沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第5章 不定积分 5.2 积分法（2/2）第二换元积分法

4. 2积分法(2)一第二换元积分法

—第二换元积分法 4.2 积 分 法(2)

第二换元积分法基本思路第一类换元法解决的问题[ f [p(x)]p'(x)dx = [ f(u)duu=(x)难求易求[f(u)du 难求,若所求积分[ f[p(x)]p(x)dx 易求,则得第二类换元积分法

基本思路 第二换元积分法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx   f (u)du  u  (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx  易求, 则得第二类换元积分法 .  f (u)du 难求

定理.设x=の(t)是单调可导函数，且(t)±0,f[(t)lβ't）具有原函数，则有换元公式J f(x)dx = J f [o(t)]p(t)dtt=p-'(x)其中 t=β-l(x)是x=(t)的反函数,Jf(x)dx步骤：换元x=p(t)= J f[o(t)]p'(t)d积分= F(t)+C回代t=βp-l(x)= F[β- (x)] +C

定理 . 设 x  (t) 是单调可导函数 , 且 '(t)  0, f [(t)] '(t) 具有原函数 , 1 ( ) ( )d [ ( )] '( )d t x f x x f t t t         1 t  (x) x (t) .  其中  是  的反函数 则有换元公式 步骤： f (x)dx   f [(t)] '(t)dt  换元 x  (t)  F(t) C 1 F[ (x)] C    积分 回代 1 t  (x)  

口根式代换口倒代换口三角代换

p根式代换 p倒代换 p三角代换

J f(x)dx= [ f[p(t)lp'(t)dt=F(t)+C=F[β-l(x)]+C1.1求dx.例题1+/x+2解设t=x+2，即x+2=t3，则dx=3t2dt,11+1-dt = dx =dt1+/x+21+t+1= 3 [(t - 1)ldt1+t3(t -1)? +3ln | t +1| +C213(3/x + 2 -1)2 + 3ln /3/x + 2 + 1 /+CJ1+/x+2dx2

例 题 一 2 1 1 3 1 t dt t     f x dx f t t dt F t C F x C x t          ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] 1 ( )    

根式代换口形式为ax + bax + bax +R("cx+acx+cxax +b可令t，其中N为ni,n2，..,n的最小客cx +d公倍数，则可化为有理函数的积分

根式代换 p 形式为 1 2 ( , , , ) k n n n ax b ax b ax b R dx cx d cx d cx d         可令 ，其中N为n1 ,n2 N , .,nk的最小 ax b t cx d    公倍数，则可化为有理函数的积分

J f(x)dx 0[ f[p(t)lp'(t)dt= F(t)+C=F[β-'(x)]+C1例题二求dx ./x+4x解 设t=/x即x=t4，则dx= 4t'dt,2-4r'dt=4J(t-1+→1原式=J f2 +tt+1=2t? - 4t + ln |t +1| +C=2/x-4/x+In/x+1+C

例 题 二 f x dx f t t dt F t C F x C x t          ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] 1 ( )    

单选题03设置1分dx如何换元？Vx=t/x=t/x=t/x =t提交

A B C D 提交 3 1 dx x  x  如何换元？ x  t 3 x  t 6 x  t 5 x  t 单选题 1分

练习：dxx+#

练习： 3 1 dx x  x 

倒代换令x==，可作倒代换的条件：设m，n分别表示t被积函数(x)的分母、分子关于x的最高次数，若m-n>1，则可作倒代换，否则不可作倒代换

倒代换  令 ，可作倒代换的条件：设m，n分别表示 1 x t  被积函数f(x)的分母、分子关于x的最高次数，若 m-n>1，则可作倒代换，否则不可作倒代换