沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.5 对角矩阵

s7.5 对角矩阵2

§7.5 对角矩阵 2

S7.5对角矩阵第七章线性变换线上预习问题d对角矩阵是矩阵中最简单的一种d哪些&(EL(V)在适当的基下，其矩阵是对角矩阵？若&在某基下的矩阵是对角矩阵，则称α可对角化本节问题：什么样的线性变换可以对角化？

第七章 线性变换 §7.5 对角矩阵 对角矩阵 是矩阵中最简单的一种. → 哪些A (∈L(V))在适当的基下,其矩阵是对角矩阵？ 1 n d d           → 若A 在某基下的矩阵是对角矩阵，则称A 可对角化 → 本节问题：什么样的线性变换可以对角化？ 线上预习问题

S7.5对角矩阵第七章线性变换定理7设A是n维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量00/入10012.设A在基12，n下具有对角矩阵100...ΛnAsi = ie,i = 1,2,..-,n因此，&1,&2,,&n就是A的n个线性无关的特征向量。反过来，如果A有n个线性无关的特征向量&1,&2，，&n，那么就取&1，&2,，&n为基，显然，在这组基下A的矩阵是对角矩阵

第七章 线性变换 §7.5 对角矩阵 定理7 设A是𝒏维线性空间𝑽的一个线性变换，A的矩阵可以在 某一基下为对角矩阵的充要条件是A有𝒏个线性无关的特征向量. 设A在基𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑛下具有对角矩阵 𝝀𝟏 𝟎​ ⋯ 𝟎 𝟎​ 𝝀𝟐 ⋯ 𝟎 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝟎​ 𝟎​⋯ 𝝀𝒏 𝐴𝜀𝑖 = 𝜆𝑖𝜀𝑖 , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 因此，𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑛就是A的n个线性无关的特征向量。 反过来，如果A有n个线性无关的特征向量𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑛，那么就 取𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑛为基，显然，在这组基下A的矩阵是对角矩阵

总结：一个对称矩阵可相似于以它的特征值为对角线的对角阵。任何矩阵都可以看成是某个线性变换在某一组基下的矩阵对对称矩阵而言，总存在一组基，使该线性变换在这组基下的矩阵为对角阵。类比：魔方打乱的时候，我们看到是色彩混杂在一起。不断转动魔方，就能变成每个面上的颜色一致。数学解释：它的六个面的色彩就是特征值。转动魔方，就是在坐标旋转（线性变换）。哲学解释：事物总存在一个角度，在这个角度下，它的结构显得整齐而简单

总结：一个对称矩阵可相似于以它的特征值为对角线的对角阵 。任何矩阵都可以看成是某个线性变换在某一组基下的矩阵， 对对称矩阵而言，总存在一组基，使该线性变换在这组基下的 矩阵为对角阵。 类比： 魔方打乱的时候，我们看到是色彩混杂在一起。 哲学解释：事物总存在一个角度，在这个角度下，它的结构显 得整齐而简单。 不断转动魔方，就能变成每个面上的颜色一致。 数学解释： 它的六个面的色彩就是特征值。转动魔方，就是在坐标旋转(线性 变换)

S7.5对角矩阵第七章线性变换定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的证明对特征值的个数作数学归纳法，由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关。现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于k+1个不同特征值入1，,入k+1的特征向量1，52Sk+1也线性无关。(1)假设有关系式a151+a252+…+ak+15k+1=0成立。等式两端乘入k+1，得(2)a1/k+151 +a2/k+152 + .+ ak+1/k+15k+1 = 0(1）式两端同时施行变换A(3)，即有a1151+a2/252+..+ak+1/k+15k+1=0

第七章 线性变换 §7.5 对角矩阵 定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 证明 对特征值的个数作数学归纳法，由于特征向量是不为零的 ，所以单个的特征向量必然线性无关。 现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关， 我们证明属于k+1个不同特征值𝜆1, ⋯ , 𝜆𝑘+1的特征向量𝜉1，𝜉2， ⋯ 𝜉𝑘+1也线性无关。 假设有关系式𝑎1𝜉1 + 𝑎2𝜉2 + ⋯ + 𝑎𝑘+1𝜉𝑘+1 = 0 （1） 成立。 等式两端乘𝜆𝑘+1，得 𝑎1𝜆𝑘+1𝜉1 + 𝑎2𝜆𝑘+1𝜉2 + ⋯ + 𝑎𝑘+1𝜆𝑘+1𝜉𝑘+1 = 0 （2） (1)式两端同时施行变换A ，即有𝒂𝟏𝝀𝟏𝝃𝟏 + 𝒂𝟐𝝀𝟐𝝃𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒌+𝟏𝝀𝒌+𝟏𝝃𝒌+𝟏 = 𝟎 （3）

87.5对角矩阵第七章线性变换根据归纳假设，5，52，张线性无关，于是ai (i -Ak+1) = 0,i = 1,2,,k但i -k+1 ± 0(i≤k)，所以ai = 0,i= 1,2,,k，这时（1）式变成ak+15k+1= 0。又因为5k+1≠0，所以只有ak+1=0。这就证明了51，2，…5k+1线性无关。根据归纳假设，，$2，…张线性无关，于是ai (ai-Ak+1) = 0,i= 1,2,...,k但i-k+1± 0(i≤k)，所以ai=0,i=1,2,,k，这时（1）式变成ak+15k+1=0。又因为5k+1±0，所以只有ak+1=0。这就证明了51，52，…5k+1线性无关

第七章 线性变换 §7.5 对角矩阵 根据归纳假设，𝜉1，𝜉2，⋯ 𝜉𝑘线性无关，于是 𝑎𝑖（𝜆𝑖 − 𝜆𝑘+1） = 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘 但𝜆𝑖 − 𝜆𝑘+1 ≠ 0 𝑖 ≤ 𝑘 ，所以𝑎𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘，这时（1）式 变成𝑎𝑘+1𝜉𝑘+1 = 0。 又因为𝜉𝑘+1 ≠ 0，所以只有𝑎𝑘+1 = 0。这就证明了𝜉1，𝜉2， ⋯ 𝜉𝑘+1线性无关。 根据归纳假设，𝜉1，𝜉2，⋯ 𝜉𝑘线性无关，于是 𝑎𝑖（𝜆𝑖 − 𝜆𝑘+1） = 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘 但𝜆𝑖 − 𝜆𝑘+1 ≠ 0 𝑖 ≤ 𝑘 ，所以𝑎𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘，这时（1）式变 成𝑎𝑘+1𝜉𝑘+1 = 0。又因为𝜉𝑘+1 ≠ 0，所以只有𝑎𝑘+1 = 0。这就证明 了𝜉1，𝜉2， ⋯ 𝜉𝑘+1线性无关

S7.5对角矩阵第七章线性变换推论1如果在n维线性空间V中，线性变换A的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即A有n个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形的推论2在复数上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重根，那么A在某组基下的矩阵是对角形的

第七章 线性变换 §7.5 对角矩阵 推论1 如果在𝒏维线性空间𝑽中，线性变换A的特征多项式 在数域𝑷中有𝒏个不同的根，即A有𝒏个不同的特征值，那么 A在某组基下的矩阵是对角形的. 推论2 在复数上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项 式没有重根，那么A在某组基下的矩阵是对角形的

（推论1）&EL(V),dimV=n,f(2)在数域P中有n个不同的根，则可对角化5nS12

（推论1） A ∈L(V), dimV=n, fA (λ)在数域P中有n个 不同的根，则可对角化. ············ ξ1 ξ2 ξn λ1 λ2 ··············· λn A

（推论2）&EL(V)dimV=n，f(a)在复数域C中无重根，则可对角化5．(定理9),,是 (eL(V)的不同的特征值,αi,,αi是,的线性无关的特征向量（i=l，…,k）线性无关=α,,αir,", αk,, αk证明思路与定理8相仿，对特征值的个数K进行归纳即可，此处从略.关键是正确理解意义

5. (定理 9) 1 k   , , 是 A ( L(V))  的不同的特征值， i i1 ir   , , 是 i 的线性无关的特征向量（i=1, ., k）  1 k 11 1r k1 kr     , , , , , , 线性无关. (推论2) A ∈L(V), dimV=n, fA (λ)在复数域C中无重 根，则可对角化. ⚫ 证明思路与定理8相仿，对特征值的个数k 进行归纳即可，此处从略. 关键是正确理解意义

EL(V)AQu.., QirQ21,**, Q2r2Qk,***, kVV元3

······ λ1 λ2 ··············· λk 1 2 k 1 2 k 11 1r 21 2r k1 kr , , , , , , V V V          A (∈L(V))