《高等代数》课程教学资源（试卷习题）2014年考研数学真题及答案解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析（完整精准版)一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。（1）下列曲线中有渐近线的是1(B) y=x?+sin x.(D)(A) y=x+sin x.(C)y=x+sin-x.1y=x?+sin-x1x+sin-f(x)1X= lim(1+【解析】a=lim=lim-sin-x-+oxx-→oxX→oxA11=0b = lim[f (x)-ax]= lim[x+ sinx]=limsin-Xx0..y=x是y=x+sin-的斜渐近线x【答案】C(2)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0，1)上（(B)当f(x)≥0时，f(x)≤g(x)(A)当f(x)≥0时， f(x)≥g(x)(C)当 f(x)≥0时, (x)≥g(x)(D)当 f'≥0时，f (x)≤g(x)x【解析】当f"（x）≥0时，f（x）是凹函数f(x)而g(x)是连接(0,f(o))与(1,f(1)的直线段，如右图0故f(x) ≤g(x)【答案】D(3)设(x,)是连续函数，则d(a,)*a aa+ay(B) J"axf"f(x, )dy+J ax"f(x, )dy

[de e+no f(rcos,rsin)dr+J def'f(rcos,rsing)drC)(D)(de coo+ino f(rcos,rsin)rdr+["def'f(rcos,rsin)rdr【解析】积分区域如图0Sy≤1.Ji-y2≤x≤1-y元≤0≤元，用极坐标表示，即：D：0≤r≤121D:0≤0≤"0≤r2cos+sine【答案】D"(x-acosx-bsinx)"d（4）若"(x-a,cosx-b,sinx)’dx=min贝a,cosx+b, sin x=(A)2元sinx(B) 2cosx.(C) 2元sinx.(D)2元COSx【解析】令z(a,b)==（x-acosx-bsinx)dxZ,=2= (x-acosx-bsin x)(-cosx)dx=0(1)(2)Z, =2["(x-acosx-bsinx)(-sinx)dx=02af: cos xdx=0由（1)得故a=0,a,=0Joxsin xdx由（2)得=2b =2Jsin'xdx【答案】A10ba00b0(5)行列式d0UC00cd(A) (ad-bc)2(B)-(ad-bc)2.(c) ad-bc.(D)b?c2-a2 d?060a0JoaDlab00ba0+ d(-1)*+4按第4行展开c(-1)4+10D0【解析】01o0dCd0dc00c4

=-c-b(-1)32/a b|+d a(-1)la bcdcd=(ad-bc)-bc-ad(ad-bc)=(ad-bc)(bc-ad)=-(ad -bc)2【答案】B(6)设α，αz，α,均为3维向量，则对任意常数k,l向量组α,+kα，α,+lα线性无关是向量组α,，αz，α,线性无关的（）（A）必要非充分条件。(B)充分非必要条件.(C）充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件(1 0)01知，【解析】由（α1+kα3α2+lα3)=（αiα2α3)(ki)10当α1,α2,α3线性无关时，因为￥001所以α1+kα3α2+lα3线性无关反之不成立如当α3=0，α1与α2线性无关时，α1,α2,α3线性相关【答案】A1（7）设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)=（(A) 0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4【解析】P（A-B）=P（A）-P(AB)：A与B相互独立:.P(AB)=P(A)P (B):.P(A-B)=P(A)-PA)P(B)=P(A)I1-P(B)1=0.3P（A)（1-0.5)=0.3:.P（A)=0.6P（AB）=P（A）P（B）=0.6X05=0.3:.P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2【答案】B（8）设连续性随机变量X,与X2相互独立，且方差均存在，X,与X2的概率密度分别为f(x）与f,(x)，随机变量Y的概率密度为f(y）=[f(y)+f2(y)]，随机变量Y2-1(X+X)则（)2(A)EY>EY2, DY>DY2(B)EY1-EY2, DY{=DY2(C)EY,=EY2, DY,DY,【解析=()+(+()y

FX4XEY,=E[(X,+X,)]=EX,+EX,22..EY =EYEY?=EX?EXf2(0)kly=f.(y)+2211EX?+!1EX?+EX,-(EX,)?-(EX,)?.EX,EXDY, =EXEXEX(22225EX?+LEX?DX +-DX,+EX,EX444421I DX,+ DX,+[EX? +EX; -2E(X,X,)] -[E(X,-X,)DX.DX≥4X41DXDY=DDX,+-(X, +X,)1244.. DY>DY2【答案】D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。(9）曲面z=x(1-siny)+y2(1-sinx)在点（1，0，1）处的切平面方程为[2x(1-siny)-y?cosx]=2【解析】在点（1，0，1）处，Z(1,0,1)(1, 0, 1)[-x?cosy+2y(1-sinx)]-(1,0, 1)(1,0,1)切平面方程为z(x-1)+z(y-0)+(-1(z-1)=0即2x-y-z-1=0（10）设f（x）是周期为4的可导奇函数，且f（x)=2(x-D，xe[0,2],则f(7)=【解析】：f(x)是周期为4的可导函数. f(7)=f(3)=f(-1)=-f()且f(0)=0又f(x)=2(x-1)f(x)=x-2x+c将f(0)=0代入得C=0

.. f(x)=x2-2xxe[0,2]: f(1)=-1 从而f(7)=-f()=1（11）微分方程xy+y（lnx-lny）=0满足条件y(1)=e的解为y即xy+yln==0两边同除x得【解析】xy'+y(nx-lny)=0yy+2n==0xydy典代入上式得令u=之,则y=xu,=u+xdxdxxdu+uln!=0整理得u+xdxdu1-dx两端积分得u(Inu-1)xdudx+InCu(Inu1xrd(Inu-1)dx+InClnu-1Inu-1=cxu=ec+y=xecr+!将y(1)=e代入上式得C=2.y=xe2x+l（12）设L是柱面x+y=1与平面y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲面积分[[1zdx+ydz=[x=cost【解析】令y=sintt: [0,2元]Z=-sint[ zdx+ ydz=](-sint(-sint) +sint(cost)hit(2*1-cos2 dt+](sint)d sint2=元+0=元

（13）设二次型f（x，2，x）=x-x+2ax5+4x的负惯性指数是1,则a的取值范围(10a【解析】A=02-1(a 20)因为元1+22+3=0.21+2+3=A1，负惯性指数为1设10,3>0.此时符合题意而A=a?=4..a2-40,3=0,此时a=±2(1[a-102)02 -1 200a+1当a=2时A=[E-A=-2=(2+3)(-3)2(220-2-221=-3,元2=3,13=0.=2符合题意[2-1002|(1-2)0201+1当α=-2时A=-1ZE-A=-2=(+3)(-3)220-2-2符合题意21=-3,元2=3,13=0综上，a的取值范围是-2≤a≤2[2x302(14)设总体X的概率密度为f(x，)=,0<x<20，其中日是未知数，XX2.,X元0,其他为来自总体X的简单样本，若cx?是的无偏估计，则c=[3xdx=12【解析】E(X")=do=x426362J4.302392

1A4156692225E(CX2)=CE(X)=C·n二C5n2ili=l三、解答题：1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程成消算步骤（15）（本题满分10分）"[t(ei -1)-tldt求极限lim0x n(1+1)x1['[t'(ei -1)-t]dtt'(etD-tidt【解】limlimxx?In(1+-In(1+x2(et-1)-tldtlimx"（e*=lim0-xxe'-1-t-111e=limx(ex-1)=lim=limt222tXt0t-0（16）（本题满分10分）设函数y=f(x)由方程y3+xy?+xy+6=0确定，求f(x)的极值。【解】由y3+xy?+x?y+6=0得+2xy+%=0，解得3y2+y+2xydxdxdx2xy+y2[x=1dy由％=0得y=-2x，代入原式得x+2xy+3y2，dxy=-2dxdy+2y+3y)(2y+yx+2y++6yd(2y+2x+2yd'ydxdxdxdxdx?(x2+2xy+3y2)2x=1代入得y4将>0，故x=1为最小点，最小值为y=-2。dx2=9y=-2（17）（本题满分10分）设函数f（u）二阶连续可导，z=fe"cosy）满足

3z.a2z=(4z+e'cos y)e2",ax? ay?若f(O)=0,f(O)=0，求f(u)的表达式【解】a=e'cosy.f",az--e' siny.f",axdy=e'.cosy.f'+ecos y.f","--e'cosy.f"+e" sin'y-f",ax2ay2az.az=e2*f",ax2ay?03z03z令u=e.cosy，由己=（4z+e*cosy)e得ax2ay2f"(u)=4f(u)+u, 或f"(u)-4f(u)=u,解得f(u)=C,e-"+C,e2_144,[C, +C, =011由f(0)=0,f(0)=0得，解得CC11616=02C+2C2411(e-2m -e2m)故f(u)=-u164（18）（本题满分10分）设为曲面z=x+y（z≤1)的上侧，计算曲面积分[(x-1) dydz + (y -1) dzdx +(z-1)dxdy 。【解】令。：z=1（x2+2≤1），取下侧，其中与Z围成的几何体为由高斯公式得(x-1) dydz +(y -1) dzdx +(z -1)dxdy =-[[j[3(x-1)* +3(y -1)2 +1)dvS=-{[[3(x2 +y2)-6x-6y+7]dv=-[[3(x +y2)+7]dv=-f'dz J[3(x2 +y")+7]dv=-f'dz" dof"(3r +7r)dr

4z)dz=-4元T44a而 [[(x-D) dydz+(y-1) dzdx+(z-1)dxdy =[[(z-1)dxdy =0Eo故I=[[(x-1)dydz +(y-1)dzdx+(z-1)dxdy=-4元。2元0，从而0<an<bn，因为b，收敛，所以a,收敛，故lima,=0TEln=l(）由a,=cosa,-cosb,得a,+bL2sin(sincosan-cosb522an-2-a.bnbnbn2bnb，收敛，所以收敏，因为0≤2bh22bm一1

由比较审敛法得收敛。2b.（20）（本题满分11分）(1-23#-410设A=1-11，E为三阶单位矩阵。U20-3(I）求方程组AX=O的一个基础解系。（II）求满足AB=E的所有矩阵B。【解】-23-4)(1-23123-4141100-1101-111(I) A=1(120-3040-3101-305(1G-20010001-20120o01-3013则方程组AX=O的一个基础解系为=(-1,2,3,1)。专X2X3XsX6X4(II)令B=XgxgX(X10xnX12)xX313-2XXsX6AB=O1-1XXgXg2013XuX12)Xiox-2x4+3x-4x10X2-2xs+3xg-4xnX3-2x+3xg-4x12X4-X+X10Xs-Xg+xXg-Xg+X12X2+2x,-3xXj+2x4-3x10Xg+2x-3x12由AB=E得[x2-2x+3x-4x=0x-2x+3x,-4xo=1x,-2x。+3x。-4x12=0X4-X+X10=0Xs-Xg+X=1X6-X+X12=0X+2x4-3x10=0x,+2xg-3x=0X3+2x-3x2=13-231-2-41-41000由0111-11-10o1204-3-31-1