《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.4 不变子空间

7.4不变子空间一、内容分布7.4.1不变子空间的定义7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简二、重点、难点验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间

7.4 不变子空间 一、内容分布 7.4.1 不变子空间的定义 二、重点、难点 验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求 给定线性变换的一些不变子空间. 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简

7.4.1不变子空间设V是数域上F一个n维向量空间，是V的一个线性变换定义V的一个子空间W说是在线性变换o之下不变，如果o(W)CW.如果子空间W在?之下不变，那么W就叫做?的一个不变子空间.WCW即对VEWEW例1V本身和零空间：0！显然在任意线性变换之下不变

7.4.1 不变子空间 设V是数域上F一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换. 定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变, 如果 σ(W)⊆W . 如果子空间W在σ之下不变，那么W就叫做σ的一个不变子 空间. 例1 V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变. σ(W)⊆W,即对∀ξ ∈W, σ(ξ) ∈W

例2令是V的一个线性变换，那么o的核Ker（o）和像Im（o）都在之下不变事实上，对任意的EKer(o)都有o（)=0EKer()所以Ker(o）在o之下不变.至于Im（o）在之下不变是显然的例3V的任意子空间在任意位似变换之下不变设V是V的子空间，对任意的EV都有（=kEV所以V任意位似变换之下不变例4令?是V，中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角的旋转那么旋转轴L是?的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是?的一个二维不变子空间

例4 令σ是V3 中以某一过原点的直线L为轴,旋转一个角θ的 旋转,那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间,而过原点与L 垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间. 例3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变. 例2 令σ是V的一个线性变换,那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都 在σ之下不变. 事实上,对任意的ξ ∈ Ker(σ),都有σ(ξ)=0∈Ker(σ),所以Ker(σ) 在σ之下不变.至于Im(σ)在σ之下不变是显然的. 设Vʹ是V的子空间,对任意的ξ ∈Vʹ ,都有σ(ξ)=kξ∈Vʹ ,所以 Vʹ任意位似变换之下不变

例5令Fx是数域F上一切一元多项式所成的向量空间x）一f（x）是求导数运算.对于每一自然数n.令F[xl表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间.那么F[x在之下不变设W是线性变换的一个不变子空间，只考虑在W上的作用，就得到子空间W本身的一个线性变换，称为?在W上的限制，并且记作alw.这样，对于任意EWom()=o()然而如果W，那么alw没有意义

例5 令F[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间， σ :f(x) ⟼f ʹ (x) 是求导数运算.对于每一自然数n,令Fn[x] 表示 一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间. 那 么Fn[x]在σ之下不变. 设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ在W上的作 用，就得到子空间W本身的一个线性变换,称为σ在W上的限 制，并且记作 σ∣W . 这样,对于任意 ξ ∈W, σ∣W(ξ )=σ(ξ) 然而如果ξ ∉W , 那么σ∣W 没有意义

设V是数域F上一个n维向量空间，o是V的一个线性变换假设有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基αi,α2",，再补充成的一个基,z，,，r+1，",n由于W在o之下不变所以oa），o（a）oa）仍在w内，因而可以由w的基ai,az，,a线性表示.我们有：o(a,)=ana+a2ia+.+aria,(a,)=ai,a,+a2ra2+...+apa,o(ar+1)=a1,r+ia,+a2.r+1az+...+anr+1a.n

设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换. 假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基α1,α2 , ⋯, αr ,再补充成V的一个基α1,α2 , ⋯, αr , αr+1 ,⋯, αn .由于W在 σ之下不变,所以σ(α1) , σ(α2) ⋯, σ(αr) 仍在W内,因而可以由W 的基α1,α2 , ⋯, αr线性表示.我们有: σ(α1)= a11α1+a21α2+ ⋯+ar1αr ⋯⋯⋯⋯ σ(αr+1) = a1,r+1α1+a2,r+1α2+ ⋯+an,r+1αn σ(αr)= a1rα1+a2rα2+ ⋯+ar2αr

o(an)=ainaj+a2naz+..+annannn2因此，6关于这个基的矩阵有形状这里ail是lw关于基W的基αi,α2，α,的矩阵，而A中左下方的O表示一个（n-r）行r列的零矩阵

σ(αn) = a1nα1+a2nα2+ ⋯+annαn ⋯⋯⋯⋯ 因此，σ关于这个基的矩阵有形状 1 3 2 A A A O A   =     这里 是σ∣W关于基W的基α1,α2 , ⋯, αr的矩阵,而A中左下方的O表 示一个(n-r) 行r 列的 零矩阵. 11 1 1 1 r r rr a a A a a     =        

由此可见，如果线性变换有一个非平凡不变子空间那么适当选取V的基可以使与对应的矩阵中有一些元素是零.特别，如果V可以写成两个非平凡子空间的W与W，直和：V-W,OW2那么选取W,的一个基αi,α2，…,α,和Wz的一个基a+1",an凑成的一个基αi,2，…,an.当W和W，都在之下不变时.容易看出，关于这样选取的基的矩阵是这里A,是一个r阶矩阵，它是lw关于基α1,α2，α的矩阵，而A是一个n-r阶矩阵,它是olw,关于基α+1,α,的矩阵

由此可见，如果线性变换σ有一个非平凡不变子空间,那么 适当选取V的基,可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零.特 别,如果V可以写成两个非平凡子空间的W1与W2直和： V=W1⊕W2 1 2 A O A O A   =     这里A1是一个r阶矩阵,它是σ∣W1 关于基α1,α2 , ⋯, αr的矩阵,而A2 是一个n-r阶矩阵,它是σ∣W2 关于基αr+1 ,⋯, αn的矩阵. 那么选取W1的一个基 α1,α2 , ⋯, αr和W2 的一个基αr+1 ,⋯, αn . 凑成V的一个基α1,α2 , ⋯, αn .当 W1和W2都在σ之下不变时.容 易看出,σ关于这样选取的基的矩阵是

一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W,W2,W的直和，并月每一子空间都在线性变换?之下不变，那么在每一子空间中取一个基，成V的一个基，关于这个基的矩阵就有形状这里A是olw关于所取的W基的矩阵

一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W1,W2, ⋯, Ws 的直和，并且每一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一 子空间中取一个基，凑成V的一个基，σ关于这个基的矩阵就有 形状 1 2 s A A A             0 0  这里Ai 是σ∣Wi 关于所取的Wi 基的矩阵

例6令?是例4所给出的V，的线性变换.显然V是一维子空间L与二维子空间H的直和而L与H在之下不变.取L的一个非零向量α，取H的两个彼此正交的单位长度向量α2，α3那么αi,α2α是V的一个基，而关于这个基的矩阵是cose-sinosinecoso

例6 令 σ 是例4所给出的V3的线性变换. 显然V3是一维子空 间L与二维子空间H的直和,而L与H在 σ 之下不变. 取L的一 个非零向量α1, 取 H 的两个彼此正交的单位长度向量α2 ,α3 那么α1, α2 ,α3 是V3 的一个基，而σ关于这个基的矩阵是 10 0 0 cos sin 0 sin cos θ θ θ θ     −  