沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.7 子空间的直和

S6.7 子空间的直和2

§6.7 子空间的直和 2

线上预习问题1.直和的定义2.直和的等价条件3.直和的证明方法3

3 线上预习问题 1.直和的定义 2.直和的等价条件 3.直和的证明方法

S6.6子空间的交与和第六章线性空间线上测试题答疑设Wi和W2是Rnn的两个子空间，其中W是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实上三角矩阵构成，则W+W的维O数，WinW2的维数分别是（正编客案：An2,023.1%D : 7.7%A:23.1%n(n -1),n138.4%C:30.8%n2,nC30.8%n(n+1),nB:38.4%7.7%1A

第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 线上测试题答疑

86.7子空间的直和第六章线性空间由线性空间的维数公式维（V）+维（V2）=维(Vi+V2）+维（Vin V2）可知，当Vin V2={0)时，维数公式维（V）+维（V2）=维（Vi+V2），称这样的子空间的和为直和。若能将一个线性空间分解成若干个子空间的直和，则整个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究，研究子空间的直和就是为了从分解线性空间的角度进一步研究其结构，直和分解使得线性空间变成若于个子空间的组合，降低了线性空间的维数。5

5 第六章 线性空间 §6.7 子空间的直和 由线性空间的维数公式维（𝑉1）+ 维（𝑉2）= 维 （𝑉1 + 𝑉2）+ 维（𝑉1 ∩ 𝑉2）可知，当𝑉1 ∩ 𝑉2 = 0 时，维数公式维（𝑉1）+ 维（𝑉2）= 维（𝑉1 + 𝑉2 ），称这样的子空间的和为直和。若能将一个线 性空间分解成若干个子空间的直和，则整个线性 空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研 究，研究子空间的直和就是为了从分解线性空间 的角度进一步研究其结构，直和分解使得线性空 间变成若干个子空间的组合，降低了线性空间的 维数

第六章线性空间S6.7子空间的直和一、2个子空间的直和1、直和的定义定义9设VVz是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α = + α2,α1 E V1,α2 E V2是唯一的，这个和就称为直和，记为Vi④V2

第六章 线性空间 §6.7 子空间的直和 一、2个子空间的直和 1、直和的定义 定义9 设𝑉1, 𝑉2是线性空间𝑉的子空间，如果和𝑉1 + 𝑉2中每个 向量𝛼的分解式 𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2, 𝛼1 ∈ 𝑉1, 𝛼2 ∈ 𝑉2 是唯一的，这个和就称为直和，记为𝑉1 ⊕ 𝑉2

第六章线性空间86.7子空间的直和2、直和的判定定理8和V+V2是直和的充要条件是等式α1 + α2 = 0,ai E Vi(i = 1,2)只有在α全为零时才成立、证：定理的条件实际上就是：零向量的分解式是唯一的。为而这个条件显然是必要的。。充分性：设α=V+V2,设它有2个分解式α = α1 + α2 = β + β2,αi,β E V;(i = 1,2)于是(α1-β)+ (α2 -β2)= 0,其中αi-β E V;(i=1,2)。由定理的条件应有αi一β=0，αi=β;(i= 1,2)。因此零向量分解唯一

第六章 线性空间 §6.7 子空间的直和 2、直和的判定 定理8 和𝑉1 + 𝑉2是直和的充要条件是等式 𝛼1 + 𝛼2 = 0, 𝛼𝑖 ∈ 𝑉𝑖(𝑖 = 1,2) 只有在𝛼𝑖全为零时才成立. 证：定理的条件实际上就是：零向量的分解式是唯一的。为 而这个条件显然是必要的。 充分性：设𝛼 = 𝑉1 + 𝑉2,设它有2个分解式 𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛽1 + 𝛽2, 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ∈ 𝑉𝑖(𝑖 = 1,2) 于是 𝛼1 − 𝛽1 + 𝛼2 − 𝛽2 = 0，其中𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 ∈ 𝑉𝑖(𝑖 = 1,2)。 由定理的条件应有𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 = 0​，𝛼𝑖 = 𝛽𝑖(𝑖 = 1,2)。因此零向量分 解唯一

第六章线性空间S6.7子空间的直和推论：V+V2是直和← Vin V2=(0)证：先证条件的充分性。假设有等式α1 + α2 = 0,αi E V;(i = 1,2)那么α1=-α2 E Vi n V2。由假设α1=α2=0。这就证明了Vi+V2是直和。再证必要性。任取向量αEVnV2，于是零向量可以表成α + (-α) = 0,αi E V;(i = 1,2)因为是直和，所以α=-α=0。这就证明了VinV2=(0)

第六章 线性空间 §6.7 子空间的直和 推论： 𝑉1 + 𝑉2是直和 ⇔ 𝑉1 ∩ 𝑉2 = {0} 证：先证条件的充分性。假设有等式 𝛼1 + 𝛼2 = 0, 𝛼𝑖 ∈ 𝑉𝑖(𝑖 = 1,2) 那么𝛼1 = −𝛼2 ∈ 𝑉1 ∩ 𝑉2。 由假设𝛼1 = 𝛼2 = 0。这就证明了𝑉1 + 𝑉2是直和。 再证必要性。任取向量𝛼 ∈ 𝑉1 ∩ 𝑉2，于是零向量可以表成 𝛼 + (−𝛼) = 0, 𝛼𝑖 ∈ 𝑉𝑖(𝑖 = 1,2) 因为是直和，所以𝛼 = −𝛼 = 0。这就证明了𝑉1 ∩ 𝑉2 = 0

第六章线性空间S6.7子空间的直和定理9设V,V2是线性空间V的子空间，令W=Vi+V2，则W = V, Vz ←维(W)=维(V)+维(V2)Th8推论证明：→据题设dimVinV2=0Th7结论成立、题设 → dimV nV2 = 0 → VnV2 ={0} →介Vi+V2是直和

第六章 线性空间 §6.7 子空间的直和 定理9 设𝑉1, 𝑉2是线性空间𝑉的子空间，令𝑊 = 𝑉1 + 𝑉2，则 𝑊 = 𝑉1 ⊕ 𝑉2 ⇔维(𝑊)=维(𝑉1)+维(𝑉2). 证明： ⇒ 据题设 Th8推论 dimV1 ∩ 𝑉2 = 0 Th7 结论成立. ⇐ 题设 → 𝑑𝑖𝑚 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 0 → 𝑉1 ∩ 𝑉2 = {0} → 𝑉1 + 𝑉2是直和

直和的等价条件设V，V，是线性空间V的子空间，那么下列条件等价。①V+V,是直和；②等式α+α,=0，α,EV,（i=1，2）只有在α,全为零向量时才成立，即V的零向量的分解式唯一：?VnV,=(0): ?dim（V+V）=dim（V）+dim（V）（V，V,是V的有限维子空间）；③V的基与V,的基合起来恰好是V+V,的基（V,V,是V的有限维子空间）。<10

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线性空间是其二子空间直和的证明方法设W,W,是数域P上的线性空间V的两个子空间，欲证V=W?W2。方法一：从集合的角度：只需证明：①V=W+W②WnW,=o同时成立。对只需要证VCW+W2，对②只需要证WW,中任一向量皆为零向量。方法二：从维数的角度（V是有限维线性空间）只需证明：①dimV=dim（W+W）：②dim（Wi+W）=dimW+dimW,同时成立即可。11

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