《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 二次型 9.2 复数域和实数域上的二次型

9.2复数域和实数域上的二次型一、内容分布9.2.1复二次型的典范形9.2.2实二次型的典范形二、教学目的1：掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次型的典范形型的惯性指标、符号差等概念2.掌握实二次型的惯性定律三、重点、难点实二次型的惯性定律

9.2 复数域和实数域上的二次型 一、内容分布 9.2.2 实二次型的典范形 三、重点、难点 实二次型的惯性定律 9.2.1 复二次型的典范形 二、教学目的 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次 型的典范形型的惯性指标、符号差等概念. 2．掌握实二次型的惯性定律

复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型9.2.1复二次型的典范形定理9.2.1复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩，证显然只要证明第一个论断条件的必要性是明显的，我们只要证条件的充分性，设A.B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，由定理9.1.3，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得

9.2.1 复二次型的典范形 复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型. 定理9.2.1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是 它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要条件是它们 有相同的秩. 证 显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性. 设A,B 是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r ，由定理 9.1.3，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得

dPTAP=Q'BQ=当>0时，c+0,d0=1,2…r取n阶复矩阵

1 2 0 0 0 0 T r c c P AP c     =     1 2 0 0 0 0 T r d d Q BQ d     =     当r>0时, ci ≠0, di ≠0,i=1,2,⋯,r. 取n阶复矩阵

daS=这里ci，d分别表示复数c和d,的一个平方根.那么ST=S，TT=T,而

1 1 0 1 1 0 1 r c S c     =                             = 0 1 1 1 0 1 1   dr d T 这里 𝑐𝑖, 𝑑𝑖分别表示复数ci 和di 的一个平方根.那么ST=S， TT=T ,而

S'PTAPS=T'Q'BQT:?因此矩阵A.B都与矩阵合同所以A与B合同

TT TT r I O S P APS T Q BQT O O   = =     因此,矩阵A,B都与矩阵 合同,所以A与B合同. r I O O O      

9.2.2实二次型的典范形定理9.2.2实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如下形式的一个矩阵：这里r等于A的秩证由定理9.1.3，存在实可逆矩阵P，使得

9.2.2 实二次型的典范形 定理9.2.2 实数域上每一n 阶对称矩阵A都合同于如下形式的一 个矩阵： 这里r 等于A的秩. 证 由定理9.1.3，存在实可逆矩阵P，使得           − − O O O O I O I O O r p p

PTAP=如果r>0，必要时交换两列和两行，我们总可以假定cic,>0,Cp+1,",c,<0,0≤p<r.取

如果r>0 ,必要时交换两列和两行，我们总可以假定c1,⋯, cp> 0, cp+1, ⋯,cr < 0,0≤p≤r.取 1 2 0 0 0 0 T r c c P AP c     =    

T=那么TPTAPT=

  = 0 1 1 | | 1 0 | | 1 1   r c c T p T T r p I OO T P APT O I O OOO −     = −     那么

定理92.3实数域上每一n元二次型都与如下形式的一个二次型等价：++x,?xp?-..-x,.这里r是所给的二次型的秩二次型（1）叫做实二次型的典范形式定理9.2.3是说.实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价.在典范形式里，平方项的个数r等于二次型的秩，因而是唯一确定的

定理9.2.3 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式的一个二次 型等价： 这里 r 是所给的二次型的秩. 二次型(1)叫做实二次型的典范形式,定理9.2.3 是说,实数域 上每一个二次型都与一个典范形式等价. 在典范形式里,平方 项的个数 r 等于二次型的秩,因而是唯一确定的. x1 2+⋯+xp 2–xp+1 2 – ⋯ –xr 2

定理9.2.4（惯性定律）设实数域R上n元二次型等价于两个典范形式(2)y?+...+y?-yp+?- .-y?(3).·-z.2+.·+z.2-2p+1那么p=p

定理 9.2.4 (惯性定律) 设实数域R上n元二次型 等价于两个典范形式 那么p=p ʹ. y1 2+⋯+yp 2–yp+1 2 – ⋯ –yr 2 (2) (3) z1 2+⋯+zp 2–zp+1 2 – ⋯ –zr 2