沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第4章 数字特征

第4章数字特征概率论与数理统计教案第4章数字特征-一内容概览-一、本章主要知识点：随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义12.随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算。3．几种重要分布的期望和方差.二、本章教学重点：1.随机变量的数字特征的定义和意义2．随机变量的数学期望的计算三、本章教学难点：随机变量函数的数学期望的计算，1.2.随机变量的相互独立与不相关的关系，四、本章知识体系图：定义性质期望计算随机变量函数的数学期望的计算随机变量的数字特征定义方差性质矩计算定义协方差性质计算定义性质相关系数计算独立与不相关的关系+-67-

概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 67 - 第 4 章 数字特征——内容概览 一、本章主要知识点： 1． 随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义． 2． 随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算． 3． 几种重要分布的期望和方差． 二、本章教学重点： 1． 随机变量的数字特征的定义和意义． 2． 随机变量的数学期望的计算． 三、本章教学难点： 1． 随机变量函数的数学期望的计算． 2． 随机变量的相互独立与不相关的关系． 四、本章知识体系图：

s4.1数学期望第16讲$4.1数学期望授课题目理解随机变量数学期望的概念：会求离散型、连续型及随机变量函数的数学期教学目的望：掌握数学期望的性质教学重点离散型、连续型及随机变量函数的数学期望的计算教学难点随机变量数学期望的概念的理解教学过程备注中复引入惠更斯于1657年出版论著《论赌博中的计算》。他在这本论著中首先引进“期望"这个术语，提出了14条命题.前三个命题：1）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金α和b，则他的期望是α+b22）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金α、b和c，则他的期望是+b+c33）如果某人在赌博中分别以概率p和g（p≥0,g≥0,p+q=1)获得赌金a和b，则他的期望是pa+qb.“期望”是指对事物提前勾画出的一种标准，达到这个标准就是达到了期望值某班共有学生30人，在一次考试中（5分制），有10人的成绩为3分，15人的成绩为4分，5人的10153×10+4×15+5×5+$x5成绩为5分，则该班级平均成绩为x=+4x=3.5=3x3030303033+4+5加权平均：=Pk算术平均：=43k=lx表示得分，f表示得分x出现的频率，以概率p,代替频率f.它是对该班级真实学习水平的综合评价，我们称之为该班级成绩的期望中加织框杂数学期望离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数定Zg(x)PkE(X)=[* xf(x)dx一维：E(X)=≥×PkE(Y)= E(g(X) = 义合k=l1. E(c) = c : E(cX)= cE(X) :性E(Y)= E(g(X)) = (g(x)f(x)dx质2. E(X +Y)= E(X)+E(Y) ; E(X)=EXE(Z)=2ZEg(xi,y,)pu-3.X，Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)i=l j=lE(Z)= g(x, y)f(x,y)dxdy4.XXX相互独立,E(XX.X,)-EXi=-68-

- 68 - §4.1 数学期望 授课题目 §4.1 数学期望 第 16 讲 教学目的 理解随机变量数学期望的概念；会求离散型、连续型及随机变量函数的数学期 望；掌握数学期望的性质. 教学重点 离散型、连续型及随机变量函数的数学期望的计算 教学难点 随机变量数学期望的概念的理解 教 学 过 程 备注 *复习引入 惠更斯于 1657 年出版论著《论赌博中的计算》。他在这本论著中首先引进“期望”这个术语，提出了 14 条命题．前三个命题： 1）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金 a 和 b ，则他的期望是 2 a b + ． 2）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金 a 、b 和 c ，则他的期望是 3 abc + + ． 3）如果某人在赌博中分别以概率 p 和 q ( p q p q   + = 0, 0, 1 )获得赌金 a 和 b ，则他的期望是 pa qb + ． “期望”是指对事物提前勾画出的一种标准，达到这个标准就是达到了期望值． 某班共有学生 30 人，在一次考试中（5 分制），有 10 人的成绩为 3 分，15 人的成绩为 4 分，5 人的 成绩为 5 分，则该班级平均成绩为 3 10 4 15 5 5 10 15 5 3 4 5 3.5 30 30 30 30 x  +  +  = =  +  +  = 算术平均： 345 4 3 + + = 加权平均： 3 =1 =  k k k x x p . k x 表示得分， k f 表示得分 k x 出现的频率，以概率 k p 代替频率 k f ．它是对该班级真实学习水平的综 合评价，我们称之为该班级成绩的期望． *知识框架 数学期望 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数 定 义 一维： 1 ( ) k k k E X x p  = = ( ) ( ) + − =  E X xf x dx E Y E g X ( ) { ( )} = =   =1 ( ) k k pk g x E Y E g X ( ) { ( )} = = g x f x dx  + − ( ) ( ) E Z( ) =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p E Z( ) = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) 性 质 1. E(c) = c ; E cX cE X ( ) ( ) = ; 2. E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + ; 1 1 ( ) n n i i i i E X EX = =  = 3. X ,Y 相互独立, E(XY) = E(X)E(Y) ; 4. 1 2 , , , X X X n 相互独立, 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = =

第4章数字特征概率论与数理统计教案*讲教新保离散型随机变量的数学期望定义1设离散型随机变量X有概率分布P(X=x)=p,k=12注C若级数×P绝对收敛，则称此级数之和为随机变量X的数学期望，简称期望或1)数学期望是一个k=1数，而不是一个量。00因为X是随机变量，均值。记为E(X)，即E(X)=ZxPk其取值顺序并无特别约定.例1设X的分布列如下8V2)级数xPk绝0X-11k=l对收敛，是为了保证P0.60. 10. 3级数的和与级数各项求EX.次序无关，3)符号E(X)可以例2设甲、乙两人进行打靶，所得环数分别记为X，X，，它们的分布列分别简写为EX为4）数学期望实际上是以概率为权重的加Xi00910X28910权平均值，它反映了随机变量取值的平均P水平，故又常常把数0. 10. 50.4P0.30.30.4学期望称作“均值”5）若把随机变量看试问哪名射手的技术更好些？作数轴上的随机点，数学期望可看作随机二、连续型随机变量的数学期望变量取值的"中心”连续型随机变量的数学期望可以看成是离散型随机变量的数学期望的“演变”：将xP中的x变为x，P变为f(x)dx，变为」从而有下述定义定义2设连续型随机变量X的密度函数为f(x），若积分xf(x)dx绝对收敛，则EXxf(x)dx称为X的数学期望注1.并不是所有的随机[2x，0≤x≤1例3随机变量X的密度函数为f(x)=求X的数学期望.变量都有数学期望.其它10,2.期望E(X)完全2xdr=2可由随机变量X的xf(x)dx=解EX=[4分布所确定，3.若X服从某一分三、随机变量函数的数学期望布，也称EX)是这一分布的数学期望。定理1设Y为随机变量X的函数：Y=g(X）（g是连续函数），且EY存在，（1）X是离散型随机变量，分布律为pk=P(X=x),k=1,2,"；若级数8Zg(x)p绝对收敛，则有EY=Eg(X)=g(x)pkk=lk=l定理1 的重要意-69-

概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 69 - *讲授新课 一、离散型随机变量的数学期望 定义 1 设离散型随机变量 X 有概率分布 ( ) , 1,2, , P X x p k = = = k k 若级数 1 k k k x p  =  绝对收敛，则称此级数之和为随机变量 X 的数学期望，简称期望或 均值。记为 E X( ) ，即 1 ( ) k k k E X x p  = = 例 1 设 X 的分布列如下 X −1 0 1 P 0．3 0．6 0．1 求 EX ． 例 2 设甲、乙两人进行打靶，所得环数分别记为 1 2 X X, ，它们的分布列分别 为 试问哪名射手的技术更好些？ 二、连续型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望可以看成是离散型随机变量的数学期望的“演变”： 将 k k k x p 中的 k x 变为 x ， k p 变为 f x dx ( ) ， 变为  ，从而有下述定义． 定义 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f x( ) ，若积分 xf x dx ( ) + − 绝对收 敛，则 EX xf x dx ( ) + − =  称为 X 的数学期望． 例 3 随机变量 X 的密度函数为      = 0, 其它 2 , 0 1 ( ) x x f x ，求 X 的数学期望． 解 3 2 ( ) 2 1 0 = = =   + − EX x f x dx x xdx 三、随机变量函数的数学期望 定理 1 设 Y 为随机变量 X 的函数： Y = g(X ) (g 是连续函数), 且 EY 存在， （1） X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k = 1,2,  ；若级数   =1 ( ) k k pk g x 绝对收敛，则有 EY Eg X = = ( )   =1 ( ) k k pk g x ． 注 1) 数学期望是一个 数，而不是一个量。 因为 X 是随机变量， 其取值顺序并无特别 约定． 2) 级 数 1 k k k x p  =  绝 对收敛，是为了保证 级数的和与级数各项 次序无关． 3) 符 号 E X( ) 可 以 简写为 EX ． 4) 数学期望实际上 是以概率为权重的加 权平均值，它反映了 随机变量取值的平均 水平，故又常常把数 学期望称作“均值” 5) 若把随机变量看 作数轴上的随机点， 数学期望可看作随机 变量取值的“中心”． 注 1．并不是所有的随机 变量都有数学期望． 2．期望 E X( ) 完全 可由随机变量 X 的 分布所确定． 3．若 X 服从某一分 布，也称 E X( ) 是这 一分布的数学期望． 定理 1 的重要意

义在于：求E(Y)时，(2）X是连续型随机变量，它的分布密度为f(x)，若积分g(x)f(x)dx绝不必知道Y的分布，而只需知道X的分对收敛，则有EY=Eg(X)=g(x)f(x)dx布就可以了。定理1还可以推例4对于例1中的分布求EX2、EX、E(3X-2).例3中的分布求EX2广到两个或两个以上定理2设Z是随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)(g是连续函数)。随机变量的情形.1）（X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布律为p,=P(X=x,Y=y,)注EX?的求法还可以先求出X2F0i, j=1,2,., 则有 EZ = Eg(X,Y)=Zg(x,y)piu：（设该级数绝对收敛）的分布列，再由期望i=l j=l的定义计算得到E(3X-2)的（2）（X,Y）是二维连续型随机变量，联合分布密度为f(x,J），则有求法，在学习了期望EZ=Eg(X,Y)=[tg(x,J)f(x,y)dxdy。（设该积分绝对收敛)的性质后，可以利用期望的性质计算得例5设二维随机变量(X，Y)的概率分布为到.注EXY的求法还可Y0231以先求出XY的分布X列，再由期望的定义1003/83/8计算得到.31/8001/8注E(X),E(Y)的求E(XY)·求法还可以先求出X和Y的边缘密度例6设二维随机变量(X,Y)在矩形域D=((x,J)[0≤x≤1,0≤y≤2)上服从函数，再由期望的定均匀分布，求E(X),E(Y)和E(XY).义计算得到。随机变量的分解法：将X分解成数个随四、数学期望的性质机变量之和101.设c是常数，则有E(c)=C.X=7x，然后2.设X是随机变量，设c是常数，则有E(cX)=cE(X）i=l利用随机变量和的期3.设X，Y是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y）：望等于期望之和，即ZEx,.推广：通过EX算出EXE(X +X, +..+X,)=1=1分解法的关键是4.设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X)E(Y）.引入合适的X，使该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若X，X，,X，相互独立，则X-x.TEX,E(X,X, ..X.)=Ii=li=l例7一民航班车上共有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客在各车站下车是等可能的）覌圆练间-70-

- 70 - （2） X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，若积分 g x f x dx  + − ( ) ( ) 绝 对收敛，则有 EY Eg X = = ( ) g x f x dx  + − ( ) ( ) ． 例 4 对于例 1 中的分布求 2 EX 、E X 、E X (3 2) − ．例 3 中的分布求 2 EX ． 定理 2 设 Z 是随机变量 (X,Y) 的函数 Z = g(X,Y) (g 是连续函数)． （1） (X,Y) 是二维离散型随机变量，联合分布律为 { , } ij i j p P X x Y y = = = ， i j , 1,2, = ，则有 EZ Eg X Y = = ( , )   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p ．（设该级数绝对收敛） （ 2 ） (X,Y) 是 二维 连续 型随机 变 量， 联合 分布 密度 为 f (x, y) ，则有 EZ Eg X Y = = ( , ) g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) ．（设该积分绝对收敛） 例 5 设二维随机变量 (X ，Y) 的概率分布为 Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求 E XY ( ) . 例6 设二维随机变量 (X,Y) 在矩形域 D x y x y =     ( , 0 1,0 2 )  上服从 均匀分布，求 E X( ), E Y( ) 和 E XY ( )． 四、 数学期望的性质 1． 设 c 是常数，则有 E(c) = c ． 2． 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E(cX) = cE(X) ． 3． 设 X ，Y 是随机变量，则有 E(X +Y) = E(X) + E(Y) ． 推广： 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = + + + =  ． 4． 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X)E(Y) ． 该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若 1 2 , , , X X X n 相互独立，则 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = ． 例 7 一民航班车上共有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车， 如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 EX （设每位旅 客在各车站下车是等可能的）． 义在于：求 E(Y) 时， 不必知道 Y 的分布， 而只需知道 X 的分 布就可以了． 定理 1 还可以推 广到两个或两个以上 随机变量的情形． 注 2 EX 的求 法还可以先求出 2 X 的分布列，再由期望 的 定 义 计 算 得 到． E X (3 2) − 的 求法，在学习了期望 的性质后，可以利用 期望的性质计算得 到． 注 EXY 的求法还可 以先求出 XY 的分布 列，再由期望的定义 计算得到． 注 E X E Y ( ), ( ) 的 求法还可以先求出 X 和 Y 的边缘密度 函数，再由期望的定 义计算得到． 随机变量的分解法： 将 X 分解成数个随 机变量之和 10 1 i i X X = = , 然 后 利用随机变量和的期 望等于期望之和,即 通过 EXi 算出 EX ． 分解法的关键是 引入合适的 Xi ,使 1 n i i X X = = ． *巩固练习

第4章数字特征概率论与数理统计教案0若<-10.25,若-1≤x<0,则E(2X2-1)=01.已知随机变量X的分布函数为：F(x)=0.75,若 0≤x<1,1若x≥1.2.下列命题正确的是（A）A.若X,Y相互独立，则必有EXY=EXEYB.若EXY=EXEY，则必X,Y相互独立D.以上都不对C.若EXY+EXEY，则XY相互独立*小结P离散型E(X)= 连续性 EX=[xf(x)dxE(X)合[Zg(xn) :Z= g(X)EY = Eg(X)=-t g(x)f(x)dxE(Z)[22g(4. ) p,Z=g(X,Y)i=l j=lE(Z)=3[ g(x, y)f(x, y)dxdyE(cX)= cE(X)E(c)=cE(X +Y)= E(X)+E(Y)E(X++X, +.+x,)- 2ex,fal性质X，Y相互独立=E(XY)=E(X)E(Y)X,X2,X,相互独立=E(XX,X,)=EXX=Zx,随机变量分解法i=l作业习题4. 1-P96—1,2,3,484.2方差84.2方差第17讲（1)授课题目理解随机变量方差的概念；2.会求离散型、连续型及随机变量函数的方差；掌教学目的握方差的性质教学重点离散型、连续型及随机变量函数方差的计算教学难点随机变量方差概念的理解备注教学过程中复司引入-71-

概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 71 - 1.已知随机变量 X 的分布函数为： ( ) 0 , 1 0.25 , 1 0 0.75 , 0 1 1 , 1 x x F x x x  −   −   =        若 若 若 若 ＜ ， ， ， ． 则 ( ) 2 E X2 1− =0. 2.下列命题正确的是( A ). A．若 X Y, 相互独立,则必有 EXY EXEY = B．若 EXY EXEY = ,则必 X Y, 相互独立 C．若 EXY EXEY  ,则 X Y, 相互独立 D．以上都不对 *小结 E X( ) 离散型 1 ( ) k k k E X x p  = = 连续性 EX xf x dx ( ) + − =  E Z( ) Z g X = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k g x p EY Eg X g x f x dx  = + −   = =      Z g X Y = ( , ) 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) i j ij i j g x y p E Z g x y f x y dxdy   = = + + − −   =        性质 E(c) = c E(cX) = cE(X) E(X +Y) = E(X) + E(Y) 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = + + + =  X ，Y 相互独立  E(XY) = E(X)E(Y) ． 1 2 , , , X X X n 相互独立  1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = 1 i i X X  = = 随机变量分解法 *作业 习题 4.1- P96—1,2,3,4 §4.2 方差 授课题目 §4.2 方差 第 17 讲（1） 教学目的 理解随机变量方差的概念；2.会求离散型、连续型及随机变量函数的方差；掌 握方差的性质. 教学重点 离散型、连续型及随机变量函数方差的计算 教学难点 随机变量方差概念的理解 教 学 过 程 备注 *复习引入

数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值方差：随机变量的取值偏离其中心的情况，即稳定性的好坏中知识框杂方 差D(X)=E([X -E(X)})D(X)= E(X)-[E(X)]离散型随机变量连续型随机变量定D(X)=[x - E(X)} f(x)dx-E(X)Pk一维：D(X)=X义k=l性11) D(c)= 0 : 2) D(cX)= c’D(X):质3）X，Y相互独立=D(X±Y)=D(X)+D(Y)：4)X,X2,X,相互独立=D(C,X)=C,D(X,)i=lisl5)D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1随机变量的数学中讲教新课期望是对随机变量取值水平的综合评价.一、方差的概念E(X - EX)?描述随机变量与均值定义1设X是随机变量，E([X-E(X)}}存在，就称其为X的方差，记的偏离程度.为D(X)（或DX)，即方差与标准差D(X)=E([X -E(X)))都是用来描述随机变称D(X)为标准差，记为o(X)，或αx：量X的取值与其数学期望E(X)的偏1.若X是离散型随机变量，分布律为Pk=P(X=x),k=1,2,"；则离的平均程度.D(X)=Z[x -E(X)}’ pk若D(X)较小，则X的取值比较2.若X是连续型随机变量，它的密度函数为f(x)，则集中在数学期望E(X)的附近：D(X)=[x -E(X)]f(x)dx若D(X)较3. D(X)= E(X)-[E(X))2大，则表明X的取值证明D(X)=E([X -E(X)P) =E(X?-2XE(X)+[E(X)])比较分散．因此D(X)、x是刻画= E(X)-2E(X)E(X)+[E(X)} = E(X)-[E(X)}?X取值的集中与分例1设X的分布列如下散程度的两个特征-101X数.P0.30.60.1方差与标准差的之间的差别主要在求D(X)：(0.36)量纲上，由于标准差(3x2，0≤x≤1例2设随机变量X的概率密度为f(x）求D(X)与所讨论的随机变其它0,量、数学期望有相同的量纲，所以在实际二、方差的性质中，人们更愿意选用标准差，但标准差的计算必须通过方差才1.设c是常数，则有D(c)=0;能得到.2.设c是常数，则有D(cX)=c2D(X)：3.设X，Y是相互独立的随机变量，则有D(X±Y)=D(X)+D(Y)：证明性质3-72-

- 72 - 数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值. 方 差：随机变量的取值偏离其中心的情况，即稳定性的好坏. *知识框架 方 差 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 离散型随机变量 连续型随机变量 定 义 一维： D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x D X( ) =  + − [x − E(X )] f (x)dx 2 性 质 1） D(c) = 0 ；2） ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3） X ，Y 相互独立  D X Y D X D Y ( ) ( ) ( )  = + ； 4） X X Xn , , , 1 2  相互独立    = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5） D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = = *讲授新课 一、 方差的概念 定义 1 设 X 是随机变量， {[ ( )] } 2 E X − E X 存在，就称其为 X 的方差，记 为 D X( ) (或 DX )，即 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 称 D(X ) 为标准差，记为 ( ) X ，或  X ． 1.若 X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k = 1,2,  ；则 D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x 2.若 X 是连续型随机变量，它的密度函数为 f (x) ，则 D X( ) =  + − [x − E(X )] f (x)dx 2 3. 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 证明 D X( ) = 2 E X E X {[ ( )] } − = { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 = − + E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )] 例 1 设 X 的分布列如下 X −1 0 1 P 0．3 0．6 0．1 求 D(X ) ．（0.36） 例 2 设随机变量 X 的概率密度为  2 3 , 0 1 ( ) 0,   = x x f x 其它 ，求 D(X ) ． 二、 方差的性质 1．设 c 是常数，则有 D(c) = 0 ； 2．设 c 是常数，则有 ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3．设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 D X Y D X D Y ( ) ( ) ( )  = + ； 随机变量的数学 期望是对随机变量取 值水平的综合评价． 2 E X EX ( ) − 描述随机变量与均值 的偏离程度． 方 差 与 标 准 差 都是用来描述随机变 量 X 的取值与其数 学期望 E X( ) 的 偏 离的平均程度． 若 D(X ) 较 小，则 X 的取值比较 集中在数学期望 E X( ) 的附近； 若 D(X ) 较 大，则表明 X 的取值 比较分散．因此 D(X ) 、 X 是刻画 X 取值的集中与分 散程度的两个特征 数． 方 差 与 标 准 差 的之间的差别主要在 量纲上，由于标准差 与所讨论的随机变 量、数学期望有相同 的量纲，所以在实际 中，人们更愿意选用 标准差，但标准差的 计算必须通过方差才 能得到． 证明性质 3

第4章数字特征概率论与数理统计教案≤C?D(X).4.设X,X,，,X是相互独立的随机变量，则Dc,X）=i=li=l正态分布密度5.D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1(这里c=E(X)).函数中的两个参数例3设随机变量X具有E(X)=u，D(X)=αα>0，令和?分别就是该X"_X-E(N)分布的数学期望和方差，因而正态分布完D(X)全可由它的数学期望求E(X*), D(X*).和方差所确定，在概率论中，通常称 X=EC为随机变量X 的“标准化"，标准化后的D(X)随机变量的特征是E(X*)=0注三、切比雪夫不等式1.DX越小，随机变量X取值于区间切比雪夫不等式设随机变量X的期望和方差均存在，则对任意>0,有(EX-6,EX+8)DX的概率就越大：切比P[IX-EX|≥3雪夫不等式阐明了方差DX的本质：方差等价形式为是一个反映随机变量P(X-EX]0有2．对于方差存在的随机变量X，在其分(IX-EX|≥}=[F(x)dx布未知的情况下，我[xEX|≥6们可以利用切比雪夫(x- EX)?不等式粗略地估算Mf(x)dxX在以数学期望为Jr-Ex/ze?中心的对称区间上的概率DX(x-EX)f(x)dx= LPIX-EX<)2的大小.例4设随机变量X的数学期望EX=10，方差DX=0.04,利用切比雪夫不等式估计P9.2<X<11的大小*固练司1. 若 DX=2,则 D(3X)=(D)X[-1|011B. 17C. 2A.16D. 18p0.310.30.42.设随机变量X的概率分布为，则DX=(A).D. 18A. 0. 69B0.17C. 243.设EX=μ,DX=α2，则由切比雪夫不等式可知P(X-μ≥3α≤（D）.261A.B.D.C.93394.设DX=0.004，则由切比雪夫不等式可知P/X-EX<0.2≥（D）.A.0.01B.0.020.8D.0.9C.*小结-73-

概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 73 - 4.设 X X Xn , , , 1 2  是相互独立的随机变量，则   = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5. D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = = (这里 c E X = ( ) )． 例 3 设随机变量 X 具有 E X( ) =  ， 2 D X( ) , 0 =    ，令 ( ) ( ) X E X X D X  − = 求 ( ) E X ， D X( ) ． 在概率论中，通常称 ( ) ( ) X E X X D X  − = 为随机变量 X 的“标准化”，标准化后的 随机变量的特征是 ( ) 0  E X = ． 三、切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 设随机变量 X 的期望和方差均存在,则对任意   0 ,有   2 DX P X EX   −   等价形式为   2 1 DX P X EX   −   − 证明 (仅证明 X 是连续型随机变量的情形) 设 X 的概率密度为 f (x) ,则对任意   0 ,有 P X EX  −  =    x−EX  f (x)dx  −  −    x EX f x dx x EX ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) DX x EX f x dx   + −  − =  ． 例 4 设随机变量 X 的数学期望 EX =10 ，方差 DX = 0.04, 利用切比雪夫不 等式估计 P X  9.2 11    的大小． 正 态 分 布 密 度 函数中的两个参数  和 2  分别就是该 分布的数学期望和方 差，因而正态分布完 全可由它的数学期望 和方差所确定． 注 1. DX 越小，随机变 量 X 取值于区间 ( , ) EX EX − +   的概率就越大．切比 雪夫不等式阐明了方 差 DX 的本质：方差 是一个反映随机变量 X 的取值对其分布 中心 EX 的集中程 度的数量指标． 2. 对于方差存在的 随机变量 X ，在其分 布未知的情况下，我 们可以利用切比雪夫 不等式粗略地估算 X 在以数学期望为 中心的对称区间上的 概率 P X EX {| | } −   的大小． *巩固练习 1. 若 DX=2,则 D(3X )=(D). A.16 B.17 C.2 D. 18 2.设随机变量 X 的概率分布为，则 DX=(A). A.0.69 B 0.17 C.24 D. 18 3.设 2 EX DX = =   , ,则由切比雪夫不等式可知 P X −    3  ( D ). A. 8 9 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 9 4.设 DX = 0.004 ,则由切比雪夫不等式可知 P X EX  −   0.2 ( D ). A. 0.01 B. 0.02 C. 0.8 D. 0.9 X -1 0 1 P 0.3 0.3 0.4 *小结

D(X)D(X)=E([X - E(X))}?!D(X)= E(X2)-[E(X))1) D(c)= 0 : 2) D(cX)=cD(X) :3）X，Y相互独立=D(X±Y)=D(X)+D(Y)性质4) X,X,…X,相互独立= D(ZC,X,)=C,D(X,)i=l5)D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1专作业习题4.2-P100—1,2,4S4.3常见分布的数学期望与方差授课题目S4.3常见分布的数学期望与方差第17讲（2）熟练掌握期望与方差的计算方法；掌握六种常见分布的期望与方差与参数之间教学目的的关系教学重点六种常见分布的期望与方差与参数之间的关系教学难点六种常见分布的期望与方差与参数之间的关系备注教学过程中复引入E()-×P E(X)-(n)dk=l2g(x)p E(M)=E(g(X)=g()()dE(Y)=E(g(X)= )数学期望k=lE(2)=2≥ sg(x,y,)pu, E(Z)= fg(x,y)f(x, y)dxd)a方差D(X)= E(X)-[E(X)P1. E(c) = c ; E(cX) = cE(X) :2. E(X+Y)= E(X)+E(I) ;E(ZX)=Z EX,i=li-13.X,Y相互独立,E(XY)=E(X)E(Y) ;EX4.X,X,X相互独立,E(XX,.X)=性质1) D(c)=0 : 2) D(cX)=c’D(X):3）X，Y相互独立=D(X±Y)=D(X)+D(Y)4)X,X2X,相互独立= D(ZC,X)=-C,D(X)i=li=l5）D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1E(X)= p*讲投新保D(X)=q-74-

- 74 - D X( ) D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 性质 1） D(c) = 0 ；2） ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3） X ，Y 相互独立  D X Y D X D Y ( ) ( ) ( )  = + ； 4） X X Xn , , , 1 2  相互独立    = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5） D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = = *作业 习题 4.2- P100—1,2,4 §4.3 常见分布的数学期望与方差 授课题目 §4.3 常见分布的数学期望与方差 第 17 讲（2） 教学目的 熟练掌握期望与方差的计算方法；掌握六种常见分布的期望与方差与参数之间 的关系 教学重点 六种常见分布的期望与方差与参数之间的关系 教学难点 六种常见分布的期望与方差与参数之间的关系 教 学 过 程 备注 *复习引入 数学期望 1 ( ) k k k E X x p  = = ( ) ( ) + − =  E X xf x dx E Y E g X ( ) { ( )} = =   =1 ( ) k k pk g x E Y E g X ( ) { ( )} = = g x f x dx  + − ( ) ( ) E Z( ) =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p E Z( ) = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) 方 差 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 性 质 1. E(c) = c ; E cX cE X ( ) ( ) = ; 2. E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + ; 1 1 ( ) n n i i i i E X EX = =  = 3. X ,Y 相互独立, E(XY) = E(X)E(Y) ; 4. 1 2 , , , X X X n 相互独立, 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = 1） D(c) = 0 ；2） ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3） X ，Y 相互独立  D X Y D X D Y ( ) ( ) ( )  = + ； 4） X X Xn , , , 1 2  相互独立    = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5） D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = = *讲授新课 E X p ( ) = D X q ( ) =

第4章数字特征概率论与数理统计教案一、两点分布例1设随机变量X服从参数为p的(O-1)分布，求E(X)，D(X).、二项分布E(X)=np例2设随机变量X服从二项分布B(n,P)，求E(X)、D(X).D(X)=npq三、泊松分布例3设随机变量X服从参数a(>0)为泊松分布P()，求E(X)，D(X)。E(X)=2D(X)=^四、均匀分布例4设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布U(a,b)，求E(X)，D(X)E(X)= a+b2五、指数分布b-aD(X)=(12 例5设随机变量X服从参数为(>O)的指数分布E()，求E(X)，D(X)E(N)=!元六、正态分布D(X)= ^?例6设随机变量X~N(μ,α)，求E(X)，D(X).我们在3.6节的定理6.2中曾提到过有限个相互独立的正态随机变量的线性组合E(X)=μD(X)=α2仍为正态分布.即若X～N(u,α）(i=1,2,,n)，且它们相互独立，则它们的线性组合c,X+c,X,++c,X，（c,C，,c,是不全为0的常数）仍然服从正态分布.注co,)GX++c,X,+.+c,X, ~n(2cu,2常见分布的数学期望i=li=l与方差确定后，其分例如，若X～N(O,1)，Y～N(1,1)，且它们相互独立，则Z=2X-3Y也服从布的参数也就知道了，分布也就唯一确正态分布，又EZ=2×0-3×1=-3，DZ=22×1+32×1=13，故有定.Z ~ N(-3,13) .*覌固袜司1.已知X~B(n,P)，EX=0.5，DX=0.45,则n,p的值是（D).A.n=5.p=0.3B. n=10,p=0.05 C. n=1,p=0.5 D. n=5,p=0.12.已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布的参数n,p的值为（B）：A. n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.6D.n=24,p=0.43.若DX=(EX)，则随机变量X服从（C）分布.A.正态B. 二项C. 指数D.泊松4.已知随机变量X~N(-3,1),Y~N2,I)，且X,Y相互独立，随机变量Z=X-2Y-7，Z~（A）.A. N(-14,5)B. N(-4,5)C. N(-4,-5)D. N(0,-5)5.若X~b(10,0.3),Y~E(2),且X与Y相互独立，DX+Y)=(D)-75-

概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 75 - 一、两点分布 例 1 设随机变量 X 服从参数为 p 的 (0 1) − 分布，求 E X( ) ， D(X ) ． 二、二项分布 例 2 设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，求 E X( ) 、 D(X ) ． 三、泊松分布 例 3 设随机变量 X 服从参数  ( 0)  为泊松分布 P( )  ，求 E X( ) ，D(X ) ． 四、均匀分布 例 4 设随机变量 X 服从区间 [ , ] a b 上的均匀分布 U a b ( , ) ，求 E X( ) ，D(X ) ． 五、指数分布 例 5 设随机变量 X 服从参数为  ( 0)  的指数分布 E( )  ，求 E X( ) ，D(X ) ． 六、正态分布 例 6 设随机变量 2 X N~ ( , )   ，求 E X( ) ， D(X ) ． 我们在 3.6 节的定理 6.2 中曾提到过有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍为正态分布．即若 2 ~ ( , ) X N i i i   ( 1,2, , ) i n = ，且它们相互独立，则它们的线 性组合 1 1 2 2 + + + n n c X c X c X （ 1 2 , , , n c c c 是不全为 0 的常数）仍然服从正态分 布． 2 2 1 1 2 2 1 1 ~ ( , ) n n n n i i i i i i c X c X c X N c c   = = + + +   例如，若 X N~ (0,1)，Y N~ (1,1) ，且它们相互独立，则 Z X Y = − 2 3 也服从 正态分布，又 EZ =  −  = − 2 0 3 1 3 ， 2 2 DZ =  +  = 2 1 3 1 13 ，故有 Z N~ ( 3,13) − ． E X np ( ) = D X npq ( ) = E X( ) =  D X( ) =  ( ) 2 a b E X + = 2 ( ) ( ) 12 b a D X − = 1 E X( )  = 2 D X( ) =  E X( ) =  2 D X( ) = 注 常见分布的数学期望 与方差确定后，其分 布的参数也就知道 了，分布也就唯一确 定． *巩固练习 1. 已知 X B n p ~ ( , ) , EX = 0.5 , DX = 0.45,则 n, p 的值是( D ). A. n = 5, p = 0.3 B. n =10, p = 0.05 C. n = 1, p = 0.5 D. n = 5, p = 0.1 2. 已知随机变量 X 服从二项分布，且 EX DX = = 2.4, 1.44 ，则二项分布的参数 n p, 的值为（ B ）. A．n = 4 ， p =  0 6 B．n = 6 ， p =  0 4 C．n = 8， p =  0 6 D．n = 24 ， p =  0 4 3. 若 2 DX = (EX ) ,则随机变量 X 服从( C )分布. A. 正态 B. 二项 C. 指数 D.泊松 4. 已知随机变量 X N Y N ~ 3,1 , ~ 2,1 (− ) ( ) ，且 X Y, 相互独立，随机变量 Z X Y = − − 2 7 ，Z ~ ( A ). A. N (−14,5) B. N (−4,5) C. N (− − 4, 5) D. N (0, 5− ) 5. 若 X ~ b(10,0.3) ,Y E ~ (2) ,且 X 与 Y 相互独立, D(X + Y) = ( D )

A.0.5C.1.5D.2.35B.2.1DX随机变量X服从二项分布B(n,p),则有=(B ).6.EXA. 1B. 1- pC. 1+pD.p7.设X~UI-151.则（A）A.EX=2 DX=3B.EX=1 DX=3C.EX=1DX=2D.EX=5 DX=3中小结常见分布分布律或概率密度期望方差p(0-1)分布P(X =k)=p*ql-k, (k=0,1)p(1- p)二项分布B(n,p)P(X =k)=Chp*q"-k, (k=0,1,2,.*-,n)npnp(1- p)"*, (k=0,1,2..)P(X=k)=泊松分布P(2)2kie11- p几何分布G(p)P(X = k)=(1- p)*- p, (k=1,2,.)p?P1(b-a)a≤x<≤ba+bb-a均匀分布U(a,b)f(x)=3t212 0,其它[Je-x, x≥011F(a)=指数分布E(2)元720,x<0_(x-μ)1ua正态分布N(u,α2)20f(x)=e80<x+80/2元起中作业习题4.3-P104—1，2，3，4s4.4协方差与相关系数第18讲授课题目84.4协方差与相关系数教学目的会求随机变量协方差与相关系数；掌握协方差与相关系数的性质教学重点求随机变量协方差与相关系数教学难点求随机变量协方差与相关系数备注教学过程中复引入数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值（一维）方差：随机变量的取值与其均值的平均偏离程度，即稳定性的好坏。（一维）协方差和相关系数：分量X与Y之间关联程度的数字特征（二维）数学期望的性质方差的性质E(c)= cD(c)= 0 ;E(cX)=cE(X)D(cX) = c D(X)-76-

- 76 - A.0.5 B.2.1 C. 1.5 D. 2.35 6. 随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ,则有 = EX DX ( B ). A. 1 B. 1− p C. 1+ p D. p 7. 设 X ~ U[−1,5],则( A ). A . EX = 2 DX = 3 B. EX = 1 DX = 3 C. EX = 1 DX = 2 D. EX = 5 DX = 3 *小结 常见分布 分布律或概率密度 期望 方差 (0 1) − 分布 1 { } , ( 0,1) − = = = k k P X k p q k p p p (1 ) − 二项分布 B n p ( , ) { } , ( 0,1,2, , ) − = = = k k n k P X k C p q k n n np np p (1 ) − 泊松分布 P( )  { } , ( 0,1,2, ) ! − = = = k P X k e k k     几何分布 G p( ) 1 { } (1 ) , ( 1,2, ) − = = − = k P X k p p k 1 p 2 1 p p − 均匀分布 U a b ( , ) 1 , ( ) 0,     =  −   其它 a x b f x b a 2 a b + ( ) 2 12 b a − 指数分布 E( )  , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x   −   =    1  2 1  正态分布 2 N( , )   2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 x f x e x     − − = −    +  2  *作业 习题 4.3- P104—1，2，3，4 §4.4 协方差与相关系数 授课题目 §4.4 协方差与相关系数 第 18 讲 教学目的 会求随机变量协方差与相关系数；掌握协方差与相关系数的性质. 教学重点 求随机变量协方差与相关系数 教学难点 求随机变量协方差与相关系数 教 学 过 程 备注 *复习引入 数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值.（一维） 方 差：随机变量的取值与其均值的平均偏离程度，即稳定性的好坏.（一维） 协方差和相关系数：分量 X 与 Y 之间关联程度的数字特征.（二维） 数学期望的性质 方差的性质 E(c) = c D(c) = 0 ； E cX cE X ( ) ( ) = ( ) ( ) 2 D cX = c D X