《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.3 线性变换和矩阵

7.3线性变换和矩阵一、内容分布7.3.1线性变换的矩阵7.3.2坐标变换7.3.3矩阵唯一确定线性变换7.3.4线性变换在不同基下的矩阵一相似矩阵二、重点、难点线性变换和矩阵之间的相互转换，坐标变换，相似矩阵

7.3 线性变换和矩阵 一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 二、重点、难点 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵 7.3.2 坐标变换

7.3.1．线性变换的矩阵设V是数域上F一个n维向量空间，令?是V的一个线性变换，取定V的一个基ai,a2，,an.Ao(a)=aiia+a2ia,+...+anian0(a2)= a12a,+a22a2+ ...+an2an（2）o(an)= aina,+a2na+...+annan这里ay,a2j,,am,是o(a,)关于基ai,a2,,a,的坐标

7.3.1 线性变换的矩阵 设V是数域上F一个n维向量空间,令σ是V的一个线性 变换,取定V的一个基α1,α2 , ⋯, αn . σ(α1)= a11α1+a21α2+ ⋯+an1αn σ(α2)= a12α1+a22α2+ ⋯+an2αn σ(αn)= a1nα1+a2nα2+ ⋯+annαn ⋯⋯⋯⋯ 这里a1j ,a2j , ⋯,anj是σ(αj )关于基α1,α2 , ⋯, αn的坐标. 令 (2)

aina12a21a22a2nD=anlaman2n阶矩阵A就叫做线性变换关于基(αi,α2，"an的矩阵.矩阵A的第列元素就是(α）关于基（αi,α2，an的坐标.这样取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应我们把等式（2）写成矩阵的形式(3)(o(ai), 0(α2), ", 0(an) =(αi, a2, "", an)A

n阶矩阵A就叫做线性变换σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn }的矩阵.矩 阵A的第j列元素就是σ(αj )关于基{α1,α2 , ⋯, αn }的坐标. 这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个 线性变换,有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应. 令 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a     =        我们把等式(2)写成矩阵的形式. (3) (σ(α1), σ(α2), ⋯, σ(αn)) =(α1, α2, ⋯, αn)A

定理7.3.1设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个线性变换，而关于基{α1,α2，,α的矩阵是aiiaina12·a21aana22A=anlan20如果V中向量关于这个基的坐标是（xx2，x），而（)的坐标是(yi,y2，…,yn),那么Xiyiy2X2(5)=A·?y吉

定理7.3.1 设V 是数域F上一个n维向量空间,σ是V的一个 线性变换,而 σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn}的矩阵是 如果V中向量ξ关于这个基的坐标是(x1, x2 , ⋯, xn),而σ(ξ) 的坐标是(y1, y2 , ⋯, yn),那么 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a     =        1 1 2 2 n n y x y x A y x       =         (5)

引理7.3.1设V是数域F上一个n维向量空间，（αi,α2，…,an是V的一个基，那么对于V中任意n个向量β2，β，有且仅有V的一个线性变换?，使得：o(a.)-β,i-1,2..,n设=xia+x2a2+..+xnan，规定o()=xB,+xβ2+...+xβn

引理7.3.1 设V是数域F上一个n 维向量空间 , {α1,α2 , ⋯, αn} 是V的一个基,那么对于V 中任意n个向量β1,β2 , ⋯, βn ,有且仅有 V 的一个线性变换σ ,使得: σ(αi )=βi ，i=1,2⋯,n 设ξ =x1α1+ x2α2+⋯+ xnαn , 规定 σ(ξ)=x1β1+x2β2+ ⋯ +xnβn

定理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，（αi,α2，…an)是V的一个基.对于V的每一个线性变换o令o关于基αi,α2，…α的矩阵A与它对应，这样就得到V的全体线性变换所成的集合L（V到F上全体n阶矩阵所成的集合M（F的一个双射，并且如果,tEL(W,而OIA,THB那么(6)o+tA+B,aoaA,aEF(7)OT AB

定理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间 , {α1,α2 , ⋯, αn}是V 的一个基.对于V 的每一个线性变换σ,令σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn}的 矩阵A与它对应,这样就得到V 的全体线性变换所成的集合L(V)到 F上全体n 阶矩阵所成的集合Mn(F) 的一个双射,并且如果σ,τ ∈L(V) ,而 σ ⟼A , τ ⟼B, 那么 (6) σ +τ ⟼A+B ，aσ ⟼aA , a∈F (7) στ ⟼AB

证设线性变换关于基aiα2，an的矩阵是A.那么一A是L(V）到M（F）的一个映射.反过来，设aila12ain..a21a2na22A=.anlaman2是F上任意一个n阶矩阵.令β,=ai,a,+a2,a,+...+anan.j=1,2,,n由引理7.3.1,存在唯一的gEL(V)使o（)-β，1,2n

证 设线性变换σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn}的矩阵是A.那么σ ⟼A 是L(V)到Mn(F)的一个映射.反过来,设 是F上任意一个n阶矩阵.令 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a     =        βj =a1j α1+a2j α2+ ⋯+anjαn ,j=1,2, ⋯,n 由引理7.3.1,存在唯一的σ ∈L(V)使σ(αi )=βi ，i=1,2⋯,n

显然关于基ai,α2，…an的矩阵就是A.这就证明了如上建立的映射是L(VW)到M(F)的双射设 A=(aj),TB=(b,),我们有(o(aj), 0(az), ", 0(an) =(aj, a2, ", an)A(t(a), t(a2), ", t(an)) =(αi, a2, "", an)B由于?是线性变换，所以(b,a,)=b,o(α,),j=1,2,.,n.i=1=

由于σ是线性变换,所以 显然σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn}的矩阵就是A.这就证明了如上建 立的映射是L(V)到Mn(F)的双射. 设σ ⟼A=(aij) , τ ⟼B=(bij) ,我们有 (σ(α1), σ(α2), ⋯, σ(αn)) =(α1, α2, ⋯, αn)A (τ(α1), τ(α2), ⋯, τ(αn)) =(α1, α2, ⋯, αn)B 1 1 ( ) ( ), 1, 2, , . n n ij i ij i i i σ σ b bj n = = ∑ ∑ α α = = 

因此(ot(a), ot(a), ..., ot(an)) = (o(a), o(a), ..., o(an)) B=(ai,a2,",an)AB.所以ot关于基(αi,α2，,αn的矩阵就是AB.（7)式成立.至于（6）式成立，是显然的这个定理说明，作为F上的向量空间，LV)与M（F)同构由（7），我们说，这个同构映射保持乘法.由此进一步得到

因此 (στ(α1), στ(α2), ⋯, στ(αn)) = (σ(α1), σ(α2), ⋯, σ(αn)) B = (α1, α2, ⋯, αn)AB. 所以στ关于基{α1,α2 , ⋯, αn}的矩阵就是AB. (7)式成立.至于 (6)式成立,是显然的. 这个定理说明,作为F上的向量空间, L(V)与Mn(F)同构. 由(7),我们说，这个同构映射保持乘法.由此进一步得到

推论7.3.1设数域F上n维向量空间V的一个线性变换o关于V的一个取定的基的矩阵是A，那么?可逆必要且只要A可逆，并且-1关于这个基的矩阵就是A-1证设可逆.令-1关于取定的基的矩阵是B.由（7）=g-1一AB.然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I.所以AB=I.同理BA=I.所以B-A-1.反过来，设A.而A可逆.由定理7.3.2，有tEL（W使T一A-1于是t一AA-1.注意到（5可以看出ot=1.同理to=所以有逆而t=！

推论7.3.1 设数域F上n维向量空间V 的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A,那么σ可逆必要且只要A可逆， 并且σ -1关于这个基的矩阵就是A-1 . 证 设σ可逆.令σ -1关于取定的基的矩阵是B.由(7) ι=σσ -1 ⟼AB,然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I.所以 AB=I.同理BA=I.所以B=A-1. 反过来,设σ⟼A,而A可逆.由定理7.3.2,有τ ∈L(V)使τ⟼A-1. 于是στ ⟼AA-1.注意到(5),可以看出στ =ι.同理τσ =ι .所以σ有逆, 而τ =σ-1