沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第6章 数理统计的基本概念 6.3.2 正态总体条件下的抽样分布（去答案）

删除标识福昕编辑器86.3-2正态总体条件下的抽样分布福PDF编辑器福PDF编一、单个正态总体条件下的抽样分布福昕PDF编辑器福PDF编辑器福昕PDF编辑器1二、小结福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器

§6.3-2 正态总体条件下的 抽样分布 一、单个正态总体条件下的抽样分布 二、小结 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

1. 若X～ x(n), 则EX= ( ).2. 若X ～ x2(n), 则DX = ( ).3.设总体X～N(O,1)，X,X,，,X.是来自总体的样本．令Y =(X, + X2 +X,)? +(X4 + X, + X.)试求常数=（），使得随机变量cY服从×~分布，4.设X,X,是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个X,(i = 1,2,··,5)都服从N(0,1)则++++服从分布其自由度为（）

若 2 X n ~ ( )  ，则EX =（ ）． 若 2 X n ~ ( )  ，则DX =（ ）． 设总体 X N(0,1), 1 2 6 X X X , , , 是来自总体的样本．令 2 2 1 2 3 4 5 6 Y X X X X X X = + + + + + ( ) ( ) 试求常数c =（ ）,使得随机变量cY 服从 2  分布． 设 1 5 X X , , 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 ( 1,2, ,5) X i i = 都服从 N(0,1)． 则 22222 XXXXX 1 2 3 4 5 ++++ 服从 2  分布其自由度为（ ）． 1. 2. 3. 4

1.单个正态总体条件下的抽样分布定理一设X,X2，…,X,是来自正态总体N(u,α2）的样本,X是样本均值,则有X～N(μ,2 /n)X-μ~ N(0, 1)即 E(冈)=μ，D(冈)=，g/n沈阳师范大学ShenfangNomal Univest

1. 单个正态总体条件下的抽样分布 定理一 , , ~ ( , / ). , , , ( , ) 2 2 1 2 X X N n X X Xn N     的样本 是样本均值 则 有 设  是来自正态总体 ( ) , ( ) , 2 n E X D X  即 =  = ~ (0,1) / N n X  − 

正态总体N(u,α2）的样本均值和样本方差有以下两个重要定理定理二设X,Xz,,X,是总体N(μu,α")的样本X,S2分别是样本均值和样本方差，则有(n-1)s2(1)~ x(n-1);a(2) X与 S2 独立沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

定理二 (2) . ~ ( 1); ( 1) (1) , , , , , ( , ) , 2 2 2 2 2 2 1 2 与 独 立 分别是样本均值和样本方 差 则 有 设 是总体 的样本 X S n n S X S X X Xn N − −      . ( , ) 2 有以下两个重要定理 正态总体 N   的样本均值和样本方差

从正态总体X～N(u,α2)中抽取一个容量为16的样本,S为S本方差，则D(一)= (O洗阳师范大学ShentangNiomal Univesth

从正态总体 2 X N( , )   中抽取一个容量为 16 的样本, 2 S 为样 本方差，则 2 2 ( ) S D  = （ ）．

定理三设X,X2,,X,是总体N(u,α2)的样本，X,S2分别是样本均值和样本方差,则有X-μ ~ t(n -1).S//n(n -1)s?X-μ~ N(0,1)证明因为x(n-1)g//n且两者独立，由t分布的定义知X-μ(n-1)s2X-μS / Vn ~ t(n-1).α / /n/ Vα2(n-1)沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

~ ( 1). / , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 − − t n S n X X S X X Xn N    样本 分别是样本均值和样本方差 则有 设  是总体 的 证明 ~ (0,1), / N n X  −  因为 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   且两者独立, 由 t 分布的定义知 S n X n n S n X ( 1) / ( 1) / 2 2     − = − − − ~ t(n −1). 定理三

例1 设总体X～N(12,4),Xi,X,,X,是来自总体的样本求样本均值与总体均值之差的绝对值大于的概率解由题意得, X ~ (12. )x-12~ N(0,1)/4/5故所求概率为 P(区-12|>1)=1-P(-12≤1x-12-1=1-P/4/5V4/5V4/5= 1-@(1.12)+Φ(-1.12)= 2[1-Φ(1.12)1 = 0.2628洗阳师范大学ShenYangNoemal Unive

例 1 ( ) 1 . ~ 12,4 , , , , 1 2 5 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 的概率 设总体X N X X  X 是来自总体的样本 解   54 由题意得, X ~ N 12, ~ (0, 1 ) 4 5 12 N X − 故所求概率为 P X −12 1=1− P X −12 1   −  − = − 4 5 1 4 5 12 4 5 1 1 X P = 1 −  ( 1.12 ) +  ( − 1.12 ) = 2 1 −  ( 1 .12 )  = 0 .2628

例2 设总体X ～N(u,0.32),Xi,X2, X,是样本,X是样本均值.问样本容量n至少应取多大，才能使P([X - μ<0.1)≥ 0.95解由题意得，X～N(u,0.3 /n)X-~ N(0.1)所以0.3/ Jnx-μ0.1P([X-μ<0.1)= P0.3/~n0.3/~nVn=ΦΦ≥0.9533查表解得n=35即可沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

例 2 ( ) 2 1 2 ~ ,0.3 , , , , . , X N X X X X n n 设 总 体  是 样 本 是 样 本 均 值 问 样 本 容 量 至 少 应 取 多 大 才 能 使 解  0 .95 X N( n) 2 由题意得, ~ ,0.3 ~ (0,1 ) 0.3 N n X −  所以     − −  = n n X P X P 0.30.1 0.3 0.1     −  −   =  3 3 n n 查表解得 n = 35 即可. P X −   0.1 0.95

巩园练司X-μ服从（）分布.1.设(X,X,,.,X,)是正态总体X～N(u,α2)的一个样本,则s//nD. x°(n)B. N(O,I)C. t(n)A. t(n-1)之X,服从（）分布.2.设(X,X2,",X,)是总体X～N(u,α2)的样本,则X=ni=l92D. N(nμ,no2)A. N(u,α?)C. N(O,1)B. N(u,nX-μ服从（）分布.3.设(X,X22,X,)是正态总体X～N(u,α2）的一个样本,则a//nC. t(n)D. x(n)A. N(O,1)B. t(n - 1)(n-1)s?4.设(X,X,,,X,)是正态总体X～N(u,α2)的一个样本,则服从（）分布.9c. x(n-1)D. x(n)B. t(n)A. t(n -1)

*巩固练习 1.设( , , , ) X1 X2  Xn 是正态总体 ~ ( , ) 2 X N   的一个样本,则 S n X −  服从( )分布. A. t(n −1) B. N(0,1) C. t(n) D. ( ) 2  n 2.设( , , , ) X1 X2  Xn 是总体 ~ ( , ) 2 X N   的样本,则 = = n i Xi n X 1 1 服从( )分布. A. ( , ) 2 N   B. ( , ) 2 n N   C. N(0,1) D. ( , ) 2 N n n 3.设( , , , ) X1 X2  Xn 是正态总体 ~ ( , ) 2 X N   的一个样本,则 X n   − 服从( )分布. A. N(0,1) B. t(n −1) C. t(n) D. ( ) 2  n 4.设( , , , ) X1 X2  Xn 是正态总体 ~ ( , ) 2 X N   的一个样本,则 2 2 ( 1) n S  − 服从( )分布. A. t(n −1) B. t(n) C. 2  ( 1) n − D. 2  ( ) n

巩固练习105.设X，X,X,,,X。是来自正态总体 N(O,α2)的样本,Y2=ZX2,则10i-102XB. c. y2 ~ x?(10)A. X2 ~ x(I)~ t(10)D.F(10,1)y2Y6.设总体X～N(u,α)，EX=-1,EX=4，则X服从(分布C. N(-1,3)B. N(-1,3)A. N(-1,4)D. N(-1, 4nnnnn7.设X,X,,,X,是来自总体X～N(O,α)的样本,则服从自由度为n-1的t分布的统计量是（）VnxnXnXVnxB.D.A.C52S?sS

*巩固练习 5. 设 X , 1 2 10 X X X , , , 是来自正态总体 2 N(0, )  的样本, 10 2 2 1 1 10 i i Y X = =  ,则 （） A. 2 2 X ~ (1)  B. ~ (10) X t Y C. 2 2 Y ~ (10)  D. 2 2 ~ (10,1) X F Y 6.设总体 2 X N~ ( , )   ， 2 EX EX = − = 1, 4 , 则 X 服从()分布. A. 1 N( ,4) n − B. 1 3 N( , ) n n − C. 3 N( 1, ) n − D. 4 N( 1, ) n − 7.设 1 2 , , , X X X n 是来自总体 2 X N~ (0, )  的样本,则服从自由度为 n −1的t 分布的统计量是( ). A. 2 nX S B. nX S C. 2 nX S D. nX S