沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第7章 参数估计 7.1 点估计

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第一节 点估计 一、点估计的问题提法 二、估计量的求法 三、极大似然估计 四、小结 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*知识框架点估计：总体X的分布函数形式已知，但其中包含一个或多个未知参数，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值矩估计：用样本矩估计相极大似然估计：似然函数L（）的大小表示该样本值出现的可能应的总体矩，用样本矩的性大小：根据极大似然估计的基本思想，既然事件函数估计相应的总体矩(X,=X,X,=x2，",X，=x,)已经发生，它发生的概率应是最大，的函数求出使L()达到最大的的值=(x,x2，,x）作为参数的极大似然估计，记作MLE。即L(①)=maxp(x;0)洗阳师范大学ShentangNomal Universth

*知识框架 点估计：总体 X 的分布函数形式已知，但其中包含一个 或多个未知参数，借助于总体 X 的一个样本来估计总体 未知参数的值 矩估计：用样本矩估计相 应的总体矩，用样本矩的 函数估计相应的总体矩 的函数． 极大似然估计：似然函数 L( )  的大小表示该样本值出现的可能 性大小．根据极大似然估计的基本思想，既然事件 1 1 2 2 { , , , } X x X x X x = = = n n 已经发生，它发生的概率应是最大， 求出使 L( )  达到最大的 的值 1 2 ( , , , ) n   x x x   = 作为参数 的极 大似然估计，记作MLE ．即 1 ( ) max ( ; ) n i i L p x      = = 

复习：样本的统计量（样本矩）12x.1X:(1)样本平均值：ni1(2)样本方差：2Z(X,-X)S.Z(X; -X)S2nnn-li-1i-l12Xk , k = 1, 2, ....=Ak2(3)样本k阶(原点)矩：n i=1(4)样本k阶中心矩：B, - ↓Z(X, - X)*, = , 3, ..ni1

复习：样本的统计量（样本矩） 2 2 1 1 ( ) n n i i S X X n = = −  (1)样本平均值: . 1 1 = = n i Xi n X (2)样本方差: = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 (3)样本 k 阶(原点)矩: , 1, 2, . 1 1 =  =  = X k n A n i k k i (4)样本 k 阶中心矩: ( ) , 2, 3, . 1 1 =  − =  = X X k n B n i k k i

复习：总体矩μ =E(X), k= 1,2,...1.K阶原点矩2.K阶中心矩V = E([X - E(X)]"}, k = 2,3,...3.方差D(X)= E[x - E(X)'pk,k=1+8[x - E(X)' f(x)dx,D(X) =D(X)= E(X2)-[E(X)]2

( ), 1, 2, k k = = E X k {[ ( )] }, 2,3, . k  k = − = E X E X k 复习：总体矩 2.K 阶中心矩 1.K 阶原点矩 ( ) ( ) [ ( ) ] . 2 2 D X = E X − E X 3.方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k k D X  x E X p  = = − ( ) [ ( ) ] ( )d , 2 D X x E X f x x  +  − = −

*复习引入例如我们要估计某班男生的平均身高（假定身高服从正态分布N（u,0.12））从该总体选取容量为5的样本，测得高度：1.75 1.78 1.78 1.68 1.70问题：如何利用一组样本值，来推断出这个μ值？即推断出总体的期望值μ估计u为1.74，这是点估计。估计u在区间[1.70,1.78]内，这是区间估计参数估计的类型点估计 一一 估计未知参数的值区间估计一一估计未知参数的取值范围，并指出此范围包含参数真值的概率

*复习引入 ( ,0.1 ) 2 (假定身高服从正态分布 N  ) 例如 我们要估计某班男生的平均身高. 1.75 1.78 1.78 1.68 1.70 从该总体选取容量为5的样本，测得高度： 问题：如何利用一组样本值，来推断出这个值？ 即推断出总体的期望值. 估计  为1.74，这是点估计. 估计  在区间[1.70, 1.78]内，这是区间估计. 参数估计的类型： 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计——估计未知参数的取值范围， 并指出此范围包含参数真值的概率

、点估计问题的提法?一、点估计的基本思想为待估的未知参数X,X2,,X,是X的一个样本,Xi,X2,,x,为相应的一个样本值点估计问题→构造一个适当的统计量0(X,X2,",Xn)用它的观察值 (xi,x2,,x,)来估计未知参数 .沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

一、点估计问题的提法 一、点估计的基本思想 为待估的未知参数， X1 , X2 ,  , Xn 是 X的一个样本， , , , . x1 x2  xn 为相应的一个样本值 点估计问题  ( , , , ) ˆ 构造一个适当的统计量  X1 X2  Xn ( , , , ) . ˆ 用它的观察值  x1 x2  xn 来估计未知参数 

设总体X～F(x;①）是待估的未知参数，OE随机变量统计量0(X,X2,...,Xn)数值(xi,x2,..,xn)(X,X2,,X,)称为的估计量(xi,x2,,x,)称为0的估计值.例如设总体X服从正态分布N(μ,")，其中μ,是未知u,0?参数.用什么样的统计量作为μ,的估计量7n-X-12X2X?通常取：S-nX0三-nni=1ni=1沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

设总体X ~ F(x; ) 是待估的未知参数，   ( , , , ) ˆ 统计量  X1 X2  Xn ( , , , ) ˆ 1 2 n  x x  x 随机变量 数 值 ( , , , ) . ˆ  X1 X 2  X n 称 为 的 估 计 量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  x n 称 为 的 估 计 值 例如 设总体X服从正态分布N(²)，其中²是未知 参数. 用什么样的统计量作为²的估计量 2  , ?   1 1 n i i X X n   = 通常取: = =  2 2 2 2 1 1 n n i i S X nX n   =   = = −     

二、估计量的求法由于估计量是样本的函数，是随机变量，故对不同的样本值，得到的参数值往往不同，如何求估计量是关键问题常用构造估计量的方法：（两种）矩估计法和极大似然估计法沈阳师范大学ShentangNiomal Universth

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法

1.矩法的基本思想用相应的样本矩去估计总体矩；用相应的样本矩的函数去估计总体矩的函数Q=EX总体的阶原点矩样本的阶原点矩1Xk1ni=lαt=Ak, k-1, 2,

1 矩法的基本思想 用相应的样本矩去估计总体矩 用相应的样本矩的 函数去估计总体矩的函数 总体的k阶原点矩 k =EX k   k=E(X−EX) k  = = n i k k Xi n A 1 1  k n i k Xi X n B ( ) 1 1 =  − = , 样本的k =EXk阶k 原 k 点=E矩(X−EX) k  = = n i k k Xi n A 1 1  k n i k Xi X n B ( ) 1 1 =  − = , k = Ak ˆ  k=1 2  

矩法α = A, k =1,2,...用矩法确定的估计量称为矩估计量，相应的估计值称为矩估计值，矩估计量与矩估计值统称为矩估计，简记为ME2.计算矩估计量的步骤问题：求参数，，的矩估计量(1) 计算EX,EX;EX = A = X有解出0，,(用X,X表示);(2) 令EX = A, = X2 '(3)写出,,的矩估计量,2(将X的表达式代入)

 ˆ k = Ak， k = 1,2,  矩法 用矩法确定的估计量称为矩估计量 相应的估计值称为矩 估计值 矩估计量与矩估计值统称为矩估计 简记为ME 2.计算矩估计量的步骤 . 问 题 ： 求 参 数 1 ，  2的 矩 估 计 量 (1) , ; 2 计算EX EX (2) , 解出1， 2 (用X, X 2表示)； 2 2 2 1    = = = = EX A X EX A X 令 ( ) 将X 2的表达式代入. ˆ , ˆ (3) , 写出1  2 的矩估计量1  2