沈阳师范大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）绪论、第1章 函数、极限、连续

绪论高等数学1（上）教案授课题目绪论课次1教学目标：1.自我介绍2.课程介绍一了解高等数学概况3.课程要求4.思想教育教学重点：1.了解高等数学概况2.增强学生的使命感和目标感教学难点：对高等数学的全局把握教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法多媒体幻灯片课堂概况：开场白什么是高等数学？初等数学一一研究对象为常量，以静止的观点研究问题。高等数学一一研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。函数是高等数学课程的研究对象。在高中的学习中接触到的高等数学内容：函数、极限、导数及其课程应用。介二、高等数学的主要内容绍1.分析的基础：函数、极限、连续2．一元函数的微积分学3．微分方程4．向量代数与空间解析几何5.多元函数的微积分学6.无穷级数三、高等数学的用途及实践1.专业课学习的基本工具：2.理工类考研必考科目（大四）：3.高等数学竞赛（每年9月校赛，10月国赛）：4.数学建模（每年9月国赛）；5.创新创业训练计划项目（每年5月）课程介计算机与数学基础教学部-13

高等数学 1（上）教案 绪论 计算机与数学基础教学部 - 1 - 授课题目 绪论 课次 1 教学目标：1.自我介绍 2.课程介绍——了解高等数学概况 3.课程要求 4.思想教育 教学重点：1．了解高等数学概况 2．增强学生的使命感和目标感 教学难点：对高等数学的全局把握 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法 多媒体幻灯片 课堂概况： 开 场 白 课 程 介 绍 课 程 介 一、什么是高等数学？ 初等数学——研究对象为常量，以静止的观点研究问题。 高等数学——研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。 函数是高等数学课程的研究对象。在高中的学习中接触到的高等数学内容：函数、极限、导数及其 应用。 二、高等数学的主要内容 1．分析的基础：函数、极限、连续 2．一元函数的微积分学 3．微分方程 4．向量代数与空间解析几何 5．多元函数的微积分学 6．无穷级数 三、高等数学的用途及实践 1.专业课学习的基本工具； 2.理工类考研必考科目（大四）； 3.高等数学竞赛（每年 9 月校赛，10 月国赛）； 4.数学建模（每年 9 月国赛）； 5.创新创业训练计划项目（每年 5 月）

绪论高等数学1（上）教案绍平面几何17世纪主体立体几何一元函数微积分中诞生条件17世纪小解析几何18世妃发展多元函数微积分二者 结合课程械概围微学教学课微分方程积无穷级数初等代数分419世纪基础和17世纪任意曲线切线起源问题函数、极限、连续数字符号化不规则形面积......向量代数与多元预备知识算术空间解析几何四、考核与评价方法闭卷笔试总成绩=平时成绩（30%）+闭卷笔试成绩（70%）平时成绩100分=课堂表现30分+作业30分+单元测试40分1.网络课程：http://210.30.208.205/；2.课前预习老师在网络教学平台上提供的自主学习资料；学3.课后完成作业每周交一次作业，在三次课中哪次课交自选，作业要求干净整洁；习4.课上与老师交流自主学习中遇到的问题；经验5.单元测试在网络教学平台进行；6.建立讨论群，成立学习小组。教学反思授课题目课次S1.1函数的概念与性质教学目标：1.理解函数的概念2.掌握函数的四种性态教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：邻域的概念教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法多媒体幻灯片计算机与数学基础教学部- 2 -

高等数学 1（上）教案 绪论 - 2 - 计算机与数学基础教学部 绍 17 世纪 课 二者 结合 程 梗 概 图 平面几何 立体几何 多元预备知识 19 世纪 基础 18 世纪 发展 17 世纪 主体 起源问题 诞生条件 中 、 小 学 数 学 课 程 微 积 初等代数 分 算术 17 世纪 数字 符号化 解析几何 任意曲线切线 不规则形面积 . 多元函数微积分 微分方程 无穷级数 一元函数微积分 函数、极限、连续 向量代数与 空间解析几何 四、考核与评价方法 闭卷笔试 总成绩=平时成绩（30%）+闭卷笔试成绩（70%） 平时成绩 100 分=课堂表现 30 分+作业 30 分+单元测试 40 分 学 习 经 验 1.网络课程：http://210.30.208.205/； 2.课前预习老师在网络教学平台上提供的自主学习资料； 3.课后完成作业每周交一次作业，在三次课中哪次课交自选，作业要求干净整洁； 4.课上与老师交流自主学习中遇到的问题； 5.单元测试在网络教学平台进行； 6.建立讨论群，成立学习小组。 教 学 反 思 授课题目 §1.1 函数的概念与性质 课次 1 教学目标：1.理解函数的概念 2.掌握函数的四种性态 教学重点：函数的概念，函数的各种性态 教学难点：邻域的概念 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法 多媒体幻灯片

第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点？疑点）教学方式与策略区间和邻域函数定义在实数集1.有限区间上，实数集合的表示方法。设Va,beR，aa);(-00,b]=(xx≤b):(-00, +) = (x|-00 0，数集(xx-α<8)称为点α的习引邻域，记作U(a,)，点α叫做这邻域的中心，S叫做这邻域的半径，有入U(a,8)=(x|a-8<x<a+8)所以U(a,)就是开区间(a-8,a+).(2）在U(a,)中去掉中心a后得到的数集(x0<x-a<8),称为点a的去心邻域，记作(a,),有(a,)=(α-,a)(a,a+)所以U(a,8)就是两个开区间的并集。为了方便，有时把开区间（α-,α）称为点α的左邻域，把开区间(a,a+)称为点a的右邻域.U(a,0)=(x|a-<x<a+8) (a-8,a+8)a+8a-d0U(a,8)=(a-8,a)u(a,a+)计算机与数学基础教学部-3

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 计算机与数学基础教学部 - 3 - 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 区间和邻域 1．有限区间 设a,b  R ， a  b定义： (1) 开区间 (a,b) {x a  x  b} ； (2) 闭区间 [a,b]  {x a  x  b}； (3) 半开半闭区间 [a,b) {x a  x  b} ； (a,b]  {x a  x  b}； 2．无限区间 [a,) {x x  a} ； (,b) {x x  b} ； (a,) {x x  a} ； (,b] {x x  b} ； (,)  {x   x  }  R ． 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度． 3．邻域（#） （1） 设 a 与 是两个实数，且  0，数集{x x  a  } 称为点 a 的  邻域，记作U a, ，点 a 叫做这邻域的中心， 叫做这邻域的半径，有 U(a, )  {x a   x  a   } 所以U a, 就是开区间a   ,a    ． （2） 在U a,  中去掉中心 a 后得到的数集x 0  x  a    ,称为 点 a 的去心 邻域，记作U a,   ,有U a,   a  ,a  a,a    所以U a,   就是两个开区间的并集． 为了方便，有时把开区间a   ,a 称为点 a 的左 邻域，把开区间 a,a    称为点 a 的右 邻域． U(a, )  {x a   x  a   } a   ,a    a  a a  x U a,   a  ,a  a,a    函数定义在实数集 上，实数集合的表示方 法。 *1.重点讲解邻域 的概念，强调邻域是个 小的开区间。 *2.强调邻域半径  的独特身份. *3.区间和邻域的 本质：数集．

第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案a-oa+sxa例1点=3的8=0.1邻域解U(3,0.1)=(3-0.1,3+0.1)) =(2.9.3.1)、函数概念注意：(1)函数概念中的1.函数的定义f和f(x)的含义不对应法则f:DRf表示从自变量同1x到因变量y的对应y=f(x),xeD→定义域规则，而）则表示↓11与对自变量X对应的因变量自变量非空实数集函数值讲R=(>ly=f(x),xeD) →值域(2)常用小写或大写的拉丁字母2.函数定义域的求法f,g,h,.,F,G,H,和一些希腊字母例1函数f(x)=2x2+1的对应法则授.来作为表f(@)=2@2+1，则有示函数的记号，(3)函数概念反映f(1) = 2 1? ++了自变量X与因变量X新y之间的依赖关系.确f(2t +1) = 2(2t +1)2 +1定函数的两个要素是定注判断两个函数是否相同：定义域和对应法则。义域和对应求函数的定义域应注意的几点：课(1）当函数是多项式时，定义域为(-00,+o)：(2）分式函数的分母不能为零；法则．如果两个函（3）偶次根式的被开方式必须大于或等于零：数的定义域和对应法则（4）对数函数的真数必须大于零：都相同，那么这两个函数是同一函数(5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为[-1,1];（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集；分段函数的定义域是各个表达式的定义域的并集x2例2判别函数y=x与y是否为同一函数？T例3求下列函数的定义域：(1) y=Vx+2+_1x:(2) y=x?-4+arcsinx2-12计算机与数学基础教学部- 4 -

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 4 - 计算机与数学基础教学部 a  a a  x 例 1 点 0 x  3的  0.1邻域. 解 U (3,0.1)  (3 0.1,3  0.1)  (2.9,3.1) 讲 授 新 课 一、函数概念 1．函数的定义 2．函数定义域的求法 例 1 函数 2 f (x)  2x 1的对应法则 2 f ()  2 1，则有 2 2 2 1 1 (1) 2 1 1, ( ) 2( ) 1, (2 1) 2(2 1) 1 f f x x f t t          注 判断两个函数是否相同：定义域和对应法则。 求函数的定义域应注意的几点: (1) 当函数是多项式时，定义域为, ； (2) 分式函数的分母不能为零； (3) 偶次根式的被开方式必须大于或等于零； (4) 对数函数的真数必须大于零； (5) 反正弦函数与反余弦函数的定义域为1,1； (6) 如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集； 分段函数的定义域是各个表达式的定义域的并集． 例 2 判别函数 y  x 与 2 x y x  是否为同一函数？ 例 3 求下列函数的定义域： (1) 2 1 2 1 y x x     ；(2) 2 4 arcsin 2 x y  x   . 注意： (1)函数概念中的 f 和 f (x) 的含义不 同． f 表示从自变量 x 到因变量 y 的对应 规则，而 f (x) 则表示 与对自变量 x 对应的 函数值． (2)常用小写或大 写的拉丁字母 f , g,h,,F,G, H, 和一些希腊字母 ,, ,来作为表 示函数的记号． (3)函数概念反映 了自变量 x 与因变量 y 之间的依赖关系.确 定函数的两个要素是定 义域和对应 法则．如果两个函 数的定义域和对应法则 都相同，那么这两个函 数是同一函数．

第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案0≤x≤11,例4设f(x)=求函数f(x+3)的定义域-2,10y=sgnx=3o, x=0,-1, x<0定义域D,=(-0,+o)，值域R,=(-1,0,1)例9狄利克莱(Dirichlet)函数[1,x为有理数y= D(x)=[0，x为无理数定义域D,=(-00,+o0)，值域R,=(0,1)5.隐函数若函数y可由自变量x的某一个解析式表达，则称这种函数为显函数：自变量x与因变量y之间的对应法则含于一个二元方程F(x,J)=0之中，这样确定的函数y=f(x)称为隐函数2x +1隐函方程xy-2x+3y-1=0确定的隐函数y=f(x)，即y=x+3不是所有由方程确数的显化：再如由方程xy-e=0确定的隐函数y=f(x)，但y无法用x定的隐函数都能表示成的显函数形式来表达.显函数的形式。计算机与数学基础教学部-5-

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 计算机与数学基础教学部 - 5 - 讲 授 新 课 例 4 设 1, 0 1 ( ) 2, 1 2 x f x x         ，求函数 f (x  3)的定义域． 例 5 已知 3 ( 1) 2 x f e   x  ，求 f (x) 的定义域． 3．函数的表示法 函数常见的表示法一般有三种：解析法、列表法及图像法． 4．几个重要的分段函数 分段函数:定义域的不同部分用不同的解析式表示． 例 6 绝对值函数 , 0 , 0 x x y x x x        ， 定义域 ( , ) Df    ，值域 [0, ) Rf   ． 例 7 取整函数 y  x 表示不超过 x 的最大整数， 定义域 ( , ) Df    ，值域 Rf  Z ，其中 Z 表示整数集． 例 8 符号函数 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x y x x x           ， 定义域 ( , ) Df    ，值域 Rf  1,0,1 ． 例 9 狄利克莱(Dirichlet)函数 1, ( ) 0, x y D x x      为有理数 为无理数 ， 定义域 ( , ) Df    ，值域 Rf  0,1 ． 5．隐函数 若函数 y 可由自变量 x 的某一个解析式表达，则称这种函数为显函数； 自变量 x 与因变量 y 之间的对应法则含于一个二元方程 F(x, y)  0 之中，这 样确定的函数 y  f (x)称为隐函数． 方程 xy  2x  3y 1  0 确定的隐函数 y  f (x) ，即 2 1 3 x y x    ，隐函 数的显化；再如由方程 0 y xy  e  确定的隐函数 y  f (x) ，但 y 无法用 x 的显函数形式来表达． 分段函数是用几个公式 合起来表示一个函数， 而不是表示几个函数． 不是所有由方程确 定的隐函数都能表示成 显函数的形式

高等数学丨（上）教案第一章函数、极限、连续二、函数的性质函数的性质定义性质判别方法性质1VxeD,奇偶性的定义；奇奇偶性的性质；奇函数：关于原点对称，f(0)=0：偶偶函数：f(-x)=f(x);奇函数偶函数：关于y轴对称性f(x)+ f(-x)= 0性质2奇函数：f(-x)=-f(x)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇；常数函数为偶函数.a.根据定义，考察单当xf(x)号.周期f(x)为周期函数：定义域为D，T不为零，VxeD, f(x+T)= f(x) (x+TeD)性f(x)在X上有界：有无界函数可能有上界而无下界，也可能界有下界而无上界，或即无上界又无下设XcD,3M >0, VxeX,有 F(x)≤M界，函数f(x）的有界性与讨论的区间性X有关.3常数M,M,使得M,≤f(x)≤M,(VxEX),则称f(x)在X上有界，M,为下界，M,为上界练0≤x≤11设f(x)=求函数f(x+3)的定义-2. 1<x≤2习小1.函数的定义及函数的二要素一一定义域，对应规律函数的特性一一有界性，单调性，奇偶性，周期性2.结作习题1-1业教学反思课次授课题目81.2初等函数教学目标：1.理解基本初等函数的概念2.掌握6种基本初等函数的性态教学重点：6种基本初等函数的性态教学难点：反三角函数的性态计算机与数学基础教学部-6 -

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 6 - 计算机与数学基础教学部 二、函数的性质 函数的性质 定义 性质 判别方法 奇 偶 性 x  D, 偶函数: f(  x) f(x)； 奇函数: f(  x)  f(x). 性质 1 奇函数:关于原点对称, f (0)  0 ； 偶函数:关于 y 轴对称. 性质 2 奇+奇=奇；偶+偶=偶； 奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇； 常数函数为偶函数. 奇偶性的定义； 奇偶性的性质； 奇函数 f (x)  f (x)  0 单 调 性 当 1 2 x  x 时，恒有 f (x) 是 单调增加函数: 1 2 f (x )  f (x ) 单调减少函数: 1 2 f (x )  f (x ) a．根据定义,考察 1 2 f (x )  f (x ) 的符号; b. 根据导数的符 号. 周 期 性 f (x) 为周期函数：定义域为 D ， T 不为零， x D, f (x  T)  f (x)  x T  D 有 界 性 f (x) 在 X 上有界： 设 X  D, M  0, x X , 有 f (x)  M .  常数 1 2 M ,M 使得 1 2 M  f (x)  M x X  ， 则称 f (x) 在 X 上有界，M1 为下界，M2 为上界． 无界函数可能有上界而无下界，也可能 有下界而无上界，或即无上界又无下 界，函数 f (x) 的有界性与讨论的区间 X 有关． 练 习 设 1, 0 1 ( ) 2, 1 2 x f x x         ，求函数 f (x  3) 的定义 小 结 1. 函数的定义及函数的二要素——定义域，对应规律 2. 函数的特性——有界性, 单调性,奇偶性, 周期性 作 业 习题 1-1 教 学 反 思 授课题目 §1.2 初等函数 课次 2 教学目标：1.理解基本初等函数的概念 2.掌握 6 种基本初等函数的性态 教学重点：6 种基本初等函数的性态 教学难点： 反三角函数的性态

第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点？疑点）教学方式与策略在中学学习过的函数有哪些？能否归类？复1.常数函数：=C（C为常数）；2.幂函数：y=x（u是常数）：习3.指数函数：y=a(a>0,a±l)：4.对数函数：y=logax(a>0,a±1)：引5.三角函数：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx;入6.反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx，y=arctanx,y=arccotx.一、基本初等函数名图像表达式定义域简单特性称c常数图像为平行于x轴的一条直(-8,+8)y=C函线数10随μ而不讲经过(1,1)，在第一象限内，幕同，但在函y=xA当u>0时，为增函数：当(0,+)都数μ1时，增函数数新J(0,+)y=log.(1,0)，当01时，增函数数课正J弦以2元为周期的有界的奇函(-8,+8)函数y=sinx数，值域为[-1,1]元XO22些基本初等函数的定义域、值域、图像的性质.计算机与数学基础教学部 7-

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 计算机与数学基础教学部 - 7 - 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 在中学学习过的函数有哪些？能否归类？ 1．常数函数： y  C （C 为常数）； 2．幂函数： y x ( )   是常数 ； 3．指数函数： ( 0, 1) x y  a a  a  ； 4．对数函数： log ( 0, 1) a y  x a  a  ； 5．三角函数： y  sin x ， y  cos x ， y  tan x ， y  cot x ， y  sec x ， y  csc x ； 6．反三角函数： y  arcsin x, y  arccos x ， y  arctan x, y  arc cot x ． 讲 授 新 课 一、基本初等函数 一些基本初等函数的定义域、值域、图像的性质． 名 称 表达式 定义域 图像 简单特性 常 数 函 数 y  C (,) 图像为平行于 x 轴的一条直 线 幂 函 数 y x   随  而 不 同 ， 但 在 (0,) 都 有定义 经过 (1,1) ，在第一象限内， 当   0 时，为增函数；当   0时，为减函数 指 数 函 数 x y  a (,) 图像在 x 轴上方，且都经过 点 (0,1) ，当 0  a 1时， 减函数；当 a 1时，增函 数 对 数 函 数 xa y  log (0,) 图像在 y 轴右侧，都经过点 (1,0) ，当 0  a 1时，减 函数；当 a 1时，增函数 正 弦 函 数 y  sin x (,) 以 2 为周期的有界的奇函 数，值域为[-1,1]

高等数学「（上）教案第一章函数、极限、连续余以2元为周期的有界的偶函弦Ty=cosx(-8,+)函数，值域为[-1,1]数2讲正以元为周期的奇函数，在X±(2k+1)切元元y=tan x内是增函数函kez2'2数授余X+k元以元为周期的奇函数，在切y=cotx函（0.元）内是减函数kez数新元元上的y=sinx在反2 2正反函数为y=arcsinx,是y= arcsin x弦[-1,1]课单调增加函数，值域为函J元数2'2y=cosx在[O,元]上的反反y=arccosx余函数为y=arccosx，是单[-1,1]弦调减少函数，值域[0,元]17-1反单调增加函数，值域正y=arctanx元元(-8,+)切函2'2数反余y=arccoty切(-00,+00)单调减少函数，值域(0,元）函数2二、复合函数注意：复合函数的定义域为1.复合函数的定义Dp,Dp= (x|g(x)eD,)定义1设函数y=f(u)，ueD,，yeR,,2.关于概念的几点说明u=g(x),xeDueR，，如果RnD,の，则称函数(1）不是任何两个函数都可以构成一个复合函数函数y=[g(x)],xe (xlg(x)eD))J=f(u),u=g(x)可以构成为由函数y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数。其中u称为中间复合函数的条件是变量.R,nD,*0.计算机与数学基础教学部- 8 -

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 8 - 计算机与数学基础教学部 讲 授 新 课 余 弦 函 数 y  cos x (,) 以 2 为周期的有界的偶函 数，值域为[-1,1] 正 切 函 数 y  tan x k Z x k    ， π 2 (2 1) 以  为周期的奇函数，在 ( , ) 2 2 ππ 内是增函数 余 切 函 数 y  cot x x k k Z    ， 以  为周期的奇函数，在 (0, ) 内是减函数 反 正 弦 函 数 y  arcsin x [-1,1] y  sin x 在[- ] 2 2 ππ， 上的 反函数为 y  arcsin x ,是 单 调 增 加 函 数 ， 值 域 为 [ 2 2 π， π ] 反 余 弦 y  arccos x [-1,1] y  cos x 在[0, ]上的反 函数为 y  arccos x ,是单 调减少函数，值域[0, ] 反 正 切 函 数 y  arctan x (,) 单 调 增 加 函 数 ， 值 域 ) 2 2 ( π， π 反 余 切 函 数 y  arc cot x (,) 单调减少函数，值域 (0, ) 二、复合函数 1．复合函数的定义 定义 1 设函数 ( ), , f f y  f u u  D y  R ， u  g(x), g g x  D u  R ，如果 R g  Df   ，则称函数 y  f  g  x   , xx g x  D f  为由函数 y  f (u),u  g(x) 复合而成的复合函数．其中u 称为中间 变量． 注意:复合函数的定义域为 DF , DF  x g(x)Df  ． 2．关于概念的几点说明 (1）不是任何两个函数都可以 构 成 一 个 复 合 函 数 ． 函 数 y  f (u),u  g(x) 可以构成 复合函数的条件是 R g  Df   ．

高等数学1（上）教案第一章函数、极限、连续(2）函数的复合与复合的次序例 1函数 y=3rcos2-可分解成哪几个简单的函数.有关，即f[g(x)]与讲71例2已知f(x)=求f(l+f(x))x-1g[f(x)]定是同一函数例3 设(-1)=cosx，求(n).通常分段函数不是初等函X授数，如符号函数、取整函数都不三、初等函数是初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及2．关于概念的几点说明有限次的函数复合所构成的并且可用一个式子表示的函数称为初等(1)一一对应的函数才有反函数新函数.(2)函数 =(x)与其反函[2,x≤0数y=f-"(x)的定义域为、值(-1 >0: (2) y=Vx+V+/x+..例5(1)y=域地位交换可得：课不是初等函数，(3)y=f(x)的反函数有两幕指函数：(x)>0. y=[f(x)g()=es(1)n/(),个，一个以y为自变量，表达式x=f-(y)，图像与原函数图（四）反函数像重合：一个以x为自变量，表1．反函数的定义（x），图像与原函达式y=f定义2设函数y=f(x)的定义域是D,，值域是R,，如果对数图像关于直线=x对称于VyeR，都有唯一对应值xeD，满足y=f(x)，则x定义在R上以y为自变量的函数，记此函数为x=f-(y)yeR,，并称其为y=f(x)的反函数.x<0练设fx则 f-l(x)=,x≥0习小掌握基本初等函数的图形和性质结作习题1-3业教学反思课次授课题目$1.3数列的极限教学目标：1.理解数列极限的概念2.了解数列极限的性质计算机与数学基础教学部-9-

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 计算机与数学基础教学部 - 9 - 讲 授 新 课 例 1 函数 2 arccos 2 3 x y   可分解成哪几个简单的函数． 例 2 已知 1 ( ) 1 f x x   ，求 f (1 f (x)) ． 例 3 设 1 f ( 1) cos x x   ，求 f (x) ． 三、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及 有限次的函数复合所构成的并且可用一个式子表示的函数称为初等 函数． 例 5 (1) 2 , 0 1 , 0 x y x       ；(2) y  x  x  x  . 不是初等函数． 幂指函数： f (x)  0 ．   ( ) ( )ln ( ) ( ) g x g x f x y  f x  e ． （四）反函数 1．反函数的定义 定义 2 设函数 y  f (x) 的定义域是 Df ，值域是 Rf ，如果对 于 f y  R ，都有唯一对应值 f x D ，满足 y  f (x) ，则 x 定义在 Rf 上以 y 为自变量的函数，记此函数为 1 x f (y)   f y  R ，并称其为 y  f (x) 的反函数． (2) 函数的复合与复合的次序 有 关 ， 即 f g  x   与 g  f  x   不一定是同一函数． 通常分段函数不是初等函 数，如符号函数、取整函数都不 是初等函数． 2．关于概念的几点说明 (1)一一对应的函数才有反函数． (2) 函数 y  f (x) 与其反函 数 1 y f (x)   的定义域为、值 域地位交换可得； (3) y  f (x) 的反函数有两 个，一个以 y 为自变量，表达式 1 x f (y)   ，图像与原函数图 像重合；一个以 x 为自变量，表 达式 1 y f (x)   ，图像与原函 数图像关于直线 y  x 对称. 练 习 设 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x        ， 则 1 f (x) _   ． 小 结 掌握基本初等函数的图形和性质 作 业 习题 1-3 教 学 反 思 授课题目 §1.3 数列的极限 课次 3 教学目标：1.理解数列极限的概念 2.了解数列极限的性质

第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案教学重点：数列极限的定义教学难点：极限概念的理解教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法多媒体幻灯片课堂概况教学内容（注明：*重点#难点？疑点）教学方式与策略发现法：设置问题情境，1.举出3个数列的实例；复提供有助于形成概括结2.简单讨论上述实例的敛散性；习论的实例，对实例观察3.讨论例子：一尺之锤、日取其半、万世不竭引分析、缩小观察范围，4.如何用渐近的方法求圆的面积？将注意力集中在无限趋入近上。（一）数列的极限讨论法：1.数列的概念1.如何定义数列的极限？定义以自然数为自变量的函数y=f(n),当n依次取1,2,3,时所得到的一列函数值2.实例的敛散性：1111a, = f(1),az = f(2),a, = f(3),..,a, = f(n),...2482”称为无穷数列,简称数列.数列中的各个数称为数列的项，α，=f(n)称为数123列的通项。该数列通常简记为(a，)n2'34"n+1"注在几何上，数列对应着数轴上一个点列。可看作一动点在数轴上依次取aaa....讲2,4,8,...,2",.az aa3anar1, -1,1,.函数观点：数列可以看作以正整数Z+为定义域的函数α，=f(n)，当11授" (-1)"-1自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值就排列成数列2'3’(a,)，而数列的通项公式就是相应函数解析式2.数列极限的概念新定义2设数列(a,}，当n无限增大时，若a,无限接近于一个确定的问题：当n无限增大（记作n→）时通常数A，则称数列(a,以A为极限,或称数列(a,收敛于A.记作lima,=A项是否无限接近于某一课或a→A1 (n-→)确定的数值？如果是,如何确定？如果当n无限增大时，a.不能无限接近于某个确定的常数，则称当n→时数列(a,)发散或极限不存在，讨论：例1考察下面数列当n→oo时的变化趋势，写出它们的极限计算机与数学基础教学部- 10 -

高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 10 - 计算机与数学基础教学部 教学重点：数列极限的定义 教学难点：极限概念的理解 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法 多媒体幻灯片 课堂概况 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 1. 举出3个数列的实例； 2. 简单讨论上述实例的敛散性； 3. 讨论例子：一尺之锤、日取其半、万世不竭 4. 如何用渐近的方法求圆的面积？ 发现法：设置问题情境， 提供有助于形成概括结 论的实例，对实例观察 分析、缩小观察范围， 将注意力集中在无限趋 近上。 讲 授 新 课 （一）数列的极限 1．数列的概念 定义 以自然数为自变量的函数 y  f (n),当 n 依次取 1,2,3,.时所得到 的一列函数值 a1  f (1), a2  f (2), a3  f (3),, an  f (n), 称为无穷数列,简称数列．数列中的各个数称为数列的项, a f (n) n  称为数 列的通项．该数列通常简记为an ． 注 在几何上，数列对应着数轴上一个点列．可看作一动点在数轴上依 次取 1 2 , , , , n a a  a ． 1 a 2 a 3 a 4 a n a 函数观点：数列可以看作以正整数  Z 为定义域的函数 a f (n) n  ，当 自变量 n 按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值就排列成数列 { }n a ，而数列的通项公式就是相应函数解析式． 2．数列极限的概念 定义 2 设数列{ }n a , 当 n 无限增大时, 若 n a 无限接近于一个确定的 常数 A ，则称数列{ }n a 以 A 为极限,或称数列{ }n a 收敛于 A ．记作lim n n a A   或 ( ) n a A n 如果当 n 无限增大时, n a 不能无限接近于某个确定的常数，则称当 n   时数列{ }n a 发散或极限不存在． 例 1 考察下面数列当 n   时的变化趋势，写出它们的极限． 讨论法： 1.如何定义数列的极 限？ 2.实例的敛散性： 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 2  n  1 2 3 , , , , , 2 3 4 1 n n    2, 4,8, , 2 ,  n  1 1, 1,1, ,( 1) , n     1 1 1 1 1, , , ,( 1) , 2 3 n n      问题：当 n 无限增大 （记作 n   ）时,通 项是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如 何确定? 讨论：