沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.3 数列的极限

数列的极限杨淑辉计算机与数学基础教学部

1 SYN U 数列的极限 杨淑辉 计算机与数学基础教学部

纲要萌芽—截杖问题数列的极限SHULIEDEJI产生一一极限的描述定义发展——极限的分析定义完善林极限的广泛应用

2 SHU LIE DE JI XIAN 数列的极限 萌芽——截杖问题 发展——极限的分析定义 产生——极限的描述定义 完善——极限的广泛应用 纲要

1什么是数列按正整数顺序排列的无穷多个数，称为数列数列通常记作a,,az，an，或简记作[a,.数列的每个数称为数列的项，第n项称为数列的通项或一般项2等差与等比数列通项公式与求和公式

3 1 什么是数列 数列通常记作 按正整数顺序排列的无穷多个数，称为数列. 1 2 , , , , n a a  a  或简记作{an} .数列的每个数称为数列的项，第 n项称为数列的通项或一般项. 2 等差与等比数列 通项公式与求和公式

问题集中营问题1：数列极限定义怎样理解

4 问题集中营 问题1：数列极限定义怎样理解

2截杖问题345

5 . 1 2 3 4567 截杖问题

极限思想的萌芽《庄子.天下篇》：一尺之捶日取其半万世不竭11.x二X22842n截杖问题1122231>0182n2数列发现问题有固定的变化趋势2"所有的数列都有固定的变化趋势吗?提出问题：6

6 极限思想的萌芽 1 . 1 2 x  2 1 4 x  3 1 8 x  1 2 n n x  1 2 n       1 , 0 2 n n  截 杖 问 题 发现问题：数列 有固定的变化趋势. 1 2 n       提出问题：所有的数列都有固定的变化趋势吗？ 2 1 2 3 1 2

极限定义的产生极限的描述性定义：柯西(1789.8.-1857.5)当n无限增大时，如果数列x，的通项x无限接近于某一常数a，则称常数a为数列x，的极限或称数列x，收敛于a，记为limx, =an→0否则称数列(x)发散

7 极限定义的产生 柯西 （1789.8.-1857.5） 当n无限增大时, 如果数列{xn}的通项xn lim n n x a   否则称数列{xn}发散。 极限的描述性定义： 无限接近于某一常数a, 则称常数a为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛于a, 记为

数列极限的定义（极限）拉丁文limis英文limit(极限)读音lim果aX=nn8因思考问题1)“无限趋近”意味着什么？2)“无限趋近”之间的关系？如何定量地描述两个X

8 数列极限的定义 拉丁文limis（极限） 英文limit(极限) 读音 lim n n x a   因 果 思考问题： 1）“无限趋近”意味着什么？ 2）如何定量地描述两个“无限趋近”之间的关系?

1“无限趋近”lim== 0实例分析n-o n10即可。10103)取任意小为8,x,-=二二即可8n“无限增大”静态符号刻画动N=[-],n>N态的无限趋近！89

9 1 lim 0 n n 实例分析  1 n , xn a = n 1）无限趋近：随着 的无限增大  任意小 1 1 1 , 10 . 10 10 n x a n n 2）取任意小 ，    只要  即可 1 1 , . n x a n n    3)取任意小为 ，    只要  即可 1 nx a ε n    “无限趋近” 1 N [ ],n N    静态符号刻画动 “无限增大” 态的无限趋近！

极限定义的发展WDueshrl极限的分析定义（ε-N）维尔斯特拉斯数列(x,}，若对任意ε>0，总存在正整数N,使得当n>N时，恒有x,-a0,日Nz,当n>时,恒有x,-a010

10 极限定义的发展 极限的分析定义（  –N ）： 或称{xn}收敛于a， 数列{xn}, 若对任意 0 , 总存在正整数N,使得当 n>N时，恒有|xna|< 成立, 则称a是数列{xn}的极限， 否则称数列{xn lim n }发散。 n x a  记作:  + lim 0, Z , , d n n n x a  N n N x a        当  时 恒有   Any Exist 维尔斯特拉斯