沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第7章 参数估计 7.2 估计量的评选标准

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第二节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性 四、小结 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入对于同一个未知参数，不同的方法得到的估计量可能不同。应该选用哪一种估计量？用何标准来评价一个估计量的好坏？(1) 无偏性常用(2) 有效性标准(3)一致性沈阳师范大学ShentangNomal Universt

对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量 可能不同。 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性 *复习引入

一、无偏性若X,X2,,X,为总体X的一个样本QE是包含在总体X的分布中的待估参数。(①是θ的取值范围)若估计量=(Xi,X2,,X,）的数学期望E(①) 存在,且对于任意0 E ① 有 E(①)= Q, 则称是的无偏估计量无偏估计的实际意义：无系统误差若lim E(①)=θ,则称 是的渐近无偏估计n→80沈阳师范大学ShenfangNomal Univet

一、无偏性 若 X1 , X2 ,  , Xn为总体 X的一个样本，   是包含在总体 X的分布中的待估参数 , ( 是 的取值范围) . ˆ ) , ˆ ) , ( ˆ ( ( , , , ) ˆ 1 2 是 的无偏估计量 存 在 且对于任意 有 则 称 若估计量 的数学期望           = = E E X X  Xn 无偏估计的实际意义: 无系统误差. . ˆ ) , ˆ 若lim ( = 则称 是的渐近无偏估计 → E n

例1 设总体X的k 阶原点矩 μ=E(X)(k≥1)存在又设X,,X2,X,是X的一个样本,试证明不论总体服从什么分布,k阶样本原点矩 Ax=1x 是kn i=1阶总体原点矩μ的无偏估计因为Xi,X2,,X,与X同分布,证上故有 E(X')= E(X*) = μk， i=1,2,.,n.即 E(A)=}E(X) =μk:ni=l故k阶样本原点矩A，是k阶总体原点矩H的无偏估计沈阳师范大学SnenYangNormaUr

 k k 1 2 n n k k i i=1 k 设总体 X 的 k 阶原点矩μ = E(X ) (k 1)存在, 又设X , X , , X 是 X 的一个样本,试证明不论 1 总体 服从什么 分布, k阶样本原点矩 A = X 是 k n 阶总体 原点矩μ 的无偏估计. 证 因为 X1 , X2 ,, Xn与 X同分布， ( ) ( ) k k 故有 E Xi = E X , i 1,2, ,n. = k =  = = ni k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) . = k 例 1 故 k k k阶样本原点矩 A 是k阶总体原点矩μ 的 无偏估计

特别的：不论总体X服从什么分布.只要它的数学期望存在，X总是总体X的数学期望μ,=E(X)的无偏估计量沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

. ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望  = E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存 在, 特别的:

例2 证明(1)样本均值X是总体均值μ的一个无偏估计国证明设X,X,…,X,是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望．故EX, = EX, =...= EX, = μI(Xi +X, +.+X,)EX=En(EX, + EX, +..+ EX.-nu=nn所以样本均值X是总体均值u的一个无偏估计沈阳师范大学Shenang Nomal Uni

例2 证明 (1) 样本均值X是总体均值的一个无偏估计； 证 明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有 相同的分布律，从而有相同的期望．故 EX EX EX 1 2 = = = = n  1 2 1 ( ) E X E X X X n n   = + + +     所以样本均值X 是总体均值 的一个无偏估计 ( ) 1 2 1 1 EX EX EX n n n n = + + + = =  

例2证明(2）样本方差S?是总体方差。2的一个无偏估计证明设X,X,…,X,是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故2(x-)ZES?= EnXEn-n-i=1ZZ(uEX? -nExn-1-i=所以样本方差S是α2的无偏估计。沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

2 2 (2)样本方差S 是总体方差 的一个无偏估计; 例2 证明： 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 1 n n i i i i ES E X X E X nX n n = =     = − = −         − −                n 2 2 2 2 2 i=1 1 σ = (μ + σ )-n μ + = σ n -1 n 所以样本方差 2 S 是 2  的无偏估计． 证 明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有 相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故        n 2 2 i i=1 1 = EX - nEX n -1

例2证明（3）未修正的样本方差S?是总体方差8的一个渐近无偏估计证明设X,X,,X,是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故n-n-ES2ES? = Ennnlim Es?二0nn-→8所以S是的渐近无偏估计，沈阳师范大学ShenYangNoemal Univen

例2 证明 2 2 . n (3)未修正的样本方差S 是总体方差 的一个 渐近无偏估计 2 2 1 n n ES E S n   − =     2 2 lim n n ES  → = 所以 2 n S 是 2  的渐近无偏估计． 证 明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有 相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故 n n 1 1 2 2 ES n n  − − = =

单选题O3设置1分设X,X2，X是来自总体X的样本，则总体均值μ的无偏估计量是1Zx,ni=1错对A提交沈阳师范大学ShenfangNomal Univet

A B 提交 设 1 2 , , X X X n 是来自总体 X 的样本，则总体均值 的无偏估 计量是 1 1 n i i X n =  对 错 单选题 1分

单选题o设置0.5分设X～N(u,α2），（Xi,X2,,X）是取自总体X的样本若μ,均是未知的，则2的无偏估计量是（）.22}(X,-X)Z(X,-μ)二B)nn i=li=l22(X,-X)Z(X,-μ)D)n-ln一i1C提交沈阳师范大学ShenYangNoemal Univ

A B C D 提交 设 ( ) 2 X N  , , ( X X X 1 2 , , , n )是取自总体 X 的样本， 若 2  , 均是未知的，则 2  的无偏估计量是( ). A） ( ) 2 1 1 n i i X X n =  − B） ( ) 2 1 1 n i i X n  =  − C） ( ) 2 1 1 1 n i i X X n = − −  D） ( ) 2 1 1 1 n i i X n  = − −  单选题 0.5分