沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第4章 数字特征 4.1 数学期望

删除标识福昕编辑器第一节数学期望数学期望产生的背景一二、离散型随机变量的数学期望三、连续型随机变量函数的数学期望福昕PDF编辑器福PDF编辑器四、随机变量函数的数学期望五、数学期望的性质福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器

一、数学期望产生的背景 二、离散型随机变量的数学期望 三、连续型随机变量函数的数学期望 四、随机变量函数的数学期望 五、数学期望的性质 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

1.Z=X+Y,fz(=)=X与Y相互独立z(-)=2.Z=max(X,Y), Fmax(=) =3. Z=min(X,Y), Fmin(=) =4.X和Y独立同分布，X~U(O,2)，Z=min(X,Y)，则P0<Z<I)=5.设（XY是相互独立的随机变量，其分布函数分别为Fx,FV），则Z=max(XY）一1的分布函数Fz（）=

*复习引入维离散型维连续型维连续型维离散型5维随机变量维随机变量随机变量随机变量函数的分布随机变量的独立性分布律分布函数密度函数常见分布

随 机 变 量 一维随机变量 二维随机变量 一维离散型 一维连续型 二维连续型 二维离散型 分 布 函 数 分 布 律 密 度 函 数 常 见 分 布 随 机 变 量 函 数 的 分 布 随 机 变 量 的 独 立 性 *复习引入

单选题O3设置1分设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为fx(x),,(y),则Z=Y-X的概率密度函数fz(z)=().A) fz(2)= ( Jx(x)fr(z-y)dxB) fz(z)= ( fx(x)fr(y)dxfz(z2) = ( Jx(x)fr(y)dyD) fz(z) = ( Jx(y-z)fr(y)dyD提交

A B C D 提交 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其 概率密度 函数分别为 ( ), ( ) X Y f x f y ，则Z Y X = − 的概率密度函数 ( ) Z f z =（ ）． A) ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f x f z y dx + − = −  B) ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f x f y dx + − =  C) ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f x f y dy + − =  D) ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f y z f y dy + − = −  单选题 1分

单选题设置1分设二维随机变量(X,Y)，其概率密度函数为f(x,y)，则Z=Y-X的概率密度函数f()= ( ).A) fz(z) = /m fx(x)fr(x-z)dxB) fz(z) = /~ f(x, y)dx) z(z)= (~ f(x, y)dyD) fz(z) = ( f(y- z,y)dyD提交

A B C D 提交 设 二 维 随 机 变 量（X Y, ）， 其 概 率 密 度 函 数 为 f x y ( , ) ， 则 Z Y X = − 的概率密度函数 ( ) Z f z =（ ）． A) ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f x f x z dx + − = −  B) ( ) ( , ) Z f z f x y dx + − =  C) ( ) ( , ) Z f z f x y dy + − =  D) ( ) ( , ) Z f z f y z y dy + − = −  单选题 1分

设置单选题1分设二维随机变量（X,Y)，其概率密度函数为f(x,y)，则Z =Y-X的概率密度函数fz(z)=（).A) fz(z)= (~ f(x,x+z)dxB) fz(z)= (~ f(x,y)dxC) fz(z)= (m f(x,y)dyD) fz(z) = /fx(y-z)f,(y)dy提交

A B C D 提交 设 二 维 随 机 变 量（X Y, ）， 其 概 率 密 度 函 数 为 f x y ( , ) ， 则 Z Y X = − 的概率密度函数 ( ) Z f z =（ ）． A) ( ) ( , ) Z f z f x x z dx + − = +  B) ( ) ( , ) Z f z f x y dx + − =  C) ( ) ( , ) Z f z f x y dy + − =  D) ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f y z f y dy + − = −  单选题 1分

*复习引入在实际问题中，概率分布一般是较难确定的而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。在这些数字特征中，最常用的是、方差、数学期望、协方差和相关系数沈阳师范大学ShenfangNomal Univet

在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变 量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征 就够了. *复习引入 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数

*知识框架数学期望离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数定E(X)= [* xf(x)dx一维：E(X)=xPk义E(Y)= E(g(X)) = Zg(x)pkk=lk=l1. E(c) = c ; E(cX) =cE(X) ;性E(Y)= E(g(X)) = /g(x)f(x)dx质2. E(X +Y)=E(X)+E(Y) ; E(ZX,)=ZEX,i=li=la3.X,Y相互独立,E(XY)=E(X)E(Y);E(Z)=ZZ g(x,y,)pii=l j=l4.X,X2"·,X,相互独立, E(X,X,·.X,)=EXE(Z)= [g(x, y)f(x, y)dxdyi=1沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

*知识框架 数学期望 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数 定 义 一维： 1 ( ) k k k E X x p  = = ( ) ( ) + − =  E X xf x dx 性 质 1. E(c) = c ; E cX cE X ( ) ( ) = ; 2. E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + ; 1 1 ( ) n n i i i i E X EX = =  = 3. X ,Y 相互独立, E(XY) = E(X)E(Y) ; 4. 1 2 , , , X X X n 相互独立, 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = E Y E g X ( ) { ( )} = =   =1 ( ) k k pk g x E Y E g X ( ) { ( )} = = g x f x dx  + − ( ) ( ) E Z( ) =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p E Z( ) = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , )

一梅尔问题一、数学期望产生的背景(1623—1662)提三百多年前。赌博家梅尔向帕斯卡出了一个令他苦恼很久的问题一一梅尔问题：两个赌徒相约赌若干局。谁先赢S局的就算赢了。(b<s)现在一个赌徒赢（局（a<s），而另一个赢b局时赌博中止了。问赌本应该如何分法？此乃此乃帕斯卡梅尔先生先生

此乃 帕斯卡 先生 此乃 梅尔先生 三百多年前，赌博家梅尔向帕斯卡（1623—1662）提 出了一个令他苦恼很久的问题——梅尔问题： 两个赌徒相约赌若干局。谁先赢s局的就算赢了。 现在一个赌徒赢a局（a < s）,而另一个赢b局（b < s） 时赌博中止了。问赌本应该如何分法？ 一、数学期望产生的背景 —梅尔问题

梅尔问题简化，描述为：申，已两人赌技相同，各出赌金100元并约定“先胜三局者为胜取得全部200元.由于出现意外情况在“甲胜2局乙胜1局”时，不得不终止赌博,如果要分赌金，该如何分配才算公平？沈阳师范大学ShentangNomal Univensty

甲,已两人赌技相同,各出赌金 100元,并约定“先胜三局者为胜” , 取得全部200元.由于出现意外情况, 在“甲胜2局乙胜1局”时,不得不 终止赌博,如果要分赌金,该如何分 配才算公平? 梅尔问题简化，描述为：