《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 Euclid空间 8.1 向量的内积

第八章欧氏空间8.1向量的内积8.2正交基8.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：实现正交化过程的新方法

第八章 欧氏空间 8.3正交变换 8.4对称变换和对称矩阵 8.1向量的内积 课外学习9：实现正交化过程的新方法 8.2正交基

在几何学中（编者按：在数学中），没有专门为国王设置的捷径。-欧几里德（Euc1id，约前325一约前265）

在几何学中（编者按:在数学中），没有专门 为国王设置的捷径。 -欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)

8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、重点、难点1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念2.不等式《≤《的灵活运用

8.1向量的内积 一、内容分布 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、重点、难点 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2.不等式〈ξ,η〉 2 ≤ 〈ξ, ξ 〉〈η,η〉 的灵活运用. 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义

8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于V中任意一对向量n.有一个确定的记作.n的实数与它们对应，叫做向量与的内积（或标量积），并且下列条件被满足：(i)0；这里，，是V的任意向量，a是任意实数，那么V叫做对于这个内积来说的一个欧几里得空间（简称欧氏空间）

8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于V中任意一对 向量ξ,η,有一个确定的记作〈ξ,η〉的实数与它们对应，叫做向量 ξ与η的内积(或标量积)，并且下列条件被满足： (i) 〈ξ,η〉= 〈η,ξ〉; 这里ξ,η, ζ是V的任意向量，a是任意实数，那么V叫做对于这 个内积来说的一个欧几里得空间（简称欧氏空间）. (ii) 〈ξ+η,ζ〉= 〈ξ,ζ〉+〈η,ζ〉 (iii) 〈aξ,η〉= a〈ξ,η〉 (iv) 当ξ≠0时, 〈ξ,ξ〉>0；

例1在Rn里，对于任意两个向量-(x, X2, ., xn),n=(1, y2, ", yn)规定(5n)=xiyi+xy2+...+xn容易验证.关于内积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间例2在Rn里，对于任意两个向量-(X,X2,.,Xn),n=(V1,y2,.,yn)规定《5n)=xi+2xy2+...+nxyn不难验证，这样Rn也作成一个欧氏空间以后说到Rn时，永远指的是对于例1的内积所做成的个欧氏空间

容易验证,关于内积的公理被满足,因而Rn对于这样定义的内 积来说作成一个欧氏空间. ξ=(x1 , x2 , ⋯, xn ),η=(y1 , y2 , ⋯, yn ) 规定 〈ξ,η〉=x1 y1+ x2 y2+⋯ +xn yn 例1 在Rn里,对于任意两个向量 例2 在Rn里,对于任意两个向量 ξ=(x1 , x2 , ⋯, xn ),η=(y1 , y2 , ⋯, yn ) 规定 〈ξ,η〉=x1 y1+2x2 y2+ ⋯+nxn yn 不难验证,这样Rn也作成一个欧氏空间. 以后说到Rn时,永远指的是对于例1的内积所做成的个欧氏空间

例3令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的向量空间设fx）,g(x）ECabl.我们规定=f(x)g(x)dx根据定积分的基本性质可知，内积的公理（i)一（iv）都被满足，因而C[a,b]作成一个欧式空间

例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的向量空间, 设f(x),g(x)∈C[a,b].我们规定 根据定积分的基本性质可知,内积的公理(i)—(iv)都被满足,因而 C[a,b]作成一个欧式空间. , ( ) ( ) b a   f g f x g x dx 

内积的简单性质：(3) (0, ≤)=(, 0 )=0:反过来，如果对于任意nEV都有《，n=0，那么特别将有《=0于是由（iv）,必须=0对V中任意向量，，及任意实数a，有(6,am)=a(5,n)(5,E+n )=(5, ≤)+(5,)于是a5,bm)=ab(5,n,)

内积的简单性质： (3) 〈0, ξ 〉= 〈ξ, 0 〉=0 ; 反过来,如果对于任意η∊V,都有〈ξ, η 〉=0 , 于是由(iv),必须ξ =0. 那么特别将有〈ξ, ξ〉=0 . 对V中任意向量ξ,η, ζ及任意实数a，有 〈ζ,ξ+η 〉= 〈ζ,ξ 〉+〈ζ,η〉 〈ξ,aη〉= a〈ξ,η〉 1 1 1 1 , , r s r s i i j j i j i j i j i j a b a b             于是

8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角定义2设是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根，>叫做的长度，向量的长度用符号表示：15=.5>例5令Rn是例1中的欧氏空间.Rn的向量=(X1,X2,,xn)的长度是15=5,5>=Vx+x2+...x

8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根    , 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号|ξ|表示： | | ,       例5 令Rn是例1中的欧氏空间. Rn的向量 ξ=(x1 , x2 , ⋯, xn ) 的长度是 2 2 2 1 2 | | , n          x x x

由长度的定义，对于欧氏空间中任意向量和任意实数α，有1a555>=5,5>=l5注：一个实数a与一个向量的乘积的长度等于α的绝对值与的长度的乘积我们把长度是1的向量叫做单位向量，如果是一个非零向量，那么是一个单位向量

由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和任意实数a,有 2 | | , , | || | a a a a a              注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a的绝对值与ξ的 长度的乘积. 我们把长度是1的向量叫做单位向量.如果ξ是一个非零向量, 那么ξ/|ξ|是一个单位向量

定理8.1.1在一个欧氏空间里，对于任意向量！，有不等式(6)(En)2≤(,≤nn)当且仅当与线性相关时，上式才取等号证如果与n线性相关，那么或者-0或者=a，不论哪一种情况都有《, =(,)现在设与线性无关，那么对于任意实数来说，t+0，于是+,n=+2n+)>0上式是的二次三项式，对的任意实数值来说都是正数所以它的判别式一定小于零可得4(5m)2-4,≤nm)<0或<E,)2<(E, ≤n)

定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量ξ,η ,有不等式 (6) 〈ξ,η〉 2 ≤ 〈ξ, ξ 〉〈η,η〉 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号. 证 如果ξ与η线性相关,那么或者ξ=0,或者η=aξ,不论哪一种情况 都有 现在设ξ与η线性无关,那么对于任意实数t来说, tξ+η≠0，于是 〈tξ+η, tξ+η 〉 =t 2 〈 ξ,ξ 〉 + 2t〈ξ,η 〉 + 〈η,η〉 >0 上式是t的二次三项式，对t的任意实数值来说都是正数,所以它 的判别式一定小于零,可得 4〈ξ,η〉 2 – 4〈ξ, ξ 〉〈η,η〉<0 〈ξ,η〉 2 = 〈ξ, ξ〉〈η,η〉 . 或 〈 ξ,η〉 2 < 〈ξ, ξ 〉〈η,η〉