沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第4章 数字特征 4.2 方差

删除标识福昕编辑器第二节方差干编辑器随机变量方差的概念二、随机变量方差的性质富PDF编辑器福昕PDF编辑器三、切比雪夫不等式四、小结福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器

一、随机变量方差的概念 四、小结 第二节 方 差 二、随机变量方差的性质 三、切比雪夫不等式 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入·数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值·方差：随机变量的取值偏离其中心的情况，即稳定性的好坏沈阳师范大学ShenfangNomal Univet

*复习引入 • 数学期望：对随机变量取值水平的综合评 价，加权平均值. • 方 差：随机变量的取值偏离其中心的 情况，即稳定性的好坏

*知识框架方差D(X)=E)[X- E(X))D(X)= E(X)-[E(X)]离散型随机变量连续型随机变量定D(X)= [[x-E(X)}’ f(x)dx一维: D(X)=[x-E(X)}° pk义k=l性质1) D(c)= 0 ; 2) D(cX)= cD(X):3) X，Y相互独立= D(X±Y)=D(X)+D(Y):4) X,X2,..,X,相互独立= D(ZC,X,)=ZCD(X,).i=li=15)D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1沈阳师范大学ShenYang Normal Un

*知识框架 方 差 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 离散型随机变量 连续型随机变量 定 义 一维： D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x D X( ) =  + − [x − E(X )] f (x)dx 2 性 质 1） D(c) = 0 ；2） ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3） X ，Y 相互独立 D X Y D X D Y ( ) ( ) ( )  = + ； 4） X X Xn , , , 1 2  相互独立   = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5） D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = =

一、随机变量方差的概念1.方差概念的引入实例从甲、乙两家手表厂生产的手表中各随机抽取100只测其日走时误差,数据如下：（单位：秒）甲厂手表日走时误差X01030-30-103510103510百分比(%)乙厂手表日走时误差X01030-30-1055156015百分比(%)试问哪一家工厂生产的手表质量好一些？洗阳师范大学ShenYangNiomal Unsi

1. 方差概念的引入 实例 从甲、乙两家手表厂生产的手表中各随机抽 取100只测其日走时误差,数据如下: (单位:秒) 一、随机变量方差的概念 甲厂手表日走时误差X 百分比 (%) − 30 −10 0 10 30 35 10 10 10 35 乙厂手表日走时误差X 百分比 (%) − 30 −10 0 10 30 5 15 60 15 5 试问哪一家工厂生产的手表质量好一些？

显然,E(X)=E(Y)=0即甲、乙两厂生产的手表平均日走时误差均为0，我们必须寻找新的数量指标（数字特征）来比较从直观上看，乙厂生产的手表质量好一些，这是因为Y的取值更集中在它的均值E(Y)=0附近，所以质量比较稳定。上述例子提示我们，需要定义一个新的数量指标来度量随机变量X和它的均值E(X)之间的离散程度（偏离程度）：方差的概念由此产生。沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

显然， E X E Y ( ) = = ( ) 0 即甲、乙两厂生产的手表平均日走时误差均为0， 我们必须寻找新的数量指标（数字特征）来比较. 从直观上看，乙厂生产的手表质量好一些，这是 因为Y 的取值更集中在它的均值 附近，所 以质量比较稳定． E Y( ) = 0 上述例子提示我们，需要定义一个新的数量指标 来度量随机变量X和它的均值 之间的离散程度 （偏离程度）．方差的概念由此产生． E X( )

2.方差的定义设X是一个随机变量,若存在则称 E(X-E(X))"为X的方差,记为 D(X),即D(X)= E(X - E(X) .称/D(X)为标准差或均方差,记为α(X)沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

( ) ( ) 2 2 , , ( ) , ( ) , ( ) ( ) . ( ) , ( ). X E X E X X D X D X E X E X D X σ X − = − 设 是一个随机变量 若存在 则称 为 的方差 记为 即 称 为标准差或均方差 记为 2. 方差的定义

注1.符号D(X)，可以简记为DX2.标准差/D(X)与X具有相同的计量单位在实际应用中经常使用3．方差刻画了随机变量的取值与其数学期望的平均偏离程度。方差越大，则随机变量的取值越分散，稳定性越差；方差越小，则随机变量的取值越集中在均值附近稳定性越好.4.方差D(X)实际上是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)的期望.沈阳师范大学ShenYang NormalUnive

注 1．符号D X DX ( )，可以简记为 ． 2 标 D X X ( ) 计 单 实际应 经 ． 准差 与 具有相同的 量 位， 在 用中 常使用． 3 画 随 变 数学 则随 变 稳 则随 变 稳 ．方差刻 了 机 量的取值与其 期望的平均 偏离程度． 方差越大， 机 量的取值越分散， 定性越差； 方差越小， 机 量的取值越集中在均值附近， 定性越好． 2 ( ) ( ) [ ( ) 4 ] D X X g X X E X = − 实际 随 变 数 ．方差 上是 机 量 的函 的期望．

4.随机变量方差的计算(1）利用定义计算离散型随机变量的方差+8D(X)=Z[x - E(X))'pk:k=1其中 P[X = x}= Pk,k=1,2,是 X的分布律连续型随机变量的方差+8D(X)=[x-E(X)} f(x)dx,0其中 f(x)为X的概率密度沈阳师范大学ShentangNomal Universt

离散型随机变量的方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k k D X  x E X p + = = − 连续型随机变量的方差 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x  + − = − 4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. 其中 P{X x } p , k 1,2, 是 X 的分布律. = k = k = 

(2）利用公式计算DX = EX? -(EX)证明DX = E(X - EX)= E(X? -2XEX +(EX))= E(X)-2E(X)E(X)+(EX)= E(X)-(EX)沈阳师范大学ShenYangNomal Univen

( ) 2 2 DX EX EX = − . 证明 ( ) 2 DX E X EX = − ( ( ) ) 2 2 = − + E X XEX EX 2 ( ) 2 2 = − + E X E X E X EX ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 = − E X EX ( ) (2) 利用公式计算

1.两点分布例1已知随机变量X的分布律为X01-ppp则有E(X)=1·p+0.(1-p)=p;DX = EX? -(EX)2= 12 . p+ 02 . (1- p) - p= p(1-p)沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

1. 两点分布 E X p p ( ) 1 0 (1 ) =  +  − X p 1 0 p 1 − p 例1 已知随机变量 X 的分布律为 则有 = p, 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 2 = 1  p + 0 (1− p) − p p = p(1-p)