《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 二次型 9.4 主轴问题

9.4主轴问题、内容分布9.4.1变量的正交变换9.4.2实对称矩阵的相似对角形二、教学目的1：掌握变量的正交变换2.掌握将实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型三、重点、难点实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型

9.4 主轴问题 一、内容分布 9.4.1 变量的正交变换 9.4.2 实对称矩阵的相似对角形 二、教学目的 1．掌握变量的正交变换 2．掌握将实二次型通过变量的正交变换化为一个只含 变量平方项的二次型 三、重点、难点 实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变量平方 项的二次型

9.4.1变量的正交变换我们已经看到，实数域上一个二次型g(x，x2，xn）可以经过变量的非奇异变换XX2Y2.·...1化为二次型y2+.+y?-yp+1?-….-y?

9.4.1 变量的正交变换 我们已经看到,实数域上一个二次型q(x1, x2, ⋯, xn) 可以经过变量的非奇异变换 1 1 2 2 n n x y x y P x y       =         化为二次型 y1 2+⋯+yp 2–yp+1 2 – ⋯ –yr 2

我们一般地讨论将一个元实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型问题，这个问题称为二次型的主轴问题.这里所说的变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵由于正交矩阵是非奇异的，所以变量的正交变换是非奇异的用矩阵的语言来说就是，给一个实对称矩阵A，要寻求一个正交矩阵U，使得UTAU是对角形式，这个问题在8.4里实际上已经得到解决

我们一般地讨论将一个n元实二次型通过变量的正交变换 化为一个只含变量平方项的二次型问题, 这个问题称为二次 型的主轴问题.这里所说的变量的正交变换指的是这个变换 的矩阵是正交矩阵. 由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变换是非奇异的. 用矩阵的语言来说就是,给一个实对称矩阵A,要寻求一个正交 矩阵U,使得UTAU是对角形式,这个问题在8.4里实际上已经得 到解决

定理9.4.1 设 q(x,2,x,)= ≥≥aix,xi=lj=l是实数域上一个二次型，那么总可以通过变量的正交变换XIJiJ2=U.化为2+y2++入？，这里U是一个正交矩阵，而,,ER是二次型A=a）的全部特征根

定理9.4.1 设 是实数域上一个二次型, 那么总可以通过变量的正交变换 化为λ1y1 2+λ2y2 2+ ⋯+λnyn 2 ,这里U是一个正交矩阵,而 λ1,λ2,⋯,λn ∈R是二次型A=(aij)的全部特征根. 1 2 1 1 (, , , ) n n n ij i j i j qx x x axx = =  = ∑∑ 1 1 2 2 n n x y x y U x y       =        

证A=(a）是一个n阶实对称矩阵.由定理8.4.3和8.4.6，存在一个正交矩阵U，使得UTAU=这里入ER是A的全部特征根.这也就相当于说以A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式1iyi+2y22+..+nyn2

证 A=(aij)是一个n 阶实对称矩阵.由定理8.4.3和8.4.6,存在 一个正交矩阵U , 使得 这里λ1,λ2,⋯,λn ∈R是A的全部特征根.这也就相当于说以A为 矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式 λ1y1 2+λ2y2 2+ ⋯+λnyn 2. 1 T 1 0 0 n U AU       =        λ λ λ

9.4.2实对称矩阵的相似对角形设 q(x,…,x,)=Z之ax,x推论9.4.2i=lj=l是实数域上一个n元二次型，A=（a）是它的矩阵(i)二次型g(xi,x2xn)的秩等于A的不等于零的特征根的个数，而符号差等于A的正特征根个数与负特征根个数的差(ii)二次型q(xi，x2，，xn）是正交的必要且只要A的所有特征根都是正数

推论9.4.2 设 是实数域上一个n元二次型, A=(aij) 是它的矩阵. (i) 二次型q(x1, x2, ⋯, xn)的秩等于A的不等于零的特征根的 个数,而符号差等于A的正特征根个数与负特征根个数的差. 9.4.2 实对称矩阵的相似对角形 1 2 1 1 (, , , ) n n n ij i j i j qx x x axx = =  = ∑∑ (ii) 二次型q(x1, x2, ⋯, xn) 是正交的必要且只要A的所有 特征根都是正数

例1已知实二次型f(x1,x2,x)=2x +2x2 +2x3-2xx2-2xix3 -2x2x3（1）用正交线性变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交线性变换(2）求出f(xi,x2,x3)的秩、惯性指标与符号差解（1）二次型的矩阵为求f的全部特征根：因为

例1 已知实二次型 ( ) 222 1 2 3 1 2 3 12 13 23 f x x x x x x xx xx xx , 2 2 2 2 2 2 =++− − − (1) 用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出所用的 正交线性变换； (2) 求出f (x1, x2, x3)的秩、惯性指标与符号差. 2 -1 - 1 -1 2 -1 -1 -1 2 A     =   解 (1) 二次型的矩阵为 求f 的全部特征根：因为

x-2= x(x-3)x-21xI-A11x-2故的全部特征根为入，=3（二重）入=0对特征根入,=3，解齐次线性方程组X+X2+X3=0X1+X2+X3=0Xi+X2+X3=0-{) -{5二得一基础解系：

( ) 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 1 | | = − − − = x x x- x￾x xI A 故的全部特征根为λ1 =3(二重),λ2 =0. 对特征根λ1 =3,解齐次线性方程组      + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 得一基础解系：           − =           − = 1 0 1 , 0 1 1 ξ 1 ξ 2

对特征根入，=0，解齐次线性方程组-2Xi+X2+X3=0X-2X2+X3=0Xi+X2-2x3=053得一基础解系：-{ -[ -]S1对 正交化、单位化得：

对特征根λ2 =0 ,解齐次线性方程组      + − = − + = − + + = 2 0 2 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 得一基础解系：           = 1 1 1 ξ 3           = 1 1 1 ξ 3 , 1 0 1 , 0 1 1 1 2           − =           − 对 ξ = ξ 正交化、单位化得：

1万一万一万1万1万15-~5en=21以ei,e2,es为列作一个正交矩阵11~51万1万1万万1万

, 6 2 6 1 6 1 , 0 2 1 2 1 1 2                   − − =                     − e = e                   = 3 1 3 1 3 1 e3 以e1, e2, e3为列作一个正交矩阵                   − − − = 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 T