沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.1 二次型及其矩阵表示

第5章二次型$ 5. 1二次型及其矩阵表示$ 5.2标准形$5.3唯一性$5.4正定二次型2

第5章 二次型 2 §5.1 二次型及其矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型

S5.1 二次型及其矩阵表示

§5.1 二次型及其矩阵表示 3

第五章二次型S5.1二次型及其矩阵表示学习目标1.二次型的矩阵定义2.矩阵的合同定义3.二次型的等价定义4.非退化线性替换的定义和作用

第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 学习目标 3. 二次型的等价定义 4. 非退化线性替换的定义和作用 1.二次型的矩阵定义 2.矩阵的合同定义

第五章二次型二次型的历史二次型及其矩阵表示串二次型的系统研究是从18世纪开始的起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论1801年，高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)[德]：引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。柯西(Augustin Louis Cauchy)[法]:当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特(JamesJoseph Sylvester)[英]:给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)[德] :重新发现和证明了这个定律

第五章 二次型 二次型的历史 二次型及其矩阵表示 二次型的系统研究是从 18 世纪开始的 起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论 1801年, 高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)[德]: 引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语 。 柯西(Augustin Louis Cauchy)[法]: 当方程是标准型时, 二次曲面用二次项的符号来进行分 类不太清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正 项和负项 。 西尔维斯特(James Joseph Sylvester)[英]: 给出了n个变数的二次型的惯性定律, 但没有证明。 雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)[德]: 重新发现和证明了这个定律

第五章二次型二次型的历史顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908高斯[德](1777.4.30~1855.2.23)宣统1908-1911

高斯[德] (1777.4.30~1855.2.23) 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911 第五章 二次型 二次型的历史

第五章二次型二次型的历史顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908柯西[法](1789.8.21~1857.5.23)宣统1908-1911

顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911 第五章 二次型 二次型的历史 柯西[法] (1789.8.21~1857.5.23)

第五章二次型二次型的历史顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908雅可比[德]1804.12.10~1851.2.18宣统1908-1911

顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911 雅可比[德] (1804.12.10~1851.2.18) 第五章 二次型 二次型的历史

第五章二次型二次型的历史顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908西尔维斯特[英(1814.9.3~1897.3.15)宣统1908-1911

第五章 二次型 二次型的历史 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911 西尔维斯特[英] (1814.9.3~1897.3.15)

启示二次型的发展经历了几代数学家的努力，在数学发展之路上只有不断进取，才能向前迈进

启 示 二次型的发展经历了几代数学家的努力，在数学 发展之路上只有不断进取，才能向前迈进

第五章二次型二次型的几何背景x =ucos@- v sin@y=usinp -cospmu? + nv2 = 1ax2 + 2bxy + cy2 = 1Cq2mu(x, y)(u,v)60

ax2 + 2bxy + cy2 = 1 mu 2 + nv 2 = 1 第五章 二次型 二次型的几何背景 x = ucos − v sin y = usin − v cos a b b c (x, y) x y m 0 0 n (u, v) u v