沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第3章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其联合分布

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一、二维随机变量 二、联合分布函数 三、边缘分布函数 四、小结 §3.1 二维随机变量及其分布函数 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入几个重要的离散型随机变量分布离散型随机变量两点分布X~(0-1)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p随机变量的可能取值为有限二项分布 X ~ B(n,p) P(X = k)=C,p*q"-k个或无限可列个k=0,1,2,...,n①知道可能取值：24泊松分布 X～P()P(X=k)~-e-a,k=0,1,2...②知道可能取值的概率K几何分布 X ~ G(p) P(X = k)=(1-p)*- p, k =1,2,一维随机变量几个重要的连续型随机变量分布V0E2,0-X(O)样本点的函数a0f(x)=0,x<o连续型随机变量(x-μ))1X可以取某个区间[a,b]或2g2f(x) =正态分布X～N(μ,2)C(一80,+8)的一切值12元g

*复习引入 一维随机变量   →    , ( ) X 样本点的函数 连续型随机变量 X 可以取某个区间[a,b]或 (−,+) 的一切值． 离散型随机变量 随机变量的可能取值为有限 个或无限可列个 ○1 知道可能取值； ○2 知道可能取值的概率． 几个重要的离散型随机变量分布 两点分布 X ~ (0 1) − P X p P X p { 1} , ( 0) 1 = = = = − 二项分布 X B n p ~ ( , ) { } , k k n k P X k C p q n − = = k n = 0,1,2, , 泊松分布 X P ~ ( )  { } , ! k P X k e k  − =  k = 0,1,2, 几何分布 X G p ~ ( ) 1 { } (1 ) , k P X k p p − = = − k =1,2, 几个重要的连续型随机变量分布 均匀分布 X U a b ~ ( , ) 1 , , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其它. 指数分布 X E ~ ( )    0 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x   −   =    正态分布 2 X N~ ( , )   2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e     − − =

*知识框架边缘分布律离散型随机变量P(X = x,) = P(X = x, Y<+0) = Zp, = p.(X,Y）可能的取值为有限对j=1或无限可列多对实数P(Y =y)= P(X<+00, Y = y)-Zp,= p.,-联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,≤y)=p,二维随机变量（X,Y）X,sxy,syX和Y是定义在Q上的随机变量边缘概率密度fx(x)=+f(x,y)dy,f,(y)=[f(x,y)dx(x,y)G连续型随机变量二维均匀分布f(x,y)=} SGF(x, y) = [ f(u, v)dudy10,(x,y)@G二维正态分布(X,Y) ~ N(u,H2;07,02;p)

*知识框架 二维随机变量( , ) X Y X 和Y 是定义在 上的 随机变量 连续型随机变量 ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − =   , 离散型随机变量 ( , ) X Y 可能的取值为有限对 或无限可列多对实数 边缘分布律     1 i i ij i j P X x P X x Y p p • + = = = =  + = = ,      1 i i ij j i P Y y P X Y y p p• + = = =  + = = = ,  联合分布函数为 ( , ) ,     =   =   i j ij x x y y F x y P X x Y y p 边缘概率密度 ( ) ( , ) , ( ) ( , ) X Y f x f x y dy f y f x y dx + + − − = =   二维均匀分布 1 , ( , ) ( , ) 0, ( , ) G x y G f x y S x y G    =     二维正态分布 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , ; , ; ) X Y N     

（1）F(x）是自变量单调不减函数(2) 0≤F(x)≤1,F(-o)= lim F(x)= 0,一维随机变量分布函数F(+oo)= lim F(x)=1.x为任意实数，函数F(x)=P(X≤x)（3）F(x+O)=F(x)，右连续的(4) P(a(+00,+00二维随机变量联合分布函数(2）单调性F(x,y)关于变量x或y均是单调不减函数，即对任意固F(x,y)=P(X≤x, Y≤y)定的y，当x>x,时，有F(x,y)≥F(x,y)：对任意固定的x，当yi>y2时,有 F(x,J)≥F(x,y2).（3）右连续性EF(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+O)=F(x,y)(4)对任意的(,),(,)，X2,<2，有P(x <x≤x2,Ji<y≤y2)= F(x2,y2)- F(x2,y)- F(x, y2)+ F(x,y)≥0

二维随机变量联合分布函数 F x y P X x Y y ( ) { } , , =   （1）有界性 0 ( ) 1   F x y, ，且有 ( ) lim ( ) 0 x F y F x y →− − = = , , ( ) lim ( ) 0 y F x F x y →− ，−  = = , ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 0 x y F F x y → − − − −  = = ， , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 1 x y F F x y → + + + +  = = ， , ． （2）单调性 F x y ( ) , 关于变量 x 或 y 均是单调不减函数，即对任意固 定 的 y ， 当 1 2 x x  时，有 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , ,  ；对任意固定的 x ， 当 1 2 y y  时，有 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , ,  ． （3）右连续性 F x y F x y ( 0 ) ( ) + = , , ， F x y F x y ( 0) ( ) , , + = ． （4）对任意的 1 1 2 2 ( ),( ) x y x y , , ， 1 2 1 2 x  x , y  y ，有 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 P x x x y y y F x y F x y F x y F x y     = − − +  , , , , ． 一维随机变量分布函数 x 为任意实数，函数 F x P X x ( ) { } =  （1） F(x)是自变量单调不减函数 （2） 0 ( ) 1   F x ， ( ) lim ( ) 0, x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = . （3） F(x + 0) = F(x) ，右连续的. （4） P a X b F b F a { } ( ) ( )   = − P a X b F b F a P X a { } ( ) ( ) { }   = − + =

一、二维随机变量客观世界中有许多随机现象的结果只用一个随机变量来描述是不够的，而要涉及到多个随机变量例如，炮弹弹着点的位置需要由两个随机变量：横坐标和纵坐标共同确定；运行的人造卫星在空间中的位置，则需要三个随机变量：横坐标、纵坐标和竖坐标共同确定；再如，经济学中探讨家庭支出时，需要考虑家庭的衣、食、住、行的支出，则需要四个随机变量来描述

一、二维随机变量 客观世界中有许多随机现象的结果只用一个随机 变量来描述是不够的，而要涉及到多个随机变量． 例如，炮弹弹着点的位置需要由两个随机变量： 横坐标和纵坐标共同确定； 运行的人造卫星在空间中的位置，则需要三个随 机变量：横坐标、纵坐标和竖坐标共同确定； 再如，经济学中探讨家庭支出时，需要考虑家庭 的衣、食、住、行的支出，则需要四个随机变量来 描述

一、二维随机变量1.定义设 E是一个随机试验,它的样本空间是=({の);设 X=X(の)和Y=Y(の)是定义在Q上的随机变量由它们构成的一个向量（X,Y）,叫作二维随机向量或二维随机变量+.X(の)图示.Q2Y(O沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

图示 • •Y( )   •X( )  , { }, ( ) ( ) , ( , ), . E X X Y Y X Y     = = =  设 是一个随机试验 它的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量 或二维随机变量 一、二维随机变量 1.定义

实例1炮弹的弹着点的位置（X,Y）就是一个二维随机变量。实例2考香查某一地区学前儿童的发育情况，则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量（H,W)说明二维随机变量（X,Y）的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系沈阳师范大学ShenYang Noemal Univer

实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明

二、联合分布函数1.分布函数的定义(P56-定义2)设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,J,称二元函数F(x, y) = P((X≤x)n(Y ≤y))= P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数或联合分布函数沈阳师范大学ShenYang Noemal Univer

1.分布函数的定义 (P56-定义2) ( , ) , , , ( , ) {( ) ( )} { , } ( , ) , . X Y x y F x y P X x Y y P X x Y y X Y =   =   设 是二维随机变量 对于任意 实数 称二元函数 为二维随机变量 的分布函数 或联合分布函数 二、联合分布函数

F(x,J)的函数值就是随机点落在如图所示区域内的概率。(x,y)X≤x,Y≤y0X沈阳师范大学ShentangNiomal Univesth

o x y (x, y) • X  x,Y  y . ( , ) 域内的概率 F x y 的函数值就是随机点落在如图所示区

2.分布函数的性质(P57-基本性质(1)-(4))(1）单调性 F(x,y)是变量 x 和 y的单调不减函数固定 y,当x, >x,时 F(x2,)≥F(xi,y);固定x,当 y, >y 时F(x,y2)≥F(x,yi)（2）有界性0≤ F(x,y)≤1,F(-o0, y)= lim F(x,y) = 0y(x,y)x>-0F(x,-oo) = lim F(x,y)= 0,V→-80X≤x,Y≤yF(-o0,-o0) = lim F(x,y) = 0,x-8文0y--8F(+oo,+o) = lim F(x, y) =1.x→+00y-→+00沈阳师范大学ShentangNormal Um

2. 分布函数的性质 (P57-基本性质(1)-(4)) 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ). F x y x y y x x F x y F x y x y y F x y F x y     是变量 和 的单调不减函数. 固定 当 （1） 时 ； 固定 当 时 单调性 0 ( , ) 1, ( , ) lim ( , ) 0, ( , ) lim ( , ) 0, ( , ) lim ( , ) 0, ( , ) lim ( , ) 1. x y x y x y F x y F y F x y F x F x y F F x y F F x y →− →− →− →− →+ →+   − = = − = = − − = = + + = = （2）有界性 o x y (x, y) • X  x,Y  y