：向量α在该基ε1,&2，，En下的坐标唯一确定

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 定义6 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛，如果𝜀1, 𝜀2 ，⋯,𝜀𝑛线性无关，则称𝜀1, 𝜀2 ， ⋯,𝜀𝑛为𝑉的一组基（或一个基）；𝛼 ∈ 𝑉，𝛼=𝑎1𝜀1+𝑎2𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝜀𝑛, 称 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛为𝛼在基𝜀1, 𝜀2 ，⋯,𝜀𝑛下的坐标，记为（ 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 ）. 注：（1）基是𝑉中一个极大无关组→𝑉中有多个基，但维数是唯 一确定的； （2）对任意的𝛼∈𝑉 ，𝛼可由基𝜀1, 𝜀2 ，⋯,𝜀𝑛唯一线性表示 → 这即说：向量𝛼在该基𝜀1, 𝜀2 ，⋯,𝜀𝑛下的坐标唯一确定

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间（2）对任意的αEV，α可由基ε1,E2，,En唯一线性表示这即说：向量α在该基ε1,&2，…,&n下的坐标唯一确定.证明：据维数及基的定义→α，E1,E2，…,En线性相关，即存在不全为0的b1,b2，…,bn，使b1E1+b2E2+…+bnEn+bn+1α=0 -→bn+1 ± 0.(否则，由ε1,E2，…,En线性无关将推出b1 =b2 =…= bn =0，矛盾)1(b1E1+b2E2+.…+bnEn）即α可由基E1,E2，…,En线α=bn+1性表示.设a=a1&1+a2&2+.….+anen=b18i+b282+..+bnen(a1-br)e1 + (a2-b2)E2 + ... +(an-bn)En=0由基ε1,E2，…,En线性无关可知ai=bi(i=1,2,…,n)，即表示唯一

第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 证明： 据维数及基的定义 →𝜶，𝜺𝟏, 𝜺𝟐 ，⋯,𝜺𝒏线性相关，即 存在不全为0的𝒃𝟏, 𝒃𝟐 ，⋯,𝒃𝒏，使𝒃𝟏𝜺𝟏+ 𝒃𝟐𝜺𝟐 + ⋯+ 𝒃𝒏𝜺𝒏+𝒃𝒏+1𝜶=0 →𝒃𝒏+1 ≠ 0. （2）对任意的𝜶∈𝑽 ，𝜶可由基𝜺𝟏, 𝜺𝟐 ，⋯,𝜺𝒏唯一线性表示 → 这即说：向量𝜶在该基𝜺𝟏, 𝜺𝟐 ，⋯,𝜺𝒏下的坐标唯一确定. →𝜶= - 1 𝒃𝒏+1 (𝒃𝟏𝜺𝟏+ 𝒃𝟐𝜺𝟐 + ⋯+ 𝒃𝒏𝜺𝒏）,即𝜶可由基𝜺𝟏, 𝜺𝟐 ，⋯,𝜺𝒏线 性表示. (否则，由𝜺𝟏, 𝜺𝟐 ，⋯,𝜺𝒏线性无关将推出𝒃𝟏 =𝒃𝟐 = ⋯= 𝒃𝒏 =0，矛 盾) 设𝜶＝𝑎1𝜀1+𝑎2𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝜀𝑛 ＝𝑏1𝜀1+𝑏2𝜀2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝜀𝑛 → (𝑎1-𝑏1)𝜀1 + (𝑎2-𝑏2)𝜀2 + . +(𝑎𝑛-𝑏𝑛)𝜀𝑛 ＝0 → 由基𝜺𝟏, 𝜺𝟐 ，⋯,𝜺𝒏线性无关可知 𝑎𝑖= 𝑏𝑖(i=1,2,.,n), 即 表示唯一