沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第5章 大数定律与中心极限定理、第6章 数理统计的基本概念

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理第5章大数定律与中心极限定理一内容概览一、本章主要知识点：1.切比雪夫不等式。2.切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。3.林德伯格定理一列维中心极限定理，莫弗一拉普拉斯中心极限定理。二、本章教学重点1．切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律的内容和应用2.林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理的内容和应用。3正态分布在近似计算中的应用。三、本章教学难点大数定律，中心极限定理的条件和应用。四、本章知识体系图依概率收敛切比雪夫大数定律大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律大数定律与中心极限定理林德伯格一列维中心极限定理中心极限定理棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理用切比雪夫不等式估算概率概率计算用中心极限定理近似计算概率-83-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 83 - 第 5 章 大数定律与中心极限定理——内容概览 一、本章主要知识点： 1. 切比雪夫不等式。 2. 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。 3. 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理。 二、本章教学重点 1. 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律的内容和应用 2. 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的内容和应用。 3. 正态分布在近似计算中的应用。 三、本章教学难点 大数定律, 中心极限定理的条件和应用。 四、本章知识体系图 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 理 大数定律 依概率收敛 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律 中心极限定理 林德伯格－列维中心极限定理 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 概率计算 用切比雪夫不等式估算概率 用中心极限定理近似计算概率

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理85.1大数定律第19讲$5.1大数定律授课题目了解切比雪夫不等式；了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数教学目的定律。教学重点切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律教学难点切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律备注教学过程中复引入概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（JacobBermoulli，1654一1705），他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。书中首次提出了以“伯努利定理”著称的极限定理。“伯努利定理”是“大数定律”的最早形式。雅科布对大数定律的陈述与现代的标准概率著作十分一致。大数定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，成为概率论通向广泛应用领域的桥梁。泊松推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。中知框架, P(IX-EX00n台nnAlim P伯努利大数定律：n重伯努利试验，p0.有lim P(X, -α ≥s)=0(或 lim P(X, -a <6)=1)则称随机变量序列X依概率收敛于α，记作Xa注1.依概率收敛的条件比微积分中数列收敛的条件要弱，依概率收敛中，当n充分大时，事件(X，-α<s并不是对任意ε都成立，它具有某种不确定性。依概-84-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 84 - §5.1 大数定律 授课题目 §5.1 大数定律 第 19 讲 教学目的 了解切比雪夫不等式；了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数 定律。 教学重点 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 教学难点 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 教 学 过 程 备注 *复习引入 概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654－1705）， 他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。书中首次提出了以“伯努利定理”著称的极限定理。“伯努 利定理”是“大数定律”的最早形式。雅科布对大数定律的陈述与现代的标准概率著作十分一致。大数 定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，成为概率论通向广泛应用领 域的桥梁。泊松推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。 *知识框架 切比雪夫不等式： X 的期望和方差均存在,   2 DX P X EX   −   ，   2 1 DX P X EX   −   − . 切比雪夫大数定律：只要求 X n 两两不相关,并不要求它们是同分布的.使 DX c i  ， 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     伯努利大数定律： n 重伯努利试验， lim 1 A n n P p n  →     −  =   . 辛钦大数定律： 不要求随机变量序列 X n 的方差存在，但 X n 需是独立同分布的随机变量序列 EXi =  ， 1 1 lim 1 n i n i P X n   → =     −  =    . *讲授新课 一、依概率收敛 定义 1 设 1 2 , , , X X X n 是一个随机变量序列, a 为常数.若对任意   0 ,有 lim 0  n  n P X a → −   = (或 lim 1  n  n P X a → −   = ) 则称随机变量序列 X n 依概率收敛于 a ,记作 P X a n ⎯⎯→ . 注 1． 依概率收敛的条件比微积分中数列收敛的条件要弱，依概率收敛中，当 n 充 分大时，事件  X a n −   并不是对任意  都成立， 它具有某种不确定性． 依概

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理率收敛的直观意义是：当n充分大时，X，几乎总是取接近于a的值2.一般地，我们把概率接近于1的事件称为大概率事件，概率接近于0的事件称为小概率事件，大概率事件在一次试验中几乎肯定要发生，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，这一规律我们称之为实际推断原理、由(InslimP1→00InIn即"p知，当n→时，pp又可以描述为：nn个相互独立且服从0-1分布的随机变量序列X,X,*,X的算数平均值依概率收敛于它们的数学期望的算数平均值，或者说它们的算数平均值稳定在它们的数学期望的算数平均值上对于一般的随机变量序列X,X,X，（不一定相互独立，也不一定服从注切比雪夫大数定律只要求（X两两0-1分布)，它们的算数平均值在一定的条件下稳定在它们的数学期望的算数平均值不相关，并不要求它们是同分布的.如果这个常数上(X,)是独立同分布定义2设X.X，.X..是一个随机变量序列，如果的随机变量序列且方差有限，则(X,)必定挖X一旅EEX服从大数定律nn=则称X.！服从大数定律.三、几个重要的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X，X，，,X，，.·是一个两两不相关的随机切比雪夫大数定律说明：满足定理条变量序列.若每个X，的方差都存在，且有共同的上界，即存在某一常数c>0，使件的随机变量序列，-85-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 85 - 率收敛的直观意义是：当 n 充分大时， Xn 几乎总是取接近于 a 的值． 2． 一般地，我们把概率接近于 1 的事件称为大概率事件，概率接近于 0 的 事件称为小概率事件．大概率事件在一次试验中几乎肯定要发生，小概率事件在一 次试验中几乎不可能发生， 这一规律我们称之为实际推断原理． 由 lim 1 A n n P p → n     −   =   即 nA ⎯⎯→P p n 知，当 n → 时， A n p n     −     是大概率事件， 故在一次试验中 它几乎肯定要发生．这使得频率的稳定性有了严格的数学描述，也使得当试验次数 较大时，用事件的频率来代替概率的做法有了理论依据． 二、大数定律的定义 设在 n 重伯努利试验中， 1 1,2, , 0 i i A X i n i A  = =   在第 次试验中事件 发生, 在第 次试验中事件 不发生， 则 =1 =  n A i i n X ， 1 1 n A i i n X n n = =  又由 =1  = n i i EX np， 得 1 1 n i i p EX n = =  于是 nA ⎯⎯→P p n 即为 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n ． 这样 nA ⎯⎯→P p n 又可以描述为： n 个相互独立且服从 0-1 分布的随机变量序列 1 2 , , , X X Xn 的算数平均值依 概率收敛于它们的数学期望的算数平均值，或者说它们的算数平均值稳定在它们的 数学期望的算数平均值上． 对于一般的随机变量序列 X1 , X2 ,  , Xn ,  (不一定相互独立，也不一定服从 0-1 分布)， 它们的算数平均值在一定的条件下稳定在它们的数学期望的算数平均值 这个常数上． 定义 2 设 X1 , X2 ,  , Xn ,  是一个随机变量序列， 如果 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 则称 { } Xn 服从大数定律． 三、几个重要的大数定律 定理 1 (切比雪夫大数定律) 设 X1 , X2 ,  , Xn ,  是一个两两不相关的随机 变量序列.若每个 Xi 的方差都存在,且有共同的上界,即存在某一常数 c  0 ,使 . 注 切比雪夫大数定 律只要求 X n  两两 不相关,并不要求它 们是同分布的.如果 X n  是独立同分布 的随机变量序列且方 差有限,则 X n  必定 服从大数定律. 切比雪夫大数定 律说明:满足定理条 件的随机变量序列

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理我们可以用它的算术DX, ≤c (i=1,2,..)平均值作为对其期望则对任意8>0，都有平均值的一种估计1i"1n1n1nSEXlimP3x -EX X.>--nn→00ni=ni=n=证明由切比雪夫不等式得1月OXD17nlx-12Ex|>(i=lO≥670,有需是独立同分布的随(1)12x1s机变量序列.Zx,-μ00In=lnni=l试验次数n很大时，辛钦大数定律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性，就可以利用事件发生定理3（伯努利大数定律）设n是n重伯努利试验中事件A发生的次的频率来近似地代替事件的概率。数，p（00,有1xnA->-EXlimP3P00Inni=lni=贝努利大数定律是辛钦大数定律的特例，它是历史上最早的大数定律，是贝努利在1713年建立的例1若X,X,,X.…为独立同分布的随机变量序列，且(X,)的概率密度[1113,/风/≥1为 f(x)=3判断（X，）是否满足切比雪夫大数定律与辛钦大数定律的条40μ<1件.*作业习题5.1-P116—1-86-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 86 - DX c i  ( i =1,2, ) 则对任意   0 ,都有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 证明 由切比雪夫不等式得 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i D X D X n P X EX n n n = = = =                 −   =          因为 X n  两两不相关，且方差有界，故有 1 1 n n i i i i D X DX nc = =   =        ，从而有 2 1 1 1 1 0, n n i i i i c P X EX n n n n  = =      −   → → +     ，证毕． 定理 2(辛钦大数定律) 设 X1 , X2 ,  , Xn ,  是一个独立同分布的随机变量序 列.若数学期望 EX = (i = 1,2, ) i  存在, 则对任意   0 ,有 1 1 lim 1 n i n i P X n   → =     −  =    . 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 辛钦大数定律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性. 定理 3(伯努利大数定律) 设 A n 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次 数, p (0 1)   p 是事件 A 在每次试验中发生的概率.则对任意   0 ,有 lim 1 A n n P p n  →     −  =   . 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 贝努利大数定律是辛钦大数定律的特例，它是历史上最早的大数定律，是贝努 利在 1713 年建立的． 例 1 若 X1 , X2 ,  , Xn ,  为独立同分布的随机变量序列，且 { } X n 的概率密度 为 3 1 , 1 ( ) 0 , 1 x f x x x    =     判断 { } X n 是否满足切比雪夫大数定律与辛钦大数定律的条 件． 我们可以用它的算术 平均值作为对其期望 平均值的一种估计. 辛钦大数定律：不要 求随机变量序列 X n  的方差存在.但 X n  需是独立同分布的随 机变量序列. 伯努利大数定律: 当 试验次数 n 很大时， 就可以利用事件发生 的频率来近似地代替 事件的概率. *作业 习题 5.1- P116—1

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理*小猪PxEX，称(X）服从大数定律算数平均值在一定的条件下稳定于数学期望的算数平均值随机变量序列(X,)，若一大数定律In -1ni=l条件含义结论算术平均值-X,比较紧密地聚集在它的数学期望EX的附近，可1）（x两两不相关：切比雪夫大数定律n-2）DX,≤c.注：不要求同分布以作为对其期望平均值的一种估计：肯定了取平均值的合理性。n次观察的算术平均值-之x,依概率收敛于期望值，辛钦大数定1）（X，是独立同分布TEX辛钦大数定律n-2）EX=μ存在注：不要求方差存在律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性。事件A发生的频率依概率收敛于事件A的概率，以严密的数学形式论证了频率的稳定性。当试验次数n很大时，就可以利用事件发生的频率来近似伯努利大数定律n重伯努利试验地代替事件的概率，从面为估计概率提供了一种方法DXP(IX-EX|≥e)≤方差反映随机变量的取值对其分布中心EX的集中程度的数量指标.DX~E(X)D(X)存在切比雪夫不等式DX越小，随机变量X取值于开区间（EX-&.EX+E）的概率就越大P([X-EX<e)≥1--87-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 87 - *小结 大数定律 随机变量序列 { } Xn ，若 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n ，称 { } Xn 服从大数定律．算数平均值在一定的条件下稳定于数学期望的算数平均值. 条件 结论 含义 切比雪夫大数定律 1） X n 两两不相关； 2） DX c i  .注：不要求同分布 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 算术平均值 1 1 n i i X X n = =  比较紧密地聚集在它的数学期望 EX 的附近，可 以作为对其期望平均值的一种估计.肯定了取平均值的合理性。 辛钦大数定律 1） X n 是独立同分布 2） EXi =  存在注：不要求方差存在 n 次观察的算术平均值 1 1 n i i X X n = =  依概率收敛于期望值  ，辛钦大数定 律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性. 伯努利大数定律 n 重伯努利试验 事件 A 发生的频率依概率收敛于事件 A 的概率，以严密的数学形式论证了 频率的稳定性。当试验次数 n 很大时，就可以利用事件发生的频率来近似 地代替事件的概率，从而为估计概率提供了一种方法. 切比雪夫不等式 E X D X ( ), ( ) 存在.   2 DX P X EX   −     2 1 DX P X EX   −   − 方差反映随机变量的取值对其分布中心 EX 的集中程度的数量指标. DX 越小，随机变量 X 取值于开区间 ( , ) EX EX − +   的概率就越大

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理85.2中心极限定理第20讲85.2中心极限定理授课题目教学目的了解林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理教学重点林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理教学难点林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理教学过程备注中复习引入1之X，的渐进性质：17plZx,TEX大数定律讨论的是多个随机变量的平均nnni=l切比雪夫大数定律1）（X,)两两不相关2）DX,≤c.注：不要求同分布辛钦大数定律1）（X是独立同分布2）EX,=存在注：不要求方差存在n重伯努利试验伯努利大数定律本节讨论独立随机变量的和X，的极限分布一-中心极限定理i=l中心极限定理的客观背景：一个随机变量X是由大量相互独立的随机因素XX...X....的综合影响所形成，即X=X，+X，+··+X+·…，而每一个因素在总的影响中所起的作用很微小，这种随机变量X往往近似地服从正态分布中知帆框标-n1ellimP2 dt = @(x)林德伯格-列维中心极限定理VngV2元2X-np棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理2 dt = Φ(x)limP-0（i=1,2,）.则对任意实数xER，有4X-nμ71i=llimP2dt=@(x)≤xeV2元n>00Vng林德伯格-列维中心极限定理：随机变量序列(X，独立同分布，且其期望与方差(非零)都-88

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 88 - §5.2 中心极限定理 授课题目 §5.2 中心极限定理 第 20 讲 教学目的 了解林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教学重点 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教学难点 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教 学 过 程 备注 *复习引入 大数定律讨论的是多个随机变量的平均- = n i X i n 1 1 的渐进性质： 1 1 1 1 = =   ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 切比雪夫大数定律 1） X n 两两不相关 2） DX c i  .注：不要求同分布 辛钦大数定律 1） X n 是独立同分布 2） EXi =  存在注：不要求方差存在 伯努利大数定律 n 重伯努利试验 本节讨论独立随机变量的和 = n i X i 1 的极限分布——中心极限定理 中心极限定理的客观背景：一个随机变量 X 是由大量相互独立的随机因素 X1 , X2 ,  , Xn ,  的综合影 响所形成，即 X = X1 + X2 ++X n+ ，而每一个因素在总的影响中所起的作用很微小，这种随机 变量 X 往往近似地服从正态分布 *知识框架 林德伯格-列维中心极限定理 ( ) 2 1 lim 1 2 2 x e dt x n X n P x t n i i n = =                 −   − − = →    棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 ( ) 2 1 lim 2 2 x e dt x npq X np P x t n = =           − − − →  *讲授新课 中心极限定理——论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理 棣莫弗在十八世纪首先提出中心极限定理,是十八至十九世纪整整二百年间概率论研究的 中心问题,因而称为中心极限定理,其内容十分丰富. 这里只讨论其中比较特殊的情形：独立同分布的随机变量的和 = n i X i 1 的极限分布. 定理 1 (林德伯格-列维中心极限定理) 设 X1 , X2 ,  , Xn ,  为独立同分布的随机变 量序列,且 2 , 0 ( 1, 2, ) EX DX i i i = =  =   .则对任意实数 x  R ,有 ( ) 2 1 lim 1 2 2 x e dt x n X n P x t n i i n = =                 −   − − = →    . 林德伯格-列维中心极限定理: 随机变量序列 X n  独立同分布,且其期望与方差(非零)都

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理存在,之X，总是近似地服从正态分布，记作i=l"X.-nux,~ N(nμ,no")=N(0,1)Vngi=l几个结论：1) X-M:Ex,~N(nμ,ng2) 3) X=XN(u,~N(0. 1)2）an isli=lVn注nX-npX-H，有1.对于=中的每一被加项IngVng(x,-μ11DX, =D→0(n→0)ngnon即每一被加项对总和的影响都很微小，但它们选加的和却以标准正态分布为极限，nX,-nμi=l2.在满足定理的条件下，我们可以利用P≤x=(x)Vng求一些概率的近似值，例1设X(i=1,2,..50）是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为入=0.03的泊50松分布，试用中心极限定理计算P(X,>3)2解μ=g=元=0.03，n=50,nμ=0.03×50=1.5ng=/50x0.03=/1.55050X,>3(=1-PDAX≤3[台[i=](50CX,-1.53-1.53-1.5=1-P/~1-ΦV1.5Vi.5V1.5=1Φ(/1.5)=1-Φ(1.23)=1-0.8907=0.1093例2一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50kg，标准差为5kg：若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.9772？解设X(i=1,2,..50)为装运第i箱的重量，n是所求的箱数．由题意可将Xi,X2",X,看作独立同分布的随机变量序列，n箱货物的总重量为ZX,因为i=lμ=50,=5，由(2-2)式及题中要求得-89-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 89 - 存在, 1 n i i X =  总是近似地服从正态分布, 记作 2 1 ~ ( , ) n a i i X N n n   =  1 ~ ( 0 , 1) n i a i X n N n   =  − 几个结论: 1） ~ ( 0 , 1) X N n   • − 2） 2 1 ~ ( , ) n i i X N n n   • =  3） 2 1 1 ~ ( , ) n i i X X N n n   • =  = 注 1． 对于 1 n i i X n n = −    中的每一被加项 Xi n −   ，有 2 i 1 i X D DX n n      − =     1 0 n = → ( ) n → ， 即每一被加项对总和的影响都很微小，但它们迭加的和却以标准正态分布为极限． 2．在满足定理的条件下，我们可以利用 1 ( ) n i i X n P x x n =   −                求一些概率的近似值． 例 1 设 i X (i 1,2, 50) = 是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为  = 0.03 的泊 松分布，试用中心极限定理计算 50 1 { >3} i i P X =  ． 解 2    = = = = 0.03 , 50 n ， n n   =  = =  = 0.03 50 1.5 , 50 0.03 1.5 50 50 1 1 >3 1 3 i i i i P X P X = =         = −        50 1 1.5 3 1.5 3 1.5 1 1 ( ) 1.5 1.5 1.5 i i X P =   −     − − = −   −           = −   −  = − = 1 1.5 1 1.23 1 0.8907 0.1093 ( ) ( ) ． 例 2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50kg，标 准差为 5kg．若用最大载重量为 5000 kg 的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装 多少箱，才能保障不超载的概率大于 0．9772？ 解 设 i X (i 1,2, 50) = 为装运第 i 箱的重量， n 是所求的箱数．由题意可将 1 2 , , , X X X n 看作独立同分布的随机变量序列， n 箱货物的总重量为 1 n i i X =  ．因为  =  = 50, 5 ，由(2-2)式及题中要求得

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理5000-50nX,≤5000)~ΦPC>0.9772=Φ(2），从而有5/ni=l1000-10nn>2，得n0，i=1,2,.",n.故由定理2.1知定理称为“二项2.2成立分布的正态近似”此定理表明，若X～B(n,p），则当n充分大时，有X~N(np，npq)，于是有第二章中的泊松定b-npX-npa-np理给出了X“二项分npqVnpqVnpq布的泊松近似”，两b-npa-npl者相比，当Jnpqnpqn较大，p较例3设电站供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7．假设各灯的开小，关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率，A=np解设夜晚同时开着的灯数为X，则X~B(10000,0.7)，又np=10000×0.7=7000,np(1-p)=/10000×0.7×0.3=/2100,适中时，用泊松分布7200-70006800-7000P/6800≤X≤7200~近似较好：V21002100而当n较~2Φ(4.36)-1=1.大，p不太大时，用例4在人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参加人寿保险：在一年里，这些人的正态分布死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元，死亡时，家属可以从保近似较好。险公司领取2000元.求保险公司一年中获利不少于10000元的概率中心极限定理揭示了正态分布的普遍性和重要性，它是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础.中筑固建司1.设随机变量序列X.X,....,X..相互独立，X服从参数为n的指数分布（n≥I)则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（C）11A.Xi.5X25B.X,X....,X.X2nC. X..2'X.....,nnXD. X.,2X.....,nX.....2.已知随机变量序列X,X...*,X..·相互独立，且都在（-1,1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有limPJX≤yn!（等于（C）i=lc. Φ(V3)B. Φ(1)D. Φ(2)A. Φ(O)-90-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 90 - 1 5000 50 ( 5000) 5 n i i n P X = n   −         =  0.9772 (2) ，从而有， 1000 10 2 n n −  ，得 n  98.01 故最多可以装 98 箱． 定理 2 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理) 设 X ~ B(n , p ) (0  p  1) ,则对任意 实数 x  R ,有 ( ) 2 1 lim 2 2 x e dt x npq X np P x t n = =           − − − →  其中 q =1− p , 0  q 1. 证明 因为随机变量 X 可以表示为 n 个相互独立的服从 B p (1, ) 分布的随机变量 i X n (i 1,2, ) 的和，而 EXi = p , DXi = pq  0，i =1,2 ,  , n .故由定理 2.1 知定理 2.2 成立. 此定理表明，若 X ~ B(n , p ) ，则当 n 充分大时，有 X N np npq ( , ) • ，于是有   ( ) ( ) a np X np b np P a X b P npq npq npq b np a np npq npq     − − −   =         − −   −  例 3 设电站供电网内有 10000 盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为 0.7 ．假设各灯的开 关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率． 解 设夜晚同时开着的灯数为 X ， 则 X B(10000, 0.7) ， 又 np =  = 10000 0.7 7000， np p (1 ) 10000 0.7 0.3 2100 − =   = ， 7200 7000 6800 7000 {6800 7200} ( ) ( ) 2100 2100 P X − −     −    − = 2 (4.36) 1 1． 例 4 在人寿保险公司里有 3000 个同一年龄的人参加人寿保险．在一年里，这些人的 死亡率为 0.1 %，参加保险的人在一年的头一天交付保险费 10 元，死亡时，家属可以从保 险公司领取 2000 元． 求保险公司一年中获利不少于 10000 元的概率． 中心极限定理揭示了正态分布的普遍性和重要性，它是应用正态分布来解决各种实际问 题的理论基础． 棣莫弗-拉 普拉斯中 心极限定 理: 二项 分布的极 限分布是 正态分布. 称为“二项 分布的正 态近似”. 第二章中 的泊松定 理给出了 “二项分 布的泊松 近似”，两 者相比，当 n 较 大, p 较 小,  = np 适中时，用 泊松分布 近似较好； 而当 n 较 大, p 不 太大时，用 正态分布 近似较好. *巩固练习 1．设随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 相互独立， X n 服从参数为 n 的指数分布 ( 1) n  , 则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是( C ). A. 1 2 1 1 , , , , 2 X X X n n . B. 1 2 , , , , X X X n C. 2 2 1 2 , 2 , , , X X n Xn D. 1 2 , 2 , , , X X nXn 2．已知随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 相互独立,且都在 ( 1,1) − 上服从均匀分布,根据独立同分布中心 极限定理有 1 lim n i n i P X n → =         等于( C ). A. (0) B. (1) C. ( 3) D. (2)

概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理3.下列命题正确的是（B）A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律，B.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律C.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律，D.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律14.设随机变量序列X,X,....X...相互独立，X=ZX，.根据林德伯格一列维中心极限定理，当n合充分大时，X近似服从正态分布，只要X,n≥1)（C）.A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布.5．下列各式成立的是（B）.[2x-nax,-n1eli=lA.limPB.limP≤x(= Φ(x)≤x=Φ(x)InJn1+02-Ix -X--r合i=llimPlimPC.=Φ(x)D.≤x=Φ(x)006.已知随机变量序列X,X,.,X....相互独立，且都服从泊松分布P(1)，根据独立同分布中心极限IZX≤n等于（A).定理有limPn→00i=lC. Φ(V3)B. Φ(1)D. Φ(2)A. Φ(O)中作业习题5.2-P121—1，2，3第5章章末总结本章主要介绍了三个大数定律和两个中心极限定理：其中的结论都是概率论中比较深入的结果大数定律表述了客观世界中一般平均结果的稳定性，其中伯努利大数定律以严格的数学形式表达工频率稳定于概率的事实，切比雪夫大数定律表明：当n充分大时，随机变量序列的算术平均值偏离其数学期望的可能性很小，而辛钦大数定律则说明在实际问题中“平均数法则"的合理性：大数定律在数理统计学中的估计理论中起着重要作用中心极限定理揭示了“独立随机变量的和，当满足一定条件时以正态分布为渐进分布这一重要规律．即只要随机变量的个数充分多，无论它们服从什么分布，其和的分布都可以用正态分布来近似，中心极限定理不但可以用来近似计算某些问题的概率，它还是数理统计学中大样本理论的理论基础。大数定律是研究随机变量序列依概率收敛的极限问题，中心极限定理是研究随机变量序列依分布收敛的极限问题。它们都是讨论大量的随机变量之和的极限行为．当随机变量相互独立又同分布，且有大于0的有限方差时，大数定律和中心极限定理同时成立，-91-

概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 91 - 3.下列命题正确的是( B ) . A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律. B.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律. C.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律. D.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律. 4.设随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 相互独立， 1 n i i X X = = .根据林德伯格—列维中心极限定理，当 n 充分大时， X 近似服从正态分布，只要 X n n , 1   ( C ). A.有相同的数学期望. B.有相同的方差. C.服从同一泊松分布. D.服从同一连续型分布. 5．下列各式成立的是( B ). A. 1 lim ( ) n i i n X n P x x n = →   −        =         B. 1 lim ( ) n i i n X n P x x n  = →   −        =         C. 1 lim ( ) n i i n X P x x n   = →   −        =         D. 1 lim ( ) n i i n X n P x x n = →   −        =         6. 已知随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 相互独立,且都服从泊松分布 P(1) ,根据独立同分布中心极限 定理有 1 lim n i n i P X n → =         等于( A ). A. (0) B. (1) C. ( 3) D. (2) *作业 习题 5.2- P121—1，2，3 第 5 章 章末总结 本章主要介绍了三个大数定律和两个中心极限定理．其中的结论都是概率论中比较深入的结果． 大数定律表述了客观世界中一般平均结果的稳定性． 其中伯努利大数定律以严格的数学形式表达了 频率稳定于概率的事实，切比雪夫大数定律表明:当 n 充分大时，随机变量序列的算术平均值偏离其数学 期望的可能性很小，而辛钦大数定律则说明在实际问题中“平均数法则”的合理性． 大数定律在数理统计 学中的估计理论中起着重要作用． 中心极限定理揭示了“独立随机变量的和，当满足一定条件时以正态分布为渐进分布”这一重要规 律．即只要随机变量的个数充分多，无论它们服从什么分布，其和的分布都可以用正态分布来近似．中 心极限定理不但可以用来近似计算某些问题的概率，它还是数理统计学中大样本理论的理论基础． 大数定律是研究随机变量序列依概率收敛的极限问题，中心极限定理是研究随机变量序列依分布收 敛的极限问题．它们都是讨论大量的随机变量之和的极限行为．当随机变量相互独立又同分布，且有大 于 0 的有限方差时，大数定律和中心极限定理同时成立．

第6章数理统计的基本概念概率论与数理统计教案一内容概览第6章数理统计的基本概念.一、本章主要知识点总体，样本，统计量的有关概念，1.2.统计学的三大分布：分布、t分布、F分布3．分位数的概念.4.正态总体条件下的抽样分布.二、本章教学重点1.总体，样本，统计量的有关概念.2.样本均值、样本方差的定义及计算3.×2分布、1分布、F分布的典型模式及查表计算。4.分位数的概念及查表计算5.单个正态总体条件下的抽样分布三、本章教学难点统计量及其分布.四、本章知识体系图总体与个体简单随机样本总体与随机变量样本(两重性)样本的概率分布样本均值样本方差常用统计量概率统计的基础知识样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩2分布三大分布t分布F分布单个正态总体条件下的抽样分布正态总体条件下的抽样分布两个正态总体条件下的抽样分布-92-

概率论与数理统计教案 第 6 章 数理统计的基本概念 - 92 - 第 6 章 数理统计的基本概念——内容概览 一、本章主要知识点 1. 总体,样本,统计量的有关概念. 2. 统计学的三大分布: 2  分布、 t 分布、 F 分布. 3. 分位数的概念. 4. 正态总体条件下的抽样分布. 二、本章教学重点 1.总体,样本,统计量的有关概念. 2.样本均值、样本方差的定义及计算. 3. 2  分布、 t 分布、 F 分布的典型模式及查表计算. 4.分位数的概念及查表计算. 5.单个正态总体条件下的抽样分布. 三、本章教学难点 统计量及其分布. 四、本章知识体系图 分 布 tF