沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第5章 大数定律与中心极限定理 5.2 中心极限定理

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第5.2节 中心极限定理 一、问题的引入 二、中心极限定理 三、例题分析 四、小结 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

一、问题的引入·例如对某物的长度进行测量，在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响，使测量产生误差X;测量者观察时视线所产生的误差X：测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X；显然这些误差是微小的、随机的，而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即ZX,沈阳师范大学ShenYangNiomalUnive

• 例如对某物的长度进行测量, 在测量时有许 多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等 因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1 ; 测量者观察时视线所产生的误差X2 ; 测量者心 理和生理上的变化产生的测量误差X3 ; .显然 这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi . 一、问题的引入

很一般地，在研究许多随机因素产生的总影响时多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题.而通常这种和的项数都很大.因此，需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列：Zx,n = 1,2,....i=1·我们关心的是当n一→o时，随机变量和>X的极限分布是什么？由于直接研究>X,的极限分布不方便，故先将其标准化为≥x,- ElZXi=l=7Y>Xi=l再来研究随机变量序列Y，的极限分布沈阳师范大学ShenYang Normal Unsive

• 一般地, 在研究许多随机因素产生的总影响时, 很 多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布 问题, 而通常这种和的项数都很大. 因此, 需要构造 一个项数越来越多的随机变量和的序列: , 1,2,. 1  = = X n n i i • 我们关心的是当n→∞时, 随机变量和∑Xi的极限分 布是什么? 由于直接研究∑Xi的极限分布不方便, 故 先将其标准化为:             − =    = = = n i i n i i n i i n D X X E X Y 1 1 1 再来研究随机变量序列{Yn }的极限分布

定理林德伯格-列维中心极限定理(Lindberg-levi)「独立同分布的中心极限定理】棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理定理二(De Moivre-Laplace)【二项分布以正态分布为极限分布】沈阳ShenYang Normal Univenst

定 理 一 林德伯格-列维中心极限定理 [ 独立同分布的中心极限定理 ] 定 理 二 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ] (Lindberg-levi) (De Moivre-Laplace)

中心极限定理1、林德伯格-列维（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X,X2,,X,.相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(X,)=μ，D(X)=2>0(k=1,2,)，则随机变量之和的1ZX,-EZZx,-nμXkk=l标准化变量 Y,= k=17ngZDXk=l沈阳师范大学ShenYang Noemal Univen

二. 中心极限定理 （独立同分布的中心极限定理） 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服 从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2    =  = = D X k E X X X X k k n               − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1   n X n n k k − = =1 1、林德伯格-列维

的分布函数F.(x）对于任意x满足Zxx-nμk=1lim F,(x) = lim P≤xn->8nNng2 dt = @Φ(x)12元上述定理表明：当n→8o,随机变量序列Y,的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数沈阳师范大学ShentangNomal Univesth

               − = = → → x n X n F x P F x x n k k n n n n   1 lim ( ) lim 的分布函数 ( ) 对于任意 满足 上述定理表明: . , 标准正态分布的分布函数 当 n →  随机变量序列Yn 的分布函数收敛于 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2 

上述定理意义：只要{X，}独立同分布,期望和方差存在,不管原来的分布rZX是什么,只要n充分大,就可以用正态分布去逼近i=l上述定理表明：ZX,-nμk=1~ N(0,1)VnoZX, ~ N(nu,no?k=1沈阳师范大学ShentangNiomal Univesth

上述定理意义:   1 , , , , n n i i X n X =  只要 独立同分布 期望和方差存在 不管原来的分布 是什么 只要 充分大 就可以用正态分布去逼近 ~ (0,1) 1 N n X n n k k   −  = 上述定理表明： ( ) 2 1 X ~ N n,n n k  k =

例1用机器包装白糖，每袋重量为随机变量，期望值为100g，标准差为10g.一箱内装100袋白糖求一箱白糖质量大于10200g的概率解设x,表示第i袋白糖的重量，i=12；则一箱白糖的重量X=乙X，其中X相互独立，且EX, = 100, DX, = 102 =100100100，DX =D>X,=100DX, =10000EX = EX, =100EX, = 10000,i=li=1由林德伯格-列维中心极限定理可知：X~N(10000,10000)P(X >10200} =1- P(X ≤10200)200X-10000=1-P~ 1-Φ(2)= 1-0.9772 = 0.02281100100沈阳师范大学SnenYangNormalUr

例1 用机器包装白糖，每袋重量为随机变量, 期 望值为100g, 标准差为10g.一箱内装100袋白糖, 求一箱白糖质量大于10200g的概率. 解 设Xi表示第i袋白糖的重量，i =1, 2, ,100 . 则一箱白糖的重量X 100 1 i i X = =  ，其中Xi相互独立，且 100 100 1 1 100 10000, 100 10000. i i i i i i EX E X EX DX D X DX = = = = = = = =   由林德伯格-列维中心极限定理可知： (10000,10000) a X N P X P X { 10200} 1 { 10200}  = −  10000 200 1 1 (2) 1 0.9772 0.0228. 100 100 X P   − = −   −  = − =     2 100 , 10 100 EX DX i i = = =

练习：将一颗般子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解设X,为第i次掷出的点数，1,2,...,100,则Xj...,Xio0独立同分布35,D(X)= E(X2)-[E(X)E(X)==,122由林德伯格-列维中心极限定理可知：7500-100x1002= 1 -Φ(8.78) ~ 0P(ZX, ≥500) ~1 -Φ35i=110.12沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsi

练习： 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少 于500的概率是多少？ 解 设Xi为第i 次掷出的点数, i=1,2,.,100, 则 X1 ,., X100独立同分布.   12 35 , ( ) ( ) ( ) 2 7 ( ) 2 2 E Xi = D Xi = E Xi − E Xi =             −     −  = 12 35 10 2 7 500 100 { 500} 1 100 i 1 P Xi =1−(8.78)  0 由林德伯格-列维中心极限定理可知：

2棣莫佛一拉普拉斯中心极限定理二项分布的正态近似设 X~ B(n,P) (O<p<1)的,则对于任意x,恒有X-np-e 2 dt = Φ(x).lim P≤xn00Vnp(1- p)上述定理表明：正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率沈阳师范大学ShenYang Noemal Univen

( ) 2 2 ~ , (0 1) , , 1 lim e d ( ). (1 ) 2π t x n X B n p p x X np P x t x np p − →  −       −    = =    −    设 的 则 对于任意 恒有 2. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理 二项分布的正态近似 上述定理表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率