沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.4 特征值与特征向量

S7.4 朱特征值与特征向量2

§7.4 特征值与特征向量 2

预习问题1.为什么矩阵相似是等价关系？2.线性变换（矩阵）的特征值与矩阵的关系？3.属于不同（相同）特征值的特征向量的线性关系。4.特征子空间的构成与证明

3 预习问题 1.为什么矩阵相似是等价关系？ 2.线性变换（矩阵）的特征值与矩阵的关系？ 3.属于不同（相同）特征值的特征向量的线性关系。 4.特征子空间的构成与证明

S7.4特征值与特征向量第七章线性变换特征值、特征向量概念引入问题：对任意的AEL(V)，如何找到一个基，使A在该基下的矩阵最简单？定义4&EL(V),若存在αEP，存在E(O)EV，使得=（1），则称为的特征值，为的属于的特征向量★几何意义：V,中，与在同一直线上，其长度相差|2l倍特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯食花一确定（即特征向量只能属于一个特征值）。其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标

4 第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量 其中系数是唯一确定的，它们就是𝝃在这组基下的坐标。 一. 特征值、特征向量概念引入 问题： 对任意的A∈L(V), 如何找到一个基，使A 在该基 下的矩阵最简单？ 定义4 A ∈L(V), 若存在A ∈P，存在ξ(≠0)∈V，使得 A ξ=λ0 ξ （1），则称λ0为A的特征值，ξ为A 的属于λ0的特 征向量.  几何意义：V3中， A ξ与ξ 在同一直线上，其长度相差|λ0| 倍.  特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯 一确定（即特征向量只能属于一个特征值）

证明：1）=→对任意的kEP,0,(）=k=k(20)=20(kE) .即：凡k都是&的属于入的特征向量2)设α是的属于特征值特征向量→α=,α=→ (2 —)α=0 → 因α0,故>—2=0 →2=: 统领的特征统领的征征向量全体向量全体两集合无公共向量

证明：1）A ξ＝λ0 ξ → 对任意的k∈P, k≠0, A (kξ) ＝kA ξ＝ k(λ0 ξ)＝λ0 (kξ) . □ 即: 凡kξ都是A 的属于λ0的特征向量. 2) 设α是A 的属于特征值λ1 ,λ2 特征向量 → A α= λ1α= λ2α → (λ1 －λ2 )α= o → 因α≠0, 故 λ1 －λ2 = o → λ1 =λ2 . □ 两集合无公共向量 A λ1 统领的特征 向量全体 λ2 统领的征征 向量全体

★V,=[αEV|=入α是V的子空间，称为的属于特征值入的特征子空间，由的属于特征值入的特征向量与零向量（非入的特征向量）组成证明：对任意的 kEP,α,βEV,(α+β)=& (α)+ (β)=2α+2β= 2(α+β) →α+β EV,(kα)=k&α=k(αα)=>(kα)→ kαEV, 故V,是V的子空间★例取数乘变换%EL(V)，对任意的α(+ 0)EV,kEP,%(α)=ka,即V中非零向量均为%的属于特征值k的特征向量，特征子空间即为V特别当k=1时，V中非零向量均为恒等变换8的属于特征值的特征向量：V中非零向量均为零变换の的属于特征值0的特征向量．它们的特征子空间均为V

 Vλ={α∈V | Aα=λα}是V的子空间，称为A 的属于 特征值λ的特征子空间，由A 的属于特征值λ的特征向量 与零向量(非λ的特征向量)组成. 证明：对任意的 k∈P, α,β∈Vλ , A (α＋β) = A (α)＋A (β) = λα＋λβ= λ(α＋β) → α＋β ∈Vλ A (kα) = kA α=k (λα) =λ(kα) → kα∈Vλ故Vλ是V 的子空间 特别当 k = 1时, V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特 征值的特征向量；,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量. 它们的特征子空间均为V. 例 取数乘变换K ∈L(V)，对任意的α(≠ 0)∈V, k∈P, K (α) = kα, 即V中非零向量均为K 的属于特征 值 k 的特征向量，特征子空间即为V

（6）矩阵的特征子空间←1）矩阵的特征子空间的定义：设入o是矩阵A的特征值，则Va。=（αECnAα=入oα是C"的子空间，将V，。称为矩阵A的（属于特征值入的）特征子空间.2）矩阵的特征子空间V，的求法由1）知Va。就是齐次线性方程组(Λ.E一A)X=0的解空间，因此只需求得线性方程组(E-A)X=0的一个基础解系n,nk(k=n-r(aE-A))，那么Va。=L(n1,"",nk).-

87.4特征值与特征向量第七章线性变换特征值、特征向量的计算设(EL()在基&1,&2，,下的矩阵命题：1.A= (aj)nxn )则 = Xii+ X2&2 + ... + X, 是的属于特征值入的特征向量的充要条件是0X10X2(或|2E-A=0）(E-A)有非零解00

二、 特征值、特征向量的计算 1. 命题 : 设A (∈L(V))在基ε1 ,ε2 , ···,εn 下的矩阵 A= (aij)n×n , 则 ξ= x1 ε1+ x2 ε2 + ··· + xn εn 是A 的属于特征值λ的特征向量的充要条件是 1 2 n x 0 x 0 ( E A) E A 0 0 x 0           − = =                 有非零解 （或 - ） 第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量

《入是/的特征值的充要条件是f()=0》对命题的证明分析：，即是的特征值（E一A）(aE-A)X=0有非零解←E-A|=O，即f(a)=0以上讨论说明，线性变换的特征值均为（2)的根，设入是的特征值，即f(α)=[αE一A|=0→)如上齐次线性方程组(2E一A)X=0的非零解均为&的属于特征值入的特征向量一→给出如下课题的思路：

对命题《λ是A 的特征值的充要条件是fA (λ) = 0 》 的证明分析: 1 n A x 0 ( E A) x 0 E A X 0 E A 0 f 0.           − =                 =  − = = 是 的特征值 ，即 ( - ) 有非零解 ，即 ( ) A ⚫ 以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为fA (λ)的 根，设λ0是的特征值，即fA (λ0 ) = |λ0 E－A| = 0 → 如上齐次线性方程组 (λ0E－A)X=0 的非零解均为A 的 属于特征值λ0 的特征向量 → 给出如下课题的思路：

S7.4特征值与特征向量第七章线性变换该命题说明，2是否为α的特征值，(+0）是否为&的属于入的特征向量，关键在于12E一A/是否等于0，故有必要研究多项式2E一AI的特性一→促使引入一下概念：2. 定义5AEPn×n，入是文字，矩阵2E一A/的行列式[a-a-a-a2r2-a22-a21nE-A=2-aadn2nnn称为矩阵A的特征多项式，记为fA（2）。★ fA(2) = [2E - A/ EP[x], 0 fA(2) = n .★入为的特征值的充要条件是()=0

 该命题说明，λ是否为A 的特征值，ξ(≠0) 是否为A 的属 于λ的特征向量，关键在于 |λE－A| 是否等于0，故有必要研 究多项式 |λE－A| 的特性 → 促使引入一下概念： 称为矩阵A的特征多项式，记为 fA (λ) .  fA (λ) = |λE－A| ∈P[x], ∂ fA (λ) = n .  λ为A 的特征值的充要条件是fA (λ) = 0 . 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a E A a a a     − − − − − − − = − − − 第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量 2. 定义5 A∈Pn×n , λ是文字，矩阵 |λE－A| 的行列式

S7.4特征值与特征向量第七章线性变换矩阵的特征多项式的系数在a12d11in-α2 1 1 - α22a2n[ME -A| =Λ - ann![-an1- an2 ".的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积(a - a11)(a - a22) (a - ann)

第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量 矩阵的特征多项式的系数. 在 𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 − 𝑎11 − 𝑎12 ⋯ − 𝑎1𝑛 −𝑎2 1 𝜆 − 𝑎22 ⋯ − 𝑎2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ −𝑎𝑛1 − 𝑎𝑛2 ⋯ 𝜆 − 𝑎𝑛𝑛 . 的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积 (𝜆 − 𝑎11)(𝜆 − 𝑎22) ⋯ (𝜆 − 𝑎𝑛𝑛)