沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第2章 随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的分布

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*复习引入随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布律概率密度函数f(x)分布函数F(x)分布函数F(x)沈阳师范大学

沈阳师范大学 随机变量 离 散 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 分布律 分布函数 F x( ) 概率密度函数 f x( ) 分布函数 F x( ) *复习引入

单选题03设置1分2 10+XP3αaαX表中是随机变量的分布律，则α=（）.B) 0.30.2A)0.40.1D)CA提交沈阳师范大学

沈阳师范大学 A B C D 提交 表中是随机变量 X 的分布 律，则 =（ ）． A) 0.2 B) 0.3 C) 0.1 D) 0.4 单选题 1分

O单选题设置1分福设随机变量X ～ B(1,0.75), 则P(X≤1) ( ).A) 0.75B) 0.25C) 0.21D)D提交沈阳师范大学

沈阳师范大学 A B C D 提交 设随机变量 X B(1,0.75)，则 P X( 1)  （ ）． A) 0.75 B) 0.25 C) 0.2 D) 1 单选题 1分

单选题o设置1分设随机变量X服从正态分布N(1,22),Φ(1)=0.8413，则事件A(1≤X≤3)的概率是).(RA)0.3413B)0.6826C)0.2413D)0.1587提交沈阳师范大学

沈阳师范大学 A B C D 提交 设随机变量 X 服从正态分 布 2 N(1,2 )，  = (1) 0.8413，则事件 {1 3}   X 的概率是 （ ）． A) 0.3413 B) 0.6826 C) 0.2413 D) 0.1587 单选题 1分

*知识框架随机变量函数概率密度函数f(x)分布函数F(x）离散型随机变量函数连续型随机变量函数1.定理法①y=g(x)严格单调、连续；②y值域(c,d)X的所有可能取值及③x=h(y)是y=g(x)的反函数其概率，对应确定Y的所有可能取值和概率[fx[h(y)]}|h'(y)], c<y<dfr(y)=[0,其它.2.分布函数法①Y的分布函数F(y)：②F(y)=f,(y)Fy(y)= P(g(X)≤y) = Je(nvfx(x)dx沈阳师范大学

沈阳师范大学 随机变量函数 离 散 型 随 机 变 量 函 数 连 续 型 随 机 变 量 函 数 X 的所有可能取值及 其概率，对应确定Y 的 所有可能取值和概率. 概率密度函数 f x( ) 分布函数 F x( ) 1. 定理法 ① y g x = ( ) 严格单调、连续；② y 值域( , ) c d ； ③ x h y = ( )是 y g x = ( ) 的反函数 ' [ ( )] | ( ) |, ( ) 0, X Y f h y h y c y d f y     =   其它. 2. 分布函数法 ①Y 的分布函数 ( ) F y Y ； ② ( ) ( ). F y f y Y Y  = ( ) ( ) { ( ) } ( ) Y X g x y F y P g X y f x dx  =  =  *知识框架

离散型随机变量函数的分布设f(x)是定义在随机变量 X的一切可能值x的集合上的函数,若随机变量Y随着X的取值x的值而取y=f(x)的值，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记作Y=f(X)问题若已知的随机变量 X的分布如何来求随机变量Y=f(X)的分布？沈阳师范大学

沈阳师范大学 记作Y = f (X). 设 f (x) 是定义在随机变量 X 的一切可能值 x 的集合上的函数, 若随机变量 Y 随着 X 的取值 x的 值而取 y = f (x)的值, 则称随机变量 Y 为随机变 量 X 的函数, 如 何 来 求 随 机 变 量 Y = f ( X )的 分 布 ? 若已知的随机变量 X 的分布, 问题 离散型随机变量函数的分布

例1 设随机变量X具有以下分布律，试求Y=(X-1)的分布律X-10120.2 0.3 0.1 0.4p解军Y所有可能取的值为0,1,4.P(Y = 0} =P((X -1)2 = 0) =P(X = 1}= 0.1,P(Y = 1) =P(X = 0} + P[X = 2)= 0.7,P(Y = 4}=P(X = -1) =0.2

例 1 设随机变量 X 具有以下分布律, 试求 Y = ( 1) . X − 2的分布律 Xp − 1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解 Y 所有可能取的值为0,1,4. P{Y = 0} {( 1) 0} = 2 =P X − = P{X = 1}= 0.1, P{Y = 1} = P{X = 0} + P{X = 2}= 0.7, P{Y = 4}= P{X = −1} = 0.2

即得Y的分布律为4Y10p0.20.10.7

即得Y 的分布律为Y pk 0 1 4 0.1 0.7 0.2

如果X是离散型随机变量，其函数 Y=g(X)也是离散型随机变量.若X的分布律为XXkxiX2Pip2PkPk则Y=g(X)的分布律为g(x)g(x,)g(x)Y = g(X)...Pkpip2Pk注意若g(x,)中有值相同的,应将相应的 pk合并

如果X是离散型随机变量, 其函数 Y = g(X) 也是离散型随机变量. 若 X 的分布律为 X pk x1 x2  xk  p1 p2  pk  则Y = g(X)的分布律为 pk Y = g(X) p1 p2  pk  g(x1 ) g(x2 )  g(xk )  注意 若 ( )中有值相同的, g xk 应将相应的 合并. pk