《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 二次型 9.1 二次型和对称矩阵

二次型第九章9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题

第九章 二次型 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.1 二次型和对称矩阵 9.4 主轴问题

9.1二次型和对称矩阵一、内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2二次型的线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二、重点、难点合同、线性变换、二次型的标准形

9.1 二次型和对称矩阵 一、内容分布 9.1.2二次型的线性变换 9.1.3 矩阵的合同 二、重点、难点 合同、线性变换、二次型的标准形 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.4 二次型的标准形

9.1.1二次型及矩阵定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式(1)q(x1, X2, *, ,)=-aux+a222.+amx?+2a12xjx2+2a13xjx3+...2an-1nxn-1xn叫作F上的一个元二次型F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数qFn一F，所以n元二次型也叫n个变量的二次型.在(1)中令a,=a,(1≤ij≤n),因为xx=xx;，所以(1)式可以写成以下形式：

9.1.1 二次型及矩阵 定义1 设F是一个数域, F上n元二次齐次多项式 叫作F上的一个元二次型. (1) q(x1, x2, ⋯, xn)=a11x1 2+a22x2 2+⋯+annxn 2 +2a12x1x2 +2a13x1x3+⋯2an-1,nxn-1xn F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函数,二次型(1) 定义了一个函数q:F n ⟶ F , 所以n 元二次型也叫n 个变量的二 次型. 在(1)中令aij =aji(1≤i,j≤n),因为xi xj =xj xi , 所以(1)式可以写成以 下形式：

q(x,2,x,)=22(2)a,x,xj,aj=ajii==令A=(a）是(2)式右端的系数所构成的矩阵，称为二次型q(x,x2,…xn）的矩阵.因为a,=ai，所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法2）式可以写成X(3)q(X,X2,.",x)=(x,x2,.,x,)A·Xn二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩

令A=(aij)是(2)式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型 q(x1, x2, ⋯, xn)的矩阵.因为aij =aji ,所以A是F上的一个n 阶对称 矩阵，利用矩阵的乘法,(2)式可以写成 1 2 1 1 (2) ( , , , ) , n n n ij i j ij ji i j qx x x axx a a = =  = ∑∑ = 1 2 1 2 1 2 (3) ( , , , ) ( , , , ) n n n x x qx x x x x x A x       =          二次型(3)的秩指的就是矩阵A的秩

9.1.2二次型的线性变换如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：(4)x,=Zpjyj,i=1,2,.,nP,F(1<ijsn),那么就得到一个关于yi,y2,y,的二次型qyi,Y2, ", yn.(4)式称为变量的线性变换，令P=(p)是(4)的系数所构成的矩阵，则（4）可以写成XJiX2y2=P(5).yn吉

如果对二次型(3)的变量施行如下的一个变换： pij∊F (1≤i,j≤n),那么就得到一个关于y1, y2, ⋯,yn的二次型q ʹ(y1, y2, ⋯, yn). 1 (4) , 1,2, , n i ij j j x pyi n = = = ∑  (4)式称为变量的线性变换,令P=(pij)是(4)的系数所构成 的矩阵，则(4)可以写成 1 1 2 2 (5) n n x y x y P x y       =         9.1.2二次型的线性变换

将（5）代入（3）就得到yi2q(yi,y2,.",yn)=(yi,y2,"",yn)PTAP(6).V矩阵P称为线性变换（4）的矩阵.如果P是非奇异的，就称（4)是一个非奇异线性变换.因为A是对称矩阵，所以（PTAP)=PTAP，PTAP也是对称矩阵

将(5)代入(3)就得到 矩阵P称为线性变换(4)的矩阵.如果P是非奇异的，就称 (4)是一个非奇异线性变换.因为A是对称矩阵,所以(PTAP)T =PTAP, PTAP也是对称矩阵. 1 2 1 2 1 2 (6) ( , , , ) ( , , , ) T n n n y y q y y y y y y P AP y       ′ =         

1设定理9.1.1Ca,x,x，是数域F上的一个以A为矩阵的n元二=次型.对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是PTAP推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变注意：如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立

定理9.1.1 设 是数域F上的一个以A为矩阵的n元二 次型.对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的 二次型的矩阵是PTAP. 1 1 n n ij i j i j axx = = ∑∑ 推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保 持不变. 注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成 立

9.1.3矩阵的合同定义2设A.B是数域F上的两个n阶矩阵.如果存在F上的一个非异矩阵P，使得PTAP=B，那么称B与A合同n阶矩阵的合同关系具有以下性质：1)自反性：A与A合同2）对称性：如果A与B合同，那么B与A合同3）传递性：如果A与B合同且B与C合同，那么A与C合同合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的

定义2 设A,B是数域F上的两个n阶矩阵.如果存在F上的一个 非异矩阵P,使得PTAP=B,那么称B与A合同. 9.1.3 矩阵的合同 n阶矩阵的合同关系具有以下性质: 1)自反性: A与A合同 2)对称性:如果A与B合同,那么B与A合同. 3)传递性:如果A与B合同且B与C合同, 那么A与C合同. 合同的矩阵显然有相同的秩,并且与一个对称矩阵合同的矩 阵仍是对称的

设g和g是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B如果可以通过变量的非奇异线性变换将g变为g，则B与A合同反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使B-PTAP.通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将变为q'F上两个二次型叫等价的，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个定理9.1.2数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。等价的二次型具有相同的秩

设q和q ʹ是数域F上两个n元二次型,它们的矩阵分别为A和B. 如果可以通过变量的非奇异线性变换将q变为q ʹ ,则B与A合同. 反之,设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使B=PTAP.通过 以P为矩阵的非奇异线性变换就将q变为q ʹ . F上两个二次型叫等价的,如果可以通过变量的非奇异线性 变换将其中一个变成另一个. 定理9.1.2 数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们 的矩阵合同. 等价的二次型具有相同的秩

定理9.1.3设A=（a）是数域F上的一个n阶对称矩阵总存在F上一个阶非奇异矩阵P，使得PTAP=即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理

定理9.1.3 设A=(aij)是数域F上的一个n阶对称矩阵.总存在F上 一个n阶非奇异矩阵P，使得 即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同. 1 2 0 0 T n c c P AP c       =        证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理