沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第9章 欧氏空间 9.2 标准正交基

标准正交基S9.2 72

§9.2 标准正交基 2

预习问题1.标准正交基的定义2.标准正交基的性质3.标准正交基的求法

3 预习问题 1.标准正交基的定义 2.标准正交基的性质 3.标准正交基的求法

s9.1定义与基本性质第九章欧氏空间概念及基本性质定义6Euclid空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交向量组

一 概念及基本性质 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 定义6 Euclid空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交向量组．

89.1定义与基本性质第九章欧氏空间概念及基本性质定义1V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组，注：单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交）：性质1α1,2，…,αm}是正交组，则α1,αz，…,α线性无关.定义1V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组证明：设k,α,+kzαz +.… +kmαm=0,用α;(i=1,,m)于该式两边作内积，即 (αi, k,αi+kzα2 + ... + kmαm) =ki(αi, α) + ... + k;(αi, α) + ... + km(αi, αm) = (αi, O) = 0

第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 一. 概念及基本性质 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 注：单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向 量组中找不到两个向量不正交）. 性质1 {α1 ,α2 , ···,αm}是正交组，则α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 证明： 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用αi (i =1, ···, m)于该式两边 作内积， 即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) = k1 (αi , α1 ) + ··· + ki (αi , αi ) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0

→k;(αi,α)=0 → 因a0，得 (αi,α)≠0,故k;=0(i =1,",m)→α1,αz,",αm线性无关dimV=n时，V中两两正交的向量不会超过n个（如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量）定义2n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基1三性质 2j,2,,8,是 V的标准正交基 =→(,6)i#jC证明：i=j时，由单位向量的定义得/(s,8）=s=l，故（8,8）=l；i≠j时，由正交向量的定义得（ε,8）=0，故命题成立

→ ki (αi , αi ) = 0 → 因αi≠ 0 ，得 (αi , αi ) ≠ 0，故 ki = 0 (i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm线性无关 dimV = n 时，V中两两正交的向量不会超过 n 个 (如平面上找 不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量). 定义2 n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交 基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基

[1 i=j性质 2,e2,,e,是V的标准正交基 → (8,)=[0 itj证明：i=j时，由单位向量的定义得/(,ε)==l，故(,)=l;i≠j时，由正交向量的定义得(ε,ε)=0，故命题成立L性质 3n 维欧氏空间 V 的基为标准正交基 台该基的度量矩阵为单位矩阵→则设V的基882，,8的度量矩阵是单位矩阵EJi=j→s=/(s,)=l;（8i,8)=0(i±j)，即知i+j01,82,,8.是V的标准正交基

性质4n维欧氏空间V中存在一个基，其度量矩阵是单位矩阵证明：设V的基α,α,α的度量矩阵是A→A是正定矩阵A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵TeRx，使TAT=E取(β,β2,"",β)=(αi,α2,"",α,)T，则β,β2,",β,是 V 的基,而T是过渡矩阵→据P364（11）得基β,β,,,β的度量矩阵B=T'AT=E

性质581,&2,,8,是V的标准正交基VaeVUα =(81,α)8 +(81,α)82 +... +(81,α)8,α=x;8 →(α,8;)=(8i,α)证明：i=-1h=(8,Zxje)=Zx;(8i,8,) = x;j-1j-1α =(81, α)8 +(81,α)82 +... +(81,α)8

8,62,,8, 是 V的标准正交基,α=x;8，β=yj8; V性质 6i=1(α,B)=x,yi +x,y2 +...+xnyα=Vxi +x2+...+xd(α,β) =|α-β|= /(x; -y,)2

证明：(α,β) = (Xi, X2, , X,)E=xiyi+x2y2 +...+xnyn ;1α|=/(α,α)=x+x2+...+x由α-β=(x,-y,)e, +...+(x,-y,)e,推出(xi-y.). d(α,β)=α-β=/(x-y)+...+(x,-y,)如上内积的坐标表达式对任意一个标准正交基都是一样的，故所有标准正交基在欧氏空间中有相同的地位性质4一性质6说明：在标准正交基下，内积、向量长度、距离及度量矩阵均具有较简单的表达形式作业：p393习题1；习题2.1），3）；习题4；习题5

证明： 1 2 1 2 n 1 1 2 2 n n n y y ( , ) (x , x , , x )E x y x y x y y       = = + + +         ； 2 2 2 1 2 n    = = + + + ( , ) x x x ； 由 1 1 1 n n n     − = − + + − (x y ) (x y ) 推出 n 2 2 2 1 1 n n i i i=1 d( , ) (x y ) (x y ) (x y )     = − = − + + − = −  . □ ⚫ 如上内积的坐标表达式对任意一个标准正交基都是一样的， 故所有标准正交基在欧氏空间中有相同的地位. ⚫ 性质 4-性质 6 说明：在标准正交基下，内积、向量长度、距 离及度量矩阵均具有较简单的表达形式. 作业： p393 习题 1；习题 2. 1), 3)；习题 4；习题 5