沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.2 线性变换的运算

S7.2 线性变换的运算2

§7.2 线性变换的运算 2

预习问题线性变换定义了哪些运算？是怎样定义的？

3 预习问题 线性变换定义了哪些运算？是怎样定义的？

S7.1线性变换的定义第七章线性变换一线性变换的定义及实例定义1映射&：V一V称为线性空间V上的一个变换；V上的变换称为线性变换，如果对任意的α,βEV,对任意的kEP1) (α+β)=(α)+ (β);2) (kα)=kα(α)本教材一般用花体拉丁字母，B，表示线性变换：称如上条件1），2为“线性变换保持向量加法和数乘不变”注意与同构映射f：V一W（V，W为线性空间）的异同之处4

4 第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义 一、线性变换的定义及实例 定义1 映射 A ：V→V称为线性空间V上的一个变换；V上的变 换A 称为线性变换，如果 对任意的α,β∈V, 对任意的k∈P, 1) A (α+β)= A (α)+ A (β)； 2) A (kα)= k A (α). ⚫ 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，···表示线性变换； ⚫ 称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变” ； ⚫ 注意与同构映射 f：V→W（V，W为线性空间）的异同之处

S7.2线性变换的运算第七章线性变换L(V) = (AA：V-→V的线性变换V->V是线性空·L(V)间V上的一种运动，变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质

L(V) = {A │ A : V→V的线性变换} • A : V→V是线性空 间V上的一种运动，变 化。本节将研究这样 的运动、变化之间的 运算，联系及进一步 的特征性质。 V L ( V ) 第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算

S7.2线性变换的运算第七章线性变换L(v)上的加法运算定义1对任意的&.BELV)，αEV,规定+gα=&α+Bα称为&与的和，记为&+%命题1对任意的.B. B EL(V)&+BELM)，且具有如下性质：+/+8=+g+B;1.&+B=g+&;2.存在0 ELV), 0+& =& ;3对任意的&ELM，存在一EX+&/=0据4，可定义一=α十（一)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算

二. L(V) 上的加法运算 定义1 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定 (A +B )(α) = A, (α) + B (α) 称为A,与B的和，记为A +B . 第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算 命题1 对任意的A, , B, C ∈L(V) A +B ∈L(V) , 且具有如下性质： 1. (A +B ) + C = A +(B + C )； 2. A +B = B + A ； 3. 存在O ∈L(V), O +A =A ； 4. 对任意的A ∈L(V)，存在－A ∈L(V), A +(－A ) = O . ⚫ 据4，可定义 A －B =A ＋(－B)，故L(V)中有加法的逆运 算：减法运算

87.2线性变换的运算第七章线性变换设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为(α E V).(A+B)(α)= A (α)+B (α)则线性变换的和还是线性变换(A+B)α + β) =A(α +β) +B(α +β)= (A(α) +A(β)) + (B(α)+B(β))= (A(α) +B(α)) + (A(β) +B(β))= (A+B)α) + (A+B)β)线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+CA+B=B+A

第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算 设A,B是线性空间𝑉的两个线性变换，定义它们的和A+B为 (A+B)(𝜶)= A (𝜶)+B (𝜶) (𝜶 ∈ 𝑽). 则线性变换的和还是线性变换. (A+B) 𝛼 + 𝛽 = A 𝛼 + 𝛽 +B 𝛼 + 𝛽 =（A 𝛼 +A 𝛽 ）+（B 𝛼 +B 𝛽 ） =（A 𝛼 +B 𝛼 ）+（A 𝛽 +B 𝛽 ） = (A+B) 𝛼 + (A+B) 𝛽 线性变换的加法适合结合律与交换律，即 A+(B+C)=(A+B)+C. A+B=B+A

S7.2线性变换的运算第七章线性变换对于加法，零变换o与所有线性变换A的和仍等于A：A+0=A.对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）：(α E V).(-A)(α)=- A (α)则负变换（-A）也是线性变换，且A+ (-A) =0.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA

第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算 对于加法，零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A： A+ℴ=A. 对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)(𝜶)=- A (𝜶) (𝜶 ∈ 𝑽). 则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=ℴ. 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA

S7.2线性变换的运算第七章线性变换三、线性变换的数量乘法数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为kA =KA即kA(α)=K(A (α))=KA (α),当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：(kl) A=k (lA),(k + D) A=kA+lAk (A+B)=kA+kB1AA.线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间

三、线性变换的数量乘法 第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算 数域𝑷中的数与线性变换A的数量乘法定义为 𝒌A =KA 即 𝒌A(𝜶)=K(A (𝜶))=KA (𝜶), 当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： (𝒌𝒍) A=𝒌 (𝒍A), (𝒌 + 𝒍) A=𝒌A+𝒍A, 𝒌 (A+B)=𝒌A+𝒌B, 1A=A. 线性空间𝑽上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘 法，也构成数域𝑷上一个线性空间

S7.2线性变换的运算第七章线性变换四、线性变换的可逆定义变换α：V=V称为可逆变换，如果存在B：V-V使得==8.这时称%为的逆变换，记为&-1=BB：V→V即为&：V-V的逆映射.命题EL(V)，且可逆 -1EL(V)。规定&-n=( -1)n.证-1EL(V),即证α-1是V上的变换证明（说明定义）：。且保持向量的加法和数乘运算不变&-1显然是V上的变换，关键证其为线性变换

第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算 四、线性变换的可逆 定义 变换A : V→V 称为可逆变换，如果存在B : V→V, 使得 A B = BA = E .这时称B 为A 的逆变换，记为A －1 = B B : V→V 即为A : V→V 的逆映射. 命题 A ∈L(V)，且可逆 A －1∈L(V)。 规定 A －n =(A －1 ) n . 证明（说明定义）： 证A －1∈L(V), 即证A －1是V上的变换 ，且保持向量的加法和数乘运算不变. A －1显然是V上的变换，关键证其为线性变换

S7.2线性变换的运算第七章线性变换α-1(α+β) =α-1(αα-1(α) + αα-1(β)= &-1 (c (-1 (α)+ (-1(β)= & -1( ( -1(α) +& -1(β)=(&-1 )(α-1(α) +&-1(β))=α -1(α) +-1(β)α -1(ka) = -1(k(α -1)(α) =α -1(k((α-1(α)= &-1((k-1(α))= (-1)(k-1(α))= k. -1(α).故&-1EL(V)

第七章 线性变换 §7.2 线性变换的运算 A －1 (α+β) = A －1 (A A －1 (α) + A A －1 (β)) = A －1 (A (A －1 (α))+ A (A －1 (β))) = A －1 (A (A －1 (α) + A －1 (β))) = (A －1A )(A －1 (α) + A －1 (β)) = A －1 (α) + A －1 (β). A －1 ( kα) =A －1 (k(A A －1 )(α)) =A －1 (k(A (A －1 (α)))) = A －1 (A (kA －1 (α)))= (A －1A )(kA －1 (α)) = kA －1 (α). 故 A －1∈L(V)