沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第1章 随机事件与概率、第2章 随机变量及其分布

第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案绪论概率论的发展历程1.概率论的诞生1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一赌徒胜a局（a<c)），另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡，帕斯卡与费马通信讨论这一问题，于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念一一数学期望，标志着概率论的诞生。2.古典概率论时期概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（JacobBernoulli，1654一1705），他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。3.分析概率论时期拉普拉斯是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者。1812年，拉普拉斯出版著作《概率的分析理论》，书中以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，为现代概率论的萌生和发展提供了前提条件，开辟了概率论发展的新时期。19世纪的概率论研究是在《分析概率论》的框架内展开的。4.公理化概率论时期1933年，柯尔莫哥洛夫以德文出版经典性著作《概率论基础》。其中，柯尔莫哥洛夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。柯尔莫哥洛夫的公理化体系逐渐得到数学家们的普遍认可。该书标志着概率论成为严密的数学分支。5．概率论的多元化发展概率论的发展根植于现代分析学，依赖于公理化和不等式估计，与实分析、泛函分析和偏微分方程等数学分支有着密切联系，概率论与数理统计在中国的发展1880年，供职于江南制造局的英国传教士傅兰雅与中国数学家华衡芳合作翻译了托马斯·迦罗威的《概率论》，中文译著名为《决疑数学》。1903年，日本知名的学者横山雅男的《统计讲义录》中文版出版且流传极广。中国概率统计领域内享有国际声誉的数学家有许宝、王梓坤等。1.许宝腺（1910一1970）20世纪最富创造性的统计学家之一，在概率论与数理统计领域所作出的贡献享誉世界

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 1 - 绪论 概率论的发展历程 1. 概率论的诞生 1654 年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( a c  ),另一赌徒胜 b 局 ( ) b c  时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马 通信讨论这一问题, 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望，标志着概率论的诞生。 2．古典概率论时期 概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654－1705）， 他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。 3．分析概率论时期 拉普拉斯是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者。1812年，拉普拉斯出版著作《概率的分析 理论》，书中以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以 往零散的结果系统化，为现代概率论的萌生和发展提供了前提条件，开辟了概率论发展的新时期。 19世纪 的概率论研究是在《分析概率论》的框架内展开的。 4．公理化概率论时期 1933年，柯尔莫哥洛夫以德文出版经典性著作《概率论基础》。其中，柯尔莫哥洛夫给出了公理化概率 论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。柯尔莫哥洛夫 的公理化体系逐渐得到数学家们的普遍认可。该书标志着概率论成为严密的数学分支。 5．概率论的多元化发展 概率论的发展根植于现代分析学，依赖于公理化和不等式估计，与实分析、泛函分析和偏微分方程等 数学分支有着密切联系． 概率论与数理统计在中国的发展 1880年，供职于江南制造局的英国传教士傅兰雅与中国数学家华衡芳合作翻译了托马斯﹒迦罗威的《概 率论》，中文译著名为《决疑数学》。1903年，日本知名的学者横山雅男的《统计讲义录》中文版出版且流 传极广。 中国概率统计领域内享有国际声誉的数学家有许宝騄、王梓坤等。 1.许宝騄（1910－1970） 20 世纪最富创造性的统计学家之一，在概率论与数理统计领域所作出的贡献享誉世界

概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率2.王梓坤中国科学院院士王梓坤1929年4月生，江西吉安县人。1955年，王梓坤在南开大学任教期间，经推荐考取了留苏研究生，去莫斯科大学数学力学系攻读概率论。王梓坤在苏联的导师是近代概率论的奠基人柯尔莫戈罗夫和杜布罗辛。1958年，王梓坤的博士论文《生灭过程的分类》在莫斯科大学的学术答辩会上一致通过，获副博士学位回国。3.彭实戈中国科学院院士，2010年在国际数学家大会上作了题为“倒向随机微分方程和非线性期望及其应用”(BackwardStochasticDifferentialEquations，NonlinearExpectationandTheirApplica.tions)的大会报告.他是第一位作1小时邀请报告的中国数学家，这标志着我国的概率统计研究正逐步走向世界前沿

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 2 - 2.王梓坤 中国科学院院士王梓坤 1929 年 4 月生，江西吉安县人。1955 年，王梓坤在南开大学任教期间，经推荐 考取了留苏研究生，去莫斯科大学数学力学系攻读概率论。王梓坤在苏联的导师是近代概率论的奠基人柯 尔莫戈罗夫和杜布罗辛。1958 年，王梓坤的博士论文《生灭过程的分类》在莫斯科大学的学术答辩会上一 致通过，获副博士学位回国。 3.彭实戈 中国科学院院士，2010年在国际数学家大会上作了题为“倒向随机微分方程和非线性期望及其应用” (Backward Stochastic Differential Equations，Nonlinear Expectation and Their Applica．tions)的大会报告．他是 第一位作1小时邀请报告的中国数学家，这标志着我国的概率统计研究正逐步走向世界前沿

第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案第1章内容概览随机事件与概率一、本章主要知识点：1.随机事件的基本概念及事件间的关系与运算.2.概率的定义与基本性质，3.古典概型，几何概型，伯努利概型。4．加法公式，条件概率公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式5．事件的独立性.二、本章教学重点：1.概率的概念和性质2．古典概率的计算.3.条件概率，相互独立事件概率的计算。4.全概率公式以及贝叶斯公式的应用三、本章教学难点：古典概率的计算，全概率公式以及贝叶斯公式的应用。四、本章知识体系图：随机试验样本空间随机事件随机事件的概念关系包含与相等：互不相容：对立事件间的关系与运算运算并：交：差统计定义定义随机事件及其概率公理化定义事件的独立性性质非负、有界：逆事件概率：有限可加：加法公式：减法公式随机事件的概率概型古典概型与几何概型：伯努利概型定义：公式条件概率乘法公式：全概率公式：贝叶斯公式

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 3 - 第 1 章 随机事件与概率——内容概览 一、本章主要知识点： 1．随机事件的基本概念及事件间的关系与运算． 2．概率的定义与基本性质． 3．古典概型，几何概型，伯努利概型． 4．加法公式，条件概率公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式． 5．事件的独立性． 二、本章教学重点： 1．概率的概念和性质． 2．古典概率的计算． 3．条件概率，相互独立事件概率的计算． 4．全概率公式以及贝叶斯公式的应用． 三、本章教学难点： 古典概率的计算，全概率公式以及贝叶斯公式的应用． 四、本章知识体系图： 包含与相等；互不相容；对立 并；交；差 随 机 事 件 的 概 念 随 机 事 件 的 概 率 随机试验 样本空间 随机事件 事件间的关系与运算 定义 性质 条件概率 概型 关系 运算 统计定义 公理化定义 非负、有界；逆事件概率；有限可加；加法公式；减法公式 古典概型与几何概型；伯努利概型 定义；公式 乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式 事件的独立性 随 机 事 件 及 其 概 率

概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率S1.1随机事件和样本空间S1.1随机事件和样本空间第1讲（1）授课题目教学目的了解样本空间的概念；理解随机事件的概念。教学重点随机事件的概念。教学难点理解随机事件的概念。备注教学过程如帆框架随机现象举例：试验1.一袋装有随机现象一→随机试验一→样本空间一→随机事件→事件间的关系与运算3个外形完全相同的讲授新课白球，从中任取一球；试验2.一袋装有一、随机现象及随机试验3个外形完全相同但颜色不同的球，从中任取一球，1.两类现象：确定性现象：即在一定条件下，必然发生或不发生的现象：例，抛硬市，最终反例：记录100年后地落地。人最终都要面临死亡。球上的人口数量一②不确定现象：即在观测之前无法预知其确切结果的现象，也称其为随机现象，不是随机试验，试验无2.研究随机现象的最好方法：法在相同的条件下重复进行.多次重复试验或观察，呈现统计规律性3.随机试验：（1）试验在相同条件下可重复进行：（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果：（3）每次试验前不能确定哪一个结果发生.随机试验简称试验，常用字母E,E，E，表示例1下面的4个试验都是随机试验：E：掷一枚殷子，观察朝上出现的点数；E，：先后抛两次硬币，观察正面与反面出现的情况；注1.当试验的目的不同时，样本空间E，：记录一部热线电话在2分钟内接到电话的次数：往往是不同的.E：按户调查农村居民年购买食品、家电分别支出的费用.2.必然事件和不可能事件本来没有随二、样本空间与随机事件机性可言，看成随机1.样本空间事件的极端情况.事件的表示方法：-4-

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 4 - §1.1 随机事件和样本空间 授课题目 §1.1 随机事件和样本空间 第 1 讲（1） 教学目的 了解样本空间的概念；理解随机事件的概念。 教学重点 随机事件的概念。 教学难点 理解随机事件的概念。 教 学 过 程 备注 *知识框架 随机现象 随机试验 样本空间 随机事件 事件间的关系与运算 随机现象举例： 试验 1. 一袋装有 3 个外形完全相同的 白球，从中任取一球； 试验 2. 一袋装有 3 个外形完全相同但 颜色不同的球，从中任 取一球． 反例：记录 100 年后地 球上的人口数量—— 不是随机试验，试验无 法在相同的条件下重 复进行． 注 1.当试验的 目的不同时，样本空间 往往是不同的． 2. 必然事件和不可 能事件本来没有随 机性可言，看成随机 事件的极端情况． 事件的表示方法： *讲授新课 一、随机现象及随机试验 1.两类现象： ○1 确定性现象：即在一定条件下，必然发生或不发生的现象；例，抛硬币，最终 落地。人最终都要面临死亡。 ○2 不确定现象：即在观测之前无法预知其确切结果的现象，也称其为随机现象． 2.研究随机现象的最好方法： 多次重复试验或观察，呈现统计规律性． 3. 随机试验： （1）试验在相同条件下可重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果； （3）每次试验前不能确定哪一个结果发生． 随机试验简称试验，常用字母 1 2 E E E , , , 表示． 例 1 下面的 4 个试验都是随机试验: E1 ：掷一枚骰子，观察朝上出现的点数； E2 ：先后抛两次硬币，观察正面与反面出现的情况； E3 ：记录一部热线电话在 2 分钟内接到电话的次数； E4 ：按户调查农村居民年购买食品、家电分别支出的费用． 二、样本空间与随机事件 1.样本空间

概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率①定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Q．其列举法、描述法（集合),中每一个可能的结果，称为样本点，记作の.举例：例2写出E，E，E，E,对应的样本空间2，22,2,24在试验E,中，解2=(1,2,3,4,5,6：22=（（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）：1.“挪出的点数不超过24 =((x,y)/x≥0, y≥0)2, ={0,1,2,];6”是必然事件；①类型随机试验E，的样本空间是一维的，E,的样本空间是二维的，样本点个2.“掷出的点数大于7”是不可能事件：数为有限个，称为有限样本空间：E，中样本点个数为无限个，称为无限样本空间3.“掷出的点数是6”2.随机事件是一个基本事件(1） 定义样本空间2的任意子集称为随机事件，简称事件，可用大写字母A,B,C,..表示（2）必然事件对于一个随机试验E，在每次试验中必然发生的事件。（3）不可能事件在每次试验中都不发生的事件，用Φ来表示。（4）基本事件由一个样本点组成的单点集合（5）事件发生事件A发生台A中的一个样本点出现。例3在公路上随机抽查10辆汽车，考察其中公有车辆数，写出样本空间并将下列事件用列举法表示为集合的形式A=（有2辆或3辆公车）：B=（有1至3辆公车）：C=(公车不超过3辆)D=（至少有3辆公车).串小结随机现象★随机试验★样本空间★随机事件作业习题1. 1—P6—5S 1. 2事件间的关系与运算第1讲（(2)授课题目S1.2事件间的关系与运算教学目的掌握事件的关系与运算。教学重点事件的关系与运算。教学难点掌握事件的关系与运算。备注教学过程*讲教新课、事件间的关系与运算-5-

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 5 - ○1 定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记作  ．其 中每一个可能的结果，称为样本点，记作  ． 例 2 写出 E1， E2 ， E3 ， E4 对应的样本空间 1 2 3 4     , , , ． 解  =1 1,2,3,4,5,6 ；  =2 {（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；  =3 {0,1,2, }  ；  =   4 ( , ) | 0, 0 x y x y  ． ○2 类型 随机试验 E1 的样本空间是一维的， E2 的样本空间是二维的，样本点个 数为有限个，称为有限样本空间； E3 中样本点个数为无限个，称为无限样本空间． 2.随机事件 （1）定义 样本空间  的任意子集称为随机事件，简称事件，可用大写字母 A,B,C,  表示． （2）必然事件 对于一个随机试验 E ，在每次试验中必然发生的事件。 （3）不可能事件 在每次试验中都不发生的事件，用  来表示． （4）基本事件 由一个样本点组成的单点集合． （5）事件发生 事件 A 发生  A 中的一个样本点出现。 例 3 在公路上随机抽查 10 辆汽车，考察其中公有车辆数，写出样本空间 并将下列事件用列举法表示为集合的形式 A = {有 2 辆或 3 辆公车}； B = {有 1 至 3 辆公车}； C = {公车不超过 3 辆}； D = {至少有 3 辆公车}． 列举法、描述法（集 合）． 举例： 在试验 E1 中， 1．“掷出的点数不超过 6”是必然事件； 2. “掷出的点数大于 7”是不可能事件； 3. “掷出的点数是 6” 是一个基本事件. *小结 随机现象 随机试验 样本空间 随机事件 *作业 习题 1.1—P6 —5 §1.2 事件间的关系与运算 授课题目 §1.2 事件间的关系与运算 第 1 讲（2） 教学目的 掌握事件的关系与运算。 教学重点 事件的关系与运算。 教学难点 掌握事件的关系与运算。 教 学 过 程 备注 *讲授新课 一、事件间的关系与运算

概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率1.事件间的关系与运算（1）事件的包含与相等包含：若事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都是B的样本点.记为ACB或者BA相等：若ACB且BCA，即A与B含有相同的样本点，记为A=B.包含Q（2）互不相容事件（互斥事件）互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即A与B没有公共样本点两两互不相容：若事件A,A，,A中的任意两个都互不相容互不相容互斥事件包括：9A发生B不发生：②B发生A不发生：③A与B都不发生，（3）对立事件对立注“事件A不发生”，这一事件称为事件A的对立事件或逆事件，记为A对立事件是互不相容（4）事件的并（或和）事件，互不相容事件不一定是对立事件“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AUB（或A+B）推广：UA,=(A,A2,A,中至少有一个发生).（5）事件的交（或积）并“事件A与事件B都发生”记为AΛB，也简记为AB推广：nA={A,A2,"",A,都发生).k=l交（6）事件的差“事件A发生而事件B不发生”记为A-B，是由属于A但不属于B的所有样本堂点组成的事件：常用结论差①AUΦ=A, A=Φ, AA=,AUQ=Q, AQ=A,AUA=Q,A=A.②若事件ACB,则AUB=B，ANB=A，A-BA-B=AB= A-AB, A=(AB)U(AB),AUB=BUAB=AUBA2.事件的运算律(1）交换律AUB=BUA：ANB=BNA.(2)结合律(AUB)UC=AU(BUC)：(ANB)NC=AN(BNC)-6-

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 6 - 1. 事件间的关系与运算 （1）事件的包含与相等 包含：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，即 A 的每个样本点都是 B 的样本点．记 为 A  B 或者 B  A 相等：若 A  B 且 B  A ，即 A 与 B 含有相同的样本点，记为 A B = ． （2）互不相容事件(互斥事件) 互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 A 与 B 没有公共样本点． 两两互不相容：若事件 A A An , , , 1 2  中的任意两个都互不相容． 互斥事件包括： ① A 发生 B 不发生；② B 发生 A 不发生；③ A 与 B 都不发生． （3）对立事件 “事件 A 不发生”，这一事件称为事件 A 的对立事件或逆事件，记为 A ． （4）事件的并（或和） “事件 A 与事件 B 至少有一个发生”，记作 A B （或 A B+ ）． 推广： k n k A =1  ={ A A An , , , 1 2  中至少有一个发生}． （5）事件的交（或积） “事件 A 与事件 B 都发生”记为 A B ，也简记为 AB ． 推广： k n k A =1  ={ A A An , , , 1 2  都发生}． （6）事件的差 “事件 A 发生而事件 B 不发生”记为 A B− ，是由属于 A 但不属于 B 的所有样本 点组成的事件． 常用结论 ① A A  = ， A = ， AA =， A  =  ， A A  = ， A A =  ， A = A ． ②若事件 A B  , 则 A B B = ， A B A = ， A B  ． ③ A B AB A AB − = = − ， A AB AB = ( ) ( )， A B B AB A BA = = ． 2. 事件的运算律 （1）交换律 A B = B  A ； A B B A = ． （2）结合律 (A B) C = A(B C) ； ( ) ( ) A B C A B C = ． 包含 互不相容 对立 注 对立事件是互不相容 事件，互不相容事件不 一定是对立事件． 并 交 差

第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案(3)分配律AN(BUC)=(ANB)U(ANC);AU(BNC)=(AUB)N(AUC)注（4）对偶律AUB-ANB：ANB=AUB对偶律也称德摩根律例1从一堆产品（正、次品数都多于2件）中任取2件，判断下列事件A，B是否互斥？是否对立？答案：(1)A={恰有一件次品)，B=(恰有两件次品);(2)A={至少有一件次品)，B=(至少有一件正品).例2设A、B、C是同一试验中的三个事件，试用A、B、C表示下列事件：（1）事件“A发生，B、C不发生”；（2）事件“A、B、C恰有一个发生”：（3）事件“A、B、C至少有一个发生”；（4）事件A、B、C至少有两个发生"：（5）事件“A、B、C至多有两个发生”*覌固练司1.指出下列命题哪些成立：(1) AUB=ABUB(V)(2) AB= AUB(x)(3)AUBC-ABC(x)(4) (AB)(AB)=β(v)(v)(6) ACB=BA(V)(5) AcB=A=AB(7) AB=β,且CC A,则BC=（V)·小结事件间的关系与运算关系与运算定义1定义 2文氏图符号表示A的样本点都是BA包含于BACBIBDAIA发生则B发生的样本点OA发生则B发生，A与B含有相同的A=BACB且ADB样本点B发生则A发生.9事件A与B不能同A与B没有公共样AB=O互不相容事件时发生本点A AB=O对立事件事件A不发生A中样本点未出现AUB=Q7-

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 7 - （3）分配律 A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ； A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ． （4）对偶律 A B A B = ； A B A B = ． 例 1 从一堆产品（正、次品数都多于 2 件）中任取 2 件，判断下列事件 A B, 是 否互斥？是否对立? (1) A ={恰有一件次品}， B ={恰有两件次品}； (2) A ={至少有一件次品}， B ={至少有一件正品}． 例 2 设 A 、 B 、C 是同一试验中的三个事件，试用 A 、 B 、C 表示下列事件： （1）事件“ A 发生， B 、C 不发生”； （2）事件“ A 、 B 、C 恰有一个发生”； （3）事件“ A 、 B 、C 至少有一个发生”； （4）事件“ A 、 B 、C 至少有两个发生”； （5）事件“ A 、 B 、C 至多有两个发生”． 注 对偶律也称德摩根律 答案： . *巩固练习 1．指出下列命题哪些成立： （1） A B AB B = （√） （2） AB A B = （×） （3） A BC ABC = （×） （4） ( )( ) AB AB = （√） （5） A B A AB   = （√） （6） A B B A    （√） （7） AB = ,且 C A  ，则 BC = （√） *小结 事件间的关系与运算 关系与运算 符号表示 定义 1 定义 2 文氏图 A 包含于 B A B B A   / / A 发生则 B 发生 A 的样本点都是 B 的样本点 A B = A  B 且 A B  A 发生则 B 发生， B 发生则 A 发生. A 与 B 含有相同的 样本点 互不相容事件 AB = 事件 A 与 B 不能同 时发生 A 与 B 没有公共样 本点 对立事件 A AB = A B =  事件 A 不发生 A 中样本点未出现

第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案a事件A与B至少有样本点属于A或者AUBIA+B事件的并一个发生Be事件A与B都发生样本点即属于A又ANBIAB事件的交属于B2属于A但不属于B事件A发生而B不A-B事件的差的所有样本点组成发生的事件。中作业习题1.2—P92，3，4$1.3随机事件的概率$1.3随机事件的概率第2讲、第3讲授课题目教学目的了解概率的统计定义；理解概率的公理化定义：理解概率的性质教学重点概率的公理化定义与性质教学难点概率的公理化定义备注教学过程*复司引入课前复习：样本空间的定义：事件的定义重点提示：1.事件A发生：试验的结果包含在A中：2.交-一都分配率；3.并——至少对偶率

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 8 - 事件的并 A B / A B+ 事件 A 与 B 至少有 一个发生 样本点属于 A 或者 B 事件的交 A B / AB 事件 A 与 B 都发生 样本点即属于 A 又 属于 B 事件的差 A B− 事件 A 发生而 B 不 发生 属于 A 但不属于 B 的所有样本点组成 的事件． *作业 习题 1.2—P9—2，3，4 §1.3 随机事件的概率 授课题目 §1.3 随机事件的概率 第 2 讲、第 3 讲 教学目的 了解概率的统计定义；理解概率的公理化定义；理解概率的性质 教学重点 概率的公理化定义与性质 教学难点 概率的公理化定义 教 学 过 程 备注 *复习引入 课前复习：样本空间的定义；事件的定义 重点提示：1.事件 A 发生：试验的结果包含在 A 中； 2.交——都 分配率； 3.并——至少 对偶率

概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率中知识机架柯尔莫哥洛夫基本假设概率的性质概率的公理化定义I. P(Φ)=0II. 0≤P(A)≤1DI.规范性频率方法：I.P(Φ)=0；II.有限可加性II.非负性频率=nsIⅢI.减法公式；IV.加法公式III. 可列可加性nV.对立事件的概率概率=频率的稳定值古典方法：T1.随机试验中只有有限个可能的结果；概率三种计算方法IⅡI，每个结果出现的可能性相同，也简称为“等可能”；-Il.样本空间有n 个结果,A包含m 个结果, P(4)="几何方法：-一维线段的长度；n二维区域的面积；典型问题：抽样、样本放入容器、随机取数三维立体的体积.电讲投新课概率：随机事件的发生具有偶然性，但随机一、概率的公理化定义事件发生的可能性有大小之别.定义在一个随机试验中，用来表示任一个随机事件A发生的可能性大小的实数称为事件A的概率，记为P(A),其中P(A)需满足下面三个公理随机事件发生可能性大小的度量称为该（1）非负性公理：对任一事件A，都有P(A)≥0；事件的概率，也就是说（2）规范性公理：必然事件的概率P(2)=1：随机事件A发生的可（3）可加性公理：对任意可数个两两互不相容的事件A，A，，A，，有能性的大小就是事件A的概率，记之为P(A)P(LA):P(A).i=l1二、概率的性质(1）不可能事件与必然事件的概率：P(Φ)=0，P(2)=1.（2）有限可加性：若事件A,A，",A,两两互不相容，则P(J 4)=Z P(4).i=l-（3）减法公式：对任意两个事件A，B，有P(A-B)= P(A)- P(AB).特别地，若事件BCA，则P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)：（4）加法公式：对任意两个事件A，B，有

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 9 - *知识框架 *讲授新课 一、概率的公理化定义 定义 在一个随机试验中，用来表示任一个随机事件 A 发生的可能性大小的实数 称为事件 A 的概率，记为 P A( ),其中 P A( ) 需满足下面三个公理 （1）非负性公理：对任一事件 A ，都有 P A( ) 0  ； （2）规范性公理：必然事件的概率 P( ) 1  = ； （3）可加性公理：对任意可数个两两互不相容的事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P A P A   = = =  . 二、概率的性质 （1）不可能事件与必然事件的概率： P( ) 0  = ， P( ) 1  = ． （2）有限可加性：若事件 1 2 , , , A A A n 两两互不相容，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = =  ． （3）减法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ． 特别地，若事件 B A  ，则 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ，且 P B P A ( ) ( )  ． （4）加法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 概率：随机事件的发 生具有偶然性，但随机 事件发生的可能性有 大小之别． 随机事件发生可能 性大小的度量称为该 事件的概率，也就是说 随机事件 A 发生的可 能性的大小就是事件 A 的 概 率 ， 记之 为 P A( ) ． 基本假设 Ⅰ. P( ) 0  = Ⅱ. 0 ( ) 1   P A 柯尔莫哥洛夫 概率的性质 Ⅰ. P( ) 0  = ；Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.减法公式； Ⅳ.加法公式 Ⅴ.对立事件的概率 概率的公理化定义 Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加性 概率 三种计算方法 频率方法： 频率= A n n 概率=频率的稳定值 古典方法： Ⅰ.随机试验中只有有限个可能的结果； Ⅱ.每个结果出现的可能性相同，也简称为“等可能”； Ⅲ.样本空间有 n 个结果， A 包含 m 个结果， ( ) m P A n = ． 典型问题：抽样、样本放入容器、随机取数 几何方法：一维线段的长度； 二维区域的面积； 三维立体的体积

概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，若AB=Φ，则P(AUB)=P(A)+P(B)推广到三个事件，有P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) .(5）对立事件的概率：对任意事件A，有P(A)≤1，且P(A)=1-P(A).例1设事件A,B互不相容，且P(A)=P,P(B)=q，求P(AB)，P(AUB),P(AB),P(AUB),P(A-B).对性质(3)、(5)给出证三、概率的三种计算方法明答案1.频率方法P(AB)=0如果在n次重复试验中，事件A发生了n,次，称"4为事件A在n次试验中发生P(AUB)=p+q的频率，P(A B)=1-p-qP(AU B)=1-p频率的特点：随试验结果的变化而变化，具有随机波动性，当试验次数n逐渐增大时，频率波动的幅度会越来越小，并逐渐向某个常数P靠近，且逐渐稳定在这个常P(A-B)=p.数p上，称p为频率的稳定值.用频率的稳定值来定义概率，并称之为概率的统计定义把用频率去获得概率近似值的方法称为概率的频率计算方法2.古典方法古典概型曾经是概率论发展早期的主要研究对象，是一种最简单、最直观的概率注意模型.试验不能无限次地重①古典概型的定义复，获得频率的稳定值若随机试验E满足下面两个条件：很难.把大量试验中得（1）样本空间包含有限个样本点，即Q={0,02"の）；到的频率作为概率的近似值（2）各基本事件(0),の)（）发生的概率相同.（3）样本空间中共有n个结果，事件A中包含了m个结果，则事件A发生的概率P(4)=㎡=4中包含的样本点的个数nQ中包含的样本点的个数称这类随机试验为古典概型或等可能概型②计算古典概型的预备知识(1)加法原理若做某件事情有k类方法，第i类方法有m.种方法，i=1.2，.*.k，则做这件事情共有m+m+..+m种方法-10-

概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 10 - P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) ． 特别地，若 AB = ，则 P(A B) = P(A) + P(B) ． 推广到三个事件，有 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + ． （5）对立事件的概率：对任意事件 A ，有 P A( ) 1  ，且 P(A) = 1− P(A) ． 例 1 设事件 AB, 互不相容，且 P A p P B q ( ) , ( ) = = ，求 P AB ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) − ． 三、概率的三种计算方法 1.频率方法 如果在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 A n 次，称 A n n 为事件 A 在 n 次试验中发生 的频率． 频率的特点：随试验结果的变化而变化，具有随机波动性，当试验次数 n 逐渐增 大时，频率波动的幅度会越来越小，并逐渐向某个常数 p 靠近，且逐渐稳定在这个常 数 p 上，称 p 为频率的稳定值． 用频率的稳定值来定义概率，并称之为概率的统计定义． 把用频率去获得概率近似值的方法称为概率的频率计算方法． 2.古典方法 古典概型曾经是概率论发展早期的主要研究对象，是一种最简单、最直观的概率 模型． ①古典概型的定义 若随机试验 E 满足下面两个条件: （1）样本空间包含有限个样本点，即 1 2 { , , , }  =   n ； （2）各基本事件 1 2 { },{ }, { }   n 发生的概率相同． （3）样本空间中共有 n 个结果，事件 A 中包含了 m 个结果，则事件 A 发生的概 率 ( ) m A P A n = =  中包含的样本点的个数 中包含的样本点的个数 ． 称这类随机试验为古典概型或等可能概型． ②计算古典概型的预备知识 (1)加法原理 若做某件事情有 k 类方法，第 i 类方法有 mi 种方法， i = 1,2, ， k ，则做这件事情共有 m m m 1 2 + + + k 种方法． 对性质(3)、(5)给出证 明 答案 P AB ( ) 0 = P A B p q ( ) = + P A B p q ( ) 1 = − − P A B p ( ) 1 = − P A B p ( ) − = ． 注意 试验不能无限次地重 复，获得频率的稳定值 很难．把大量试验中得 到的频率作为概率的 近似值．