沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.6 泰勒（Taylor）公式

泰勒(Taylor）（英）1685-1731第六节泰勒（Taylor)公式泰勒公式的建立几个初等函数的麦克劳林公式近似计算与误差估计其它应用小结作业思考题泰勒，B.第三章 微分中值定理与导数的应用

1 几个初等函数的麦克劳林公式 小结 思考题 作业 泰勒(Taylor)（英）1685-1731 近似计算与误差估计 其它应用 第六节 泰勒(Taylor)公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 泰勒公式的建立

泰勒公式多项式函数一、泰勒公式的建立熟悉的函数来近似代替复杂函数简单的,理论分析用多项式近似表示函数一 应用近似计算特点(1)易计算函数值；(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定，而其系数又由它在一点的函数值及导数值确定用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢

2 简单的, 多项式函数 特点(1)易计算函数值; (2)导数与积分仍为多项式; (3)多项式由它的系数完全确定, 又由它在一点的函数值及导数值确定. 而其系数 用怎样的多项式去逼近给定的函数 误差又如何呢 一、泰勒公式的建立 熟悉的函数来近似代替复杂函数. 用多项式近似表示函数— 应用   理论分析 近似计算 泰勒公式

泰勒公式回想微分若f'(x)存在，在x,附近有f(xo +△x) - f(xo) ~ f'(x,)Ax记x=x+△x一次多项式f(x) ~f(x.)+ f'(x.)(x-x)f(x) = f(xo)+ f(x)(x - xo)+ o(x - xo)当x→x,时,其误差是比(x-x)高阶的无穷小A

3 f (x)  ( ) , 若f  x0 存在 x  x  x 记 0 f (x0  x)  f (x0 )  f (x0 )x 回想微分 在x0附近有 ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x  f x  f   , 当x  x0时 ( ) . 其误差是比 x  x0 高阶的无穷小 一次多项式 ( ) ( )( ) 0 0 0 f x  f  x x  x ( )  o x  x0 泰勒公式

泰勒公式以直代曲如 当|x|很小时，e×～1+x,In(1 + x) ~ x.（如下图）yyy=xyy = ln(1+ x)y=1+ xoOTxxA

4 y  1 x x y  e y  x y  ln(1  x) （如下图） 如 当| x |很小时, e 1 x, x   ln(1 x)  x. 以直代曲 x y x O y O 泰勒公式

泰勒公式一次多项式f(x)+ f'(xo)(x -xo)~ f(x)不足1.精确度不高：2.误差不能定量的估计用适当的高次多项式希望在x附近(x-x)? +P,(x) =(x-xo)aa(x-xo)" ~ f(x)a误差是(x-x）"的高阶无穷小问题页（1）系数怎么定？(2）误差（如何估计）表达式是什么？

5 需要解决的问题 如何提高精度 ?  如何估计误差 ? 不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计. ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x  f    f ( x) 希望 一次多项式 在x0附近 用适当的高次多项式 泰勒公式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n P x a a x x a x x a x x          f (x) 误差是  0  的高阶无穷小 n x  x 问题 (1) 系数怎么定? (2) 误差(如何估计)表达式是什么?

李勃公式1.n次多项式系数的确定猜想1.若在x点相交y好近似程度越来越P,(x) = f(x)y= f(x)2.若有相同的切线P'(x) = f'(xo)3.若弯曲方向相同*x0XoP"(x) = f"(x)6

6 0 x y  f (x) o x y 猜想 ( ) ( ) 0 x0 P x f n  ( ) ( ) 0 x0 P x f n    ( ) ( ) 0 0 P x f x n      2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在x0 点相交 1.n次多项式系数的确定 泰勒公式

泰勒公式假设P(k)(xo)= f(k)(xo) k = 0,1,2,..°,nP(x) = ao +a,(x - xo)+a2(x- xo)2 +... +an(x-x)(1)由P(x)=αo’及P,(x)= f(x)得到a=f(x)(2)由P(x)=αj,及P(x) = f'(x)得到a =f(x)

7 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) P x f x k k 假设 n  k  0,1,2,  ,n 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n P x a a x x a x x a x x         0 0 ( ) , Pn (1)由 x  a 0 0 ( ) ( ) Pn 及 x  f x 0 0 得到a  f (x ) 0 1 ( ) , Pn (2)由  x  a 0 0 ( ) ( ) Pn 及  x  f  x 1 0 得到a  f (x ) 泰勒公式

泰勒公式(3) 由P"(xo)= 2!a2, 及P"(x)= f"(xo)得到α=f"(xo)-同理可得DXo),..,ana3!n!即(k)(x), k = 0,1,2,::,nak!8

8 0 2 ( ) 2! , Pn (3)由  x  a 0 0 ( ) ( ) Pn 及  x  f  x 2 0 1 ( ) 2! 得到a  f  x 同理可得 (3) ( ) 3 0 0 1 1 ( ), , ( ) 3! ! n n a f x a f x n    ( ) 0 1 ( ), 0,1,2, , ! k k a f x k n k 即    泰勒公式

泰勒公式从而f"(xo)(x - xo)2 +P(x) = f(xo)+ f'(x)(x - xo)+2!f(m)(x)(x - xo)"nK(xo)(x - xo)二k=0

9 从而 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( )( ) ! n n n P x f x f x x x f x x x f x x x n           ( ) 0 0 0 1 ( )( ) ! n k k k f x x x  k    泰勒公式

泰勒公式说明：当f(x)在x处有直到n阶导数时，多项式ZP,(x)=)(x -x)Xk在x处与f(x）有相同的函数值及直到n阶导数值.从而ZP,(x)=k)(xo)(x - xo)k!k=0n阶泰勒多项式称为 f(x)在x.处的称为泰勒系数K(x), k = 0,1,2,.,nRk!10

10 说明: 0 当f (x)在x 处 有直到n阶导数时, 多项式 泰勒公式 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( )( ) ! n k k n k P x f x x x  k    0 在x 处与f (x) 有相同的函数值及 直到n阶导数值. 从而 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( )( ) ! n k k n k P x f x x x  k    称为 0 f (x)在x 处的 n阶泰勒多项式. ( ) 0 1 ( ), 0,1, 2, , ! k k a f x k n k    称为 泰勒系数