沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.4 基变换与坐标变换

S6. 4 基变换与坐标变换2

§6.4 基变换与坐标变换 2

86.3维数，基底与坐标第六章线性空间预习问题1.线性空间的基底唯一吗？2.过渡矩阵的定义3.一个向量在不同基底下的坐标变换公式

3 预习问题 1.线性空间的基底唯一吗？ 第六章 线性空间 §6.3 维数，基底与坐标 2.过渡矩阵的定义 3.一个向量在不同基底下的坐标变换公式

*问题的提出：VEEVdimV=n基gi,62,.,基6j,82,·.·,,x2s,xnx福向量在不同基下坐标有何换算关系

* 问题的提出： • dimV=n →   V 1 2 n 基   , , , / / / 1 2 n 基   , , , 1 2 ( , , , ) n x x x / / / 1 2 ( , , , ) n x x x 向量 ξ 在不同基下坐标有何换算关系？

·例：V,={α：始点为坐标原点的平面矢量)(x,y)α=(x,y), α=(x,y)？axei,eHX0Xx=x' cos0-y singy=x sin+y' cos0e

•例： V2={α：始点为坐标原点的平面矢量}  = ( , ), x y x y / /  = ( , ) x y / x / y 1 e 2 e  / 1 e / 2 e 1 2 e ,e / / 1 2 e ,e ( , ) x y / / ( , ) x y  ? / / / / cos sin sin cos x x y y x y      = −   = +

*形式书写记号及其性质设 α, β, β, ..., β,eV, X,,x2,,x,eP, α=xβ+xβ, +...+x,β.XiX,可形式的表示为α=（β，β，…，β,），这里β,β2,.…,β(eV)是向量,X.Xi，X2，,x,(eP)是数，故这里已经不具有矩阵乘法的实质意义，但在形式上借助了乘法法则表述了向量β，β,，…，β,的线性组合' =a6 +a2162++anenE2=a2G,+a2262+...+an2en借助形式符号→更一般的情形：e,=ane +ane2+...+amenaai2ana22a21a2n(C),c2,..,6,)=(8),62,*,6,)A =(8),62,*",8,)anan2am)

* 形式书写记号及其性质 设 1 2 n 1 2 n     , , , , V, x , x , , x P   ，    = + + + x x x 1 1 2 2 n n ， 可形式的表示为 1 2 1 2 n n x x ( , , , ) x           =       , 这 里 1 2 n    , , , (V )是向 量， x , x , , x ( P) 1 2 n  是数，故这里已经不具有矩阵乘法的实质意义，但在形式上借 助了乘法法则表述了向量 1 2 n    , , , 的线性组合 → 更一般的情形： / 1 11 1 21 2 1 / 2 12 1 22 2 2 / 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a              = + + +   = + + +     = + + + ⎯⎯⎯⎯⎯→ 借助形式符号 11 12 1 / / / 21 22 2 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 ( , , , ) ( , , , )A ( , , , ) n n n n nn a a a a a a a a a                = =      

*形式记号的运算性质：设α,αz,",α,,β2",β,V，A=(a),B=(b,）是数域P上的n阶矩阵，则1)((α1, α2,*, αn)A)B=(α1, α2, **, α,)AB ;2)(α, α2,"", α,)A+(αi, α2,"", αn)B=(α, α2, ", α,)(A+B) ;3)(α,α2,*, α,)A+(β, β,", β,)A=(α, +β,α, +β2,*",α, +β,)A证明：略

* 形式记号的运算性质： 设 1 2 n 1 2 n       , , , , , , , V ，A (a ), B (b ) ij ij = = 是数域 P 上的 n 阶矩阵， 则 1) 1 2 n 1 2 n (( , , , )A)B ( , , , )AB       = ； 2) 1 2 n 1 2 n 1 2 n ( , , , )A ( , , , )B ( , , , )(A B)          + = + ； 3) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ( , , , )A ( , , , )A ( , , , )A             + = + + + . 证明： 略

一基变换公式命题1设minV=n,,&,,&; ,2,,, 是V 的基n 上的可逆矩阵 A=(,), 3(,2,",)=(,2,,&)A线性表示证明：（,,,是V的基→ (g,&2,.,c (i -1,2,...,n)→ 3a, eF,i,j=l,2,,n, 3 =ag +ae2+..+aneE, =a2G +a22 +.-+an6(1）（基变换公式）E, =anG +a2n2 +...+amen，用矩阵形式表达此关系：★

一 基变换公式

aa,a12na21a22a2n(cl,&2,",3))=(c,62,".,c,)A,其中A:anan2am现证明A是可逆矩阵线性表示因,2,,是基 → 8, <8.,...,8(i=1,2,...,n)，即3b,eF,i, j=l,2,..",n,33hb2)b22b.21(81,82,",,) =(81,82,...,6,)B,其中B-bnbbnnn(8),82,-,8n)=(81,82,**,8))B=((81, 82,.--, 8n)A)B =(81, 82,**-, 8)AB又(81,82,,8)=(81,82,,8,)I，据表示的唯一性得 AB=IA可逆，且A-1=B

/ / / 1 2 n 1 2 n ( , , , ) ( , , , )A       = ，其中 11 12 1 21 22 2 1 2 A n n n n nn a a a a a a a a a       =      

(g), 82,..-, C,) =(G1, 82, ..-, 8)A31,2,...,称如上公式为基 Sj,C2,·,到基的基变换公式称A为基1,2,,基 1,2,静过渡矩阵过渡矩阵A是可逆矩阵

⚫ 称如上公式为基 到基 的基变换公式； 称A为基 到基 的过渡矩阵 1 2 n    , , , / / / 1 2 n    , , , 1 2 n    , , , / / / 1 2 n    , , , / / / 1 2 n 1 2 n ( , , , ) ( , , , )A       = 过渡矩阵A是可逆矩阵

二. 坐标变换公式·命题2VEEV(C1,82,, 8) =(61, 82, 8,)A基变换公式XX坐标变换公式A

二. 坐标变换公式 • 命题2 / / / 1 2 n 1 2 n ( , , , ) ( , , , )A       = 基变换公式   V / 1 1 / 2 2 / n n x x x x A x x           =                 坐标变换公式