《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.2 线性变换的运算

7.2线性变换的运算一、内容分布7.2.1线性变换的加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、重点、难点会做线性变换的运算

7.2 线性变换的运算 一、内容分布 7.2.1 线性变换的加法和数乘 7.2.2 线性变换的积 二、重点、难点 会做线性变换的运算 7.2.3 线性变换的多项式

设V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性变换叫做V的一个线性变换我们用L（VW表示向量空间V的一切线性变换所成的集合设,TEL(V).对于V中每一个向量，令o()+）与它对应，这样得到V到自身的一个映射，叫做?与t的和，记作?+to+t:o()+t()容易证明，V的线性变换与t的和o+t也是V的一个线性变换

设V是数域F上一个向量空间,V到自身的一个线性变换叫 做V的一个线性变换. 设σ,τ∈L(V). 对于V中每一个向量ξ,令σ(ξ)+ τ(ξ)与它对应, 我们用L(V)表示向量空间V的一切线性变换所成的集合. 容易证明, V的线性变换σ与τ的和σ+τ也是V的一个线性变换. σ+τ :ξ ⟼σ(ξ)+τ(ξ) . 这样得到V到自身的一个映射,叫做σ与τ的和,记作σ+τ

线性变换的加法满足交换律和结合律.容易证明，对于任意p,,EL(W),以下等式成立：(l)o+t=t+o,(2) (p+o)+t = p+(o+t)令0表示V到自身的零映射，称为V的零变换，它显然具有以下性质：对于任意EL(V都有(3)o+0=0+;设oEL(V，的负变换-o指的是V到V的映射-0:5-0().容易证明，-0也是的线性变换，并且(4) o+(-0)=0

线性变换的加法满足交换律和结合律.容易证明,对于 任意ρ,σ,τ ∈L(V),以下等式成立: (1) σ+τ = τ+σ; (2) (ρ+σ)+τ = ρ+(σ+τ). 令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有 以下性质:对于任意σ∈L(V)都有 (3) σ+θ =θ+σ ; 设σ∈L(V), σ的负变换-σ指的是V到V的映射 -σ :ξ ⟼ -σ(ξ) . 容易证明, -σ也是的线性变换,并且 (4) σ+(-σ)=θ

我们定义α与t的差o-T=o+(-t）.这样，在L(V）里，加法的逆运算一减法可以施行设kEFoEL(W.对于每一EV，令ko（）与它对应.这样就得到V到V的一个映射，记作ko.容易证明ko也是V的一个线性变换容易证明，下列算律成立：(5)k(o+t)=ko+kt(6)(k+)o=ko+lo(7)(kl)=k(lo)(8) 1g = 0.这里lE)

我们定义σ与τ的差σ-τ =σ+(-τ). 这样,在L(V)里,加法的逆 运算——减法可以施行. 设k∈F,σ∈L(V).对于每一ξ∈V ,令kσ(ξ)与它对应.这样就 得到V到V的一个映射,记作kσ. 容易证明kσ也是V的一个线 性变换. 容易证明, 下列算律成立: (5) k(σ+τ )= kσ+kτ. (6) (k+l)σ = kσ+lσ. (7) (kl) σ = k(lσ). (8) 1σ = σ. 这里k,l∈F, σ,τ∈L(V)

定理7.2.1LV)对于加法和标量与线性变换的乘法来说做成数域F上一个向量空间

定理7.2.1 L(V)对于加法和标量与线性变换的乘法来说 做成数域F上一个向量空间

设,TEL().合成映射TEL(V，把合成映射T叫做与t的积，并且记作ot.算律，(9)p(o+t)=po+pt,(10)(o+t)p=op+Tp(1l) (ko)t=o(kt)=k(ot)对于任意kEFp,0,TEL(V)成立

设σ,τ∈L(V). 合成映射σ∘τ∈L(V),把合成映射σ∘τ叫做σ 与τ的积,并且记作στ.算律, (9) ρ(σ+τ)=ρσ+ρτ, (10) (σ+τ)ρ=σρ+τρ, (11) (kσ)τ =σ(kτ) =k(στ) , 对于任意k∈F, ρ,σ,τ∈L(V)成立

由于对任意p,o,TEL(V)都有（po）t-p(ot）.因此我们可以合理定义一个线性变换?的n次幂gn=0g...o(n个)令表示V到V的单位映射，称为V的单位变换.定义?0=1设f(x）=ao+ax+ax2++ax是F上一个多项式，而oEL(V，以o代替x，以aoz代替ao，得到V的一个线性变换，这个线性变换叫做当x=o时f（x）的值，并且记作f（o）.因为对于任意E，ao=ao，我们也将ao简记作ao，这时可以写成f(o)=ao+ao+a,o?+...+anon

由于对任意ρ,σ,τ∈L(V),都有 (ρσ)τ=ρ(στ).因此我们可以合 理定义一个线性变换σ的n次幂 σ n=σσ⋯σ(n个) 令ι表示V到V的单位映射,称为V的单位变换.定义σ 0=ι. 设f (x)=a0+a1x+a2x2+ ⋯ +anxn是F上一个多项式,而 σ∈L(V),以σ代替x,以a0ι代替a0,得到V的一个线性变换,这个 线性变换叫做当x=σ时f (x)的值,并且记作f (σ).因为对于任 意ξ∈V, a0ι(ξ)=a0ξ,我们也将a0ι简记作a0,这时可以写成 f (σ)=a0+a1σ+a2σ2+ ⋯ +anσn

如果f(x),g(x)EF[xl, 并且 u(x)=f(x)+g(x), v(x)=f(x)g(x),那么有u(α)=f (o)+g(o), v(o)=f (o)g(o)如果线性变换?有逆映射。-1，则。-1也是线性变换，叫做的逆变换，这时就叫作可逆的或非奇异的.我们有00-l=g-lg=1

如果f (x) , g(x)∈F[x],并且 u(x) =f (x)+g(x), v(x) =f (x)g(x), 那么有u(σ) =f (σ)+g(σ), v(σ) =f (σ)g(σ). 如果线性变换σ有逆映射σ -1 ,则σ -1也是线性变换,叫做σ 的逆变换,这时σ就叫作可逆的或非奇异的.我们有. σσ -1=σ -1σ = ι