沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第5章 不定积分 5.4 分部积分法

第四章 §5.4 分部积分法 ·基本积分法：直接、换元、分部积分法 求导 ·初等函数 初等函数 积分 一、分部积分公式 二、积分方法比较 三、有理函数的积分 目录 上页 下页 返回 结束

§5.4 分部积分法 三、有理函数的积分 • 基本积分法:直接、换元、分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 第四章 目录 上页 下页 返回 结束 一、分部积分公式 二、积分方法比较

分部积分法分部积分公式一分部积分公式设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么(uv)'=u'v+u,移项得uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分，得[uv'dx=uv-[u'vdx, 或[udv=uv-{vdu,这两个公式称为分部积分公式分部积分过程[u'dx=[udv=v-[vdu=uv-[u'vdx=...o010l目录上页下页返回结束

•分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv) uvuv , 移项得 uv (uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式.   uv dx uv u  vdx , 或   udvuv vdu ,   uv dx uv u  vdx , 或   udv uv vdu ,              uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx . 一、分部积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：[uv'dx=[udv=uv-[vdu=uv-[u'vdx=...例1[ xcosxdx= [xd sin x= xsin x-[sin xdx=x sin x+cos x+C.例2[xe"dx=[xdex = xex-[e"dx= xex-e' +C .使用经验例3[x?e*dx= [x?dex =x?ex-[e*dx?=x2ex-2[xe*dx=x?ex-2[ xdex“反对幂指三=x?ex -2xe*+2[e*dx在后的微分。=x?ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.elol0l0lx目录上页下页返回结束

例1 x sin xcos xC . 例2 例3 x 2e x2xe x2e xC e x(x 22x2 )C.              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1    例 1 xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx    xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          . 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 “反对幂指三” 使用经验 在后的凑微分 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：[uv'dx=[udv=uv-[ vdu=uv-[u'vdxdx1 xdx221nx例4 xln xdx =rV2Qx2nxlnx22例5 [arccosxdx = xarccosx-[xdarccosxdx=xarccosx-x2) 2d(1-x=xarccosx=xarccosx-1-x2 +C 0000X目录上页下页返回结束

例4 例5              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5   arccosxdx  xarccosx xd arccosx dx x x x x    2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2  x x x d x    x x x C 2 arccos 1 . 例 5   例 5 arccosxdx  xarccosx xd arccosx   arccosxdx  xarccosx xd arccosx 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

部积分法分部积分过程[u'dx=[udv=uv-[ vdu=uv-[u'vdx=..例6arctanxdx2xarctanxa21-2arctanxdx22+12arctanxdx+221arctanx+CrctanxX222elololol上页下页返回结束目录

例6              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6    2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2  x x x arctanxC 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6    2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：{uv'dx=[udv=uv-{vdu=uv-{u'vdx=.-例7 求[e*sin xdx.解 因为[e' sin xdx=[sin xdex =e'sin x-[e'dsin x=e*sin x-[e*cosxdx=e*sin x-[cosxdex=e*sinx-excosx+[e*dcosx=e"sinx-e"cosx-|e"sinxdxe'sinxdx =所以(sinx-cosx)+C2eloloolx上页下页目录返回结束

解 因为 例例77求 e xdx x sin  .    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde  e xe x e d x x x x sin cos cos  e xe x e xdx x x x sin cos sin , 所以 e xdx e x x C x x     (sin cos ) 2 1 sin .    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde              分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「uv'dx={udv=uv-{vdu=uv-{u'vdx=...例8 求[sec3 xdx .解 因为[ sec3 xdx =[ secx-sec? xdx = [secxd tan x=secxtan x-[secxtan? xdx=secxtanx-[secx(sec2 x-1)dx=secxtanx- sec3 xdx+[secxdx=secxtan x+ln |secx+tan x|-[sec3 xdx所以sec3xdx=(secxtanx+ln secx+tanxD+C0lol00lx目录上页下页返回结束

             分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 解 因为 例例88求  xdx 3 sec .    sec xdx  secxsec xdx  secxd tan x 3 2   x x x xdx 2 sec tan sec tan  secxtan x secx(sec x1)dx 2   secxtan x sec xdx secxdx 3   x x x x  xdx 3 sec tan ln |sec tan | sec , 所以  xdx 3 sec  (secxtan xln |secxtan x|)C 2 1 .    sec xdx  secxsec xdx  secxd tan x 3 2    sec xdx  secxsec xdx  secxd tan x 3 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：{uv'dx=[udv=uv-{vdu=uv-{u'vdx=..-例9求 ( sin(In x)dx.解sin(ln x)dx= x sin(ln x) - ( xd[sin(ln x)]= xsin(ln x)-[ xcos(ln x).dxx= x sin(ln x) - x cos(ln x) + xd[cos(ln x)]sin(In x)dx= x[sin(In x) - cos(ln x)]Xsin(ln x)dx=[sin(In x)- cos(ln x)l + C2ellol0lx目录上页下页返回结束

例9 求 sin(ln ) .  x dx 解 sin(ln x)dx   xsin(ln x)  xd[sin(ln x)]     dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )   xsin(ln x)  xcos(ln x)  xd[cos(ln x)]   x[sin(ln x)  cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x                 分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：: [uv'dx=[udv=uv-[vdu=uv-{u'vdx=...求[evxdx.例10解法一令x=2,则dx=2tdt.于是[e)xdx =2[te'dt=2e'(t-1)+C=2e/x(Vx-1)+C解法二[e×dx=[evxd(/x)=2[ /xe/xd/x=2]/xdex=2/xevx-2Jevxd/x=2/xeVx_2eVx +C=2evx(/x-1)+Celoloelx目录上页下页返回结束

解法一 于是 解法二 例例1100求 e dx x  . 令xt2 , 则dx2tdt. e dx x  te dt e t C e x C t t x        2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 xde xe e d x x x x    2  2 2 xe e C e x C x x x  2 2   2 ( 1) . e dx x  te dt e t C e x C t t x         e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x         e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x         2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 xde xe e d x x x x    2  2 2 xe e C e x C x x x 2 2  2 ( 1) .              分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法二、积分方法比较·第一换积分元法与分部积分法的比较第一步都是凑微分令(0(x)=u( f[p(x)lp'(x)dx=[ f[p(x)]dp(x)f(u)du=...[u(x)v(x)dx=[u(x)dv(x)=u(x)v(x)-[ v(x)du(x)=...注:在前者中(x)是以(x)为中间变量的复合函数，故用换元积分法在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数，故用分部积分法0ll0l0lx上页下页返回目录结束

在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量 的复合函数, 故用分部积分法. 在前者中f[(x)]是以(x)为中间变量 的复合函数, 故用换元积分法. 第一步都是凑微分 •第一换积分元法与分部积分法的比较 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . 注： 二、积分方法比较 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法