沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第5章 不定积分 5.2 积分法（1/2）第一换元积分法

4. 2积分法(1)第一换元积分法

—第一换元积分法 4.2 积 分 法(1)

复合函数的微分法与积分的关系设f(u)有原函数F(u),且u=p(x)可微. 因为dF[p(x)FdF(u)=F'(u)du=F '[(x)]dp(x)=F '[p(x)]β(x)d x,所以F"[p(x)l@(x)dx=F'[p(x)]dp(x)=F(u)du=dF(u)=dF[p(x) ]

•复合函数的微分法与积分的关系 dF[j(x)] F [j(x)]j(x)d x, F [j(x)]dj(x) F (u)du dF(u) dF(u)dF[j(x) ]. F (u)du 所以 F [j(x)]j(x)dxF [j(x)]dj(x) 设f(u)有原函数F(u), 且uj(x)可微. 因为

[ F'lo(x)l0(x)dx因此=[ F[0(x)]d(x)=J F'(u)du=JdF(u)=JdF[0(x)]= F[0(x)]+C

   F(u)du  dF(u)   因此 F[j(x)]j(x)dx  F[j(x)]dj(x)  dF[j(x)] F[j(x)]C .   F[j(x)]j(x)dx  F[j(x)]dj(x)    F(u)du  dF(u)  dF[j(x)] F[j(x)]C

■一、换元积分法基本思路设 F(u)=f(u)，u=β(x) 可导，则有dF[(x)] = f[β(x)]β'(x)dxJ f[p(x)]p'(x)dx = F[0(x)]+C = F(u)+C|u=0(x)=J f(u)dulu u=p(x)第一类换元法J f(u) du[ f[o(x)]0'(x)dx第二类换元法

第二类换元法 第一类换元法 f [j(x)]j(x)dx  f (u)du  基本思路 设 F(u)  f (u), u j(x) 可导,     f [j(x)]j (x)dx F[j(x)]C ( ) ( )d u x f u u   j ( ) ( ) C u x F u   j dF[j(x)]  f [j(x)]j(x)dx 则有 一、换元积分法

[ f[p(x)lp(x)dx=[ f[p(x)]dp(x)=[ f(u)du=F(u)+C=F[p(x)]+C求[(2x+5)5℃ dx .例题解「(2x+5)5℃dx (2x+5)°d(2x+5)(2x + 5)51 +C .1021. f(ax + b)dx ==J f(ax + b)d(ax + b)(a 0)

例 题 一    f[j(x)]j(x)dx f[j(x)]dj(x) f (u)duF(u)CF[j(x)]C 1 1. f (ax b)dx f (ax b)d(ax b)(a 0) a       

单选题03设置1分[ 2 cos 2 xdx =2sin 2x +Csin2x +C-2sin2x + C-sin2x +C提交

A B C D 提交 2cos 2xdx   2sin 2x C sin 2x C 2sin 2x  C sin 2x C 单选题 1分

单选题O设置0分3x + 2↓ In|3x + 2| + CAIIn(3x+2)+C3In|3x +2| +Cln(3x +2)+C提交

A B C D 提交 1 3 2 dx x    1 ln 3 2 3 x  C   1 ln 3 2 3 x  C ln 3x  2 C ln 3x  2 C 单选题 0分

[ f[p(x)lp'(x)dx=[ f[p(x)]dp(x)=[ f(u)du=F(u)+C= F[g(x)]+C例题二求[ xe'" dx .解xedxdx+C2-[ f(ax* + b)d(ax* +b)2. f(ax* + b)xk-ldx = -

例 题 二    f[j(x)]j(x)dx f[j(x)]dj(x) f (u)duF(u)CF[j(x)]C 2 1 2 2 x  e dx  1 2 2 x  e C ． 1 1 2. ( ) ( ) ( ) k k k k f ax b x dx f ax b d ax b ka       

练习：1.J x/1-xdx

练习： 2 1. x 1 x dx  3 4 3 2. 1 x dx  x 

[ f[p(x)lp'(x)dx=[ f[p(x)]dp(x)=[ f(u)du=F(u)+C= F[g(x)]+C例题三cos Vx求x解原式=2[cos√xd/x=2sin Vx +C.3.J f(Vx)dx=2] (/x)d /x

例 题 三    f[j(x)]j(x)dx f[j(x)]dj(x) f (u)duF(u)CF[j(x)]C ． 1 3. f ( x) dx 2 f ( x)d x x   