《高等代数》课程教学资源（试卷习题）2013年考研数学试题及答案解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题（万学·海文提供）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。x-arctan xC）(1)已知limc，其中k，c为常数，且c≠0，则xk1-1-1(B) k=2,c=(D)(A) k=2,c =(C) k=3,c :2321k=3.c=3【答案】D【解析】因为c≠011x2x2x-arctanx洛11+x2c=limlim-limx=lim=lim→0 kxk-1xks0 kxk-1$0 kxk-1 (1+ x2)k x-11所以3-k=0.k=3.c，故选Dk3((2）曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0,1-1)的切平面方程为)(A) x-y+z=-2(B) x+y+z=0 (C) x-2y+z=-3(D) x-y-z=0【答案】A【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为n=(F*,F,F)(o.1-) =(2x-y sin (ay)+1,-r sin (ay)+z,y)(0.1-1) =(1,-1,1)故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为1-(x-0)-(y-1)+(z+1)=0,即x-y+z=-2，选A(3)设f(x)=x,b, =2["f(x)sin nxdx(n=1,2,..)令 s(x)=b, sinn元x ,则n=19s(4()(0)_3()31(C) _1(B) 4444【答案】C

2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 （万学·海文提供） 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 ,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在 ,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)已知 0 -arctan lim = k x x x c → x ，其中k c, 为常数，且c ≠ 0 ，则 （ ） (A) 1 =2, 2 k c − = (B) 1 =2, = 2 k c (C) 1 =3, 3 k c − = (D) 1 =3, = 3 k c 【答案】D 【解析】因为c ≠ 0 2 2 2 3 1 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1- arctan 1+ 1 lim lim lim lim lim (1 ) k k k k k x x x x x x x x x x c x x kx kx x kx k − → → → → → − − − − = = = = = + 洛 1 1 3 0, 3, , 3 k k c k 所以 故选 − = = = = D (2) 曲面 2 x xy yz x + + + = cos( ) 0 在点(0,1, 1− ) 的切平面方程为 （ ） （A) x y z − + = −2 (B) x y z + + = 0 (C) x y z − + = − 2 3 (D) x y z − − = 0 【答案】A 【解析】曲面在点(0,1,-1) 处的法向量为 =( , , ) x y z (0,1,-1) n F F F → ′ ′ ′ =(2 - sin ( )+1,- sin ( )+ , ) (0,1,-1) x y xy x xy z y =(1,-1,1) 故曲面在点(0,1,-1) 处的切面方程为 1 ( -0)-( -1)+( +1)=0, ⋅ x y z 即 x y z − + = −2，选 A (3) 设 1 0 1 ( ) , 2 ( )sin ( 1, 2, ) 2 n f x x b f x n xdx n = − = = π ∫ L . 令 1 ( ) sin n n s x b n x ∞ = = π ∑ , 则 9 ( ) 4 s − = （ ） (A) 3 4 (B) 1 4 (C) 1 4 − (D) 3 4 − 【答案】C

0.2【解析】f(x)=21XE院x-22将f(x）作奇延拓，得周期函数F(x），周期T=29处连续，从而则F(x)在点xA99S(-4444故选C(4）设L：x2+y2=1,：x2+y=2,L：x2+2y2=2,L:2x2+y2=2为四条逆时针方向ty的平面曲线，记1=巾1(y+)dx+(2x)dy(i=1,2,3,4).则 max[1,12,13,14] 63C)(A) I)(B) I2(C) I3(D) 14【答案】Dxy3apaQ【解析】记P0=2x心23axay26dp.ayax53V2V25用D.表示L.所围区域，则有1元，1元,1 >1 >1,>1,一元，18282故选D(5)设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则C1（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】B【解析】将A,C按列分块，A=(α,.α,),C=（Y,.)由于AB=C,故(bi..bn(α....α)=(Y..Y.)bulbar

【解析】 1 1 - , 0, 1 2 2 ( )= - = 2 1 1 - , ,1 2 2 x x f x x x x     ∈          ∈       将 f x( ) 作奇延拓，得周期函数 F x( )，周期T=2 则 F x( )在点 9 4 x = − 处连续，从而 9 9 1 1 1 1 ( )= ( ) ( )= ( )= f( )= 4 4 4 4 4 4 S F F F − − = − − − − 故选 C (4) 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 L x y L x y L x y L x y : 1, : 2, : 2 2, : 2 2 + = + = + = + = 为四条逆时针方向 的 平 面 曲 线 ， 记 3 3 ( ) (2 ) ( 1,2,3, 4) i 6 3 i L y x I y dx x dy i = + + − = ∫ . 则 max , , , {I I I I 1 2 3 4} = （ ） （A） 1 I （B） 2 I （C） 3 I (D) 4 I 【答案】D 【解析】记 3 3 + , =2 6 3 y x P y Q x = − ，则 2 2 2 2 2 1 =1 + 2 2 Q P y y x x x y ∂ ∂   − = − − − −   ∂ ∂   ， 3 3 2 2 = + + 2 = = 1 + 6 3 2 i i i i L D D y x Q P y I y dx x dy dxdy x dxdy x y         ∂ ∂         − − −             ∂ ∂   ∫ ∫∫ ∫∫ . 用 D i 表示 L i 所围区域，则有 1 2 3 4 4 1 3 2 5 1 3 2 2 = , = , = , = , . 8 2 8 2 I I I I I I I I π π π > > > 故选 D (5)设 A B C , , 均为n 阶矩阵，若 AB C= ,且 B 可逆，则 （ ） (A)矩阵C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (B)矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (C)矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 (D)矩阵C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】B 【解析】将 A C, 按列分块， 1 1 ( ,., ), ( ,., ) A C = = α α γ γ n n 由于 AB C= ,故 11 1 1 1 1 . ( ,., ) . . . ( ,., ) . n n n n nn b b b b α α γ γ     =    

即Y=bia,+...+bnan,...,=b.α,+...+bna,即C的列向量组可由A的列向量线性表示由于B可逆，故A=CB-，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选B(200)1al0b0相似的充要条件为ba()(6）矩阵a与(000)(al)(A) α=0,b=2(B)a=0,b为任意常数(C) a=2,b=0(D)α=2,b为任意常数【答案】B00(1a1(2bB=0b0【解析】令A=aa1](o0o)a因为A为实对称矩阵，B为对角阵，！则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0[α-11-1-a-a-1a-b0a1-bA的特征方程ZE-A=-11-1--a-a元-a01-b[(-2)(-b)-2a?1-a=元-10-a因为元=2是A的特征值，所以2E-A=0所以-2a2=0，即a=0当a=0时，E-A=(-2)(-b),A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可．故选B.(7)设X,X2,X是随机变量，且X,N(0,1),X,~N(0,2),X，~N(5,33)，P, = P[-2≤X,≤2)(i=1,2,3),则(D(A)P>P>P3(B) P2>P>P3(C) P3>Pi>P2(D)P>P>P2

即 1 11 1 1 1 1 . ,., . n n n n nn n γ α α γ α α = + + = + + b b b b 即C 的列向量组可由 A 的列向量线性表示 由于 B 可逆，故 1 A CB− = ， A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，选 B (6) 矩阵 1 1 1 1 a a b a a           与 2 0 0 0 0 0 0 0 b           相似的充要条件为 （ ） (A) a b = = 0, 2 (B) a b = 0, 为任意常数 (C) a b = = 2, 0 (D) a b = 2, 为任意常数 【答案】B 【解析】令 1 1 1 1 a A a b a a     =       ， 2 0 0 0 0 0 0 0 B b           = ， 因为 A 为实对称矩阵， B 为对角阵，则 A 与 B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为2, ,0 b A 的特征方程 1 1 1 0 1 1 1 a a E A a b a b a a a λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − = − − = − − − − − − − − 1 0 0 1 a b a a λ λ λ − − = − − − − = ( )( ) 2 λ λ λ   − − − 2 2 b a   ， 因为λ = 2 是 A 的特征值，所以 2 0 E A − = 所以 2 − = 2 0 a ，即a = 0 . 当 a = 0 时， λ λ λ λ E A b − = − − ( 2)( ) ， A 的特征值分别为2, ,0 b 所以b 为任意常数即可. 故选 B. (7) 设 1 2 3 X , , X X 是随机变量，且 X N 1 ~ (0,1), 2 2 X N ~ (0, 2 ), 2 X N 3 ~ (5,3 ) ， p P X i i i = − ≤ ≤ = { 2 2 ( 1,2,3) } ,则 （ ） (A) 1 2 3 p p p > > (B) 2 1 3 p p p > > (C) 3 1 2 p p p > > (D) 1 3 2 p p p > >

【答案】A【解析】Pi = P[-2 ≤ X, ≤ 2) = Φ(2) -Φ(-2) = 20(2) -1,-2-0X,-02-0P2 = P(-2≤X,≤2]= P= Φ(1)-Φ(-1) = 2Φ(1) -1,222[-2-5,X,-5,2-5)=0(-1)-0(-@(1)P3 = P(-2≤X,≤2)= P3333由下图可知，P>P2>P3,选A.y+y= p(x)027/34(8)设随机变量X~t(n)，Y~F(1,n)，给定α(0c)=α则P[>c2]=（）(A) α(B) 1-α(C) 2α(D) 1-2α【答案】C【解析】 X~t(n),则X?~F(l,n)P[Y >c]= P[X? >c]= P[X >c]+P[X c]=2α,选 C.二、填空题：9U14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上(9）设函数y=f(x)由方程y-x=e(l-)确定，则limnf(-)-1【答案】1【解析】x=0时，y=1方程两边对x求导得y-1=er(-)(1-y-xy)所以y(O)=1

【答案】A 【解析】 1 1 2 2 2 3 3 3 { 2 2} (2) ( 2) 2 (2) 1, 2 0 2 0 0 { 2 2} (1) ( 1) 2 (1) 1, 2 2 2 2 5 2 5 7 7 5 { 2 2} ( 1) (1), 3 3 3 3 3 p P X X p P X P X p P X P = − ≤ ≤ = Φ − Φ − = Φ −   − − − − = − ≤ ≤ = ≤ ≤ = Φ − Φ − = Φ −       − − − −     = − ≤ ≤ = ≤ ≤ = Φ − − Φ − = Φ − Φ             由下图可知， 1 2 3 p p p > > ,选 A. (8) 设随机变量 X t n ~ ( ) ，Y F n ~ (1, ) ，给定α (0 0.5) =} α ， 则 { } 2 P Y c > = （ ） (A) α (B) 1−α (C) 2α (D)1 2 − α 【答案】C 【解析】 X t n ~ ( ) ，则 2 X F n ~ (1, ) { } { } { } { } { } 2 2 2 P Y c P X c P X c P X c P X c > = > = > + = 2 2α ,选 C. 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 设函数 y f x = ( ) 由方程 x y (1 ) y x e − − = 确定，则 1 lim ( ) 1 n n f →∞ n   − =     _ 【答案】1 【解析】 x = 0 时， y =1 方程两边对 x 求导得 (1 ) 1 (1 ) x y y e y xy − ′ ′ − = − − 所以 y′(0) 1 = y 1 2 7/3 x y x =ϕ( ) O

-f(0)= f'(0) =1imlim1-n（10）已知y=e3-xe,y2=e-xe2，y,=-xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=【答案】y=c(e3x-e)+c,e-xe2x【解析】yi-y2=e3r-e',yz-y3=er,对应齐次微分方程的通解y2=c(e3x-e）+c,e非齐次微分方程的通解y=c(e3-e*)+c,e*-xe2d'y(11) 设/x=sint（t为常数），则ly=tsint+costdx?10【答案】V2dy_dy.1sint+tcost-sint【解析】dtdxdxcostdt(dy)dd'ydxdtdy11V2dx?dxdtdxdx?元costcOsdt4lnx(12)dx(1+ x)【答案】ln2dxInxInx【解析】=ln21Y(1+x)2(1+x)(1+x)x(1+ x)(13）设A=(a）是3阶非零矩阵，A为A的行列式，A,为a,的代数余子式，若ag +A, =0(i,j=1,2,3)则A|=【答案】-1

1 ( ) (0) 1 lim ( ) 1 lim (0) 1 n n 1 f f n n f f n n →∞ →∞ −   − = = = ′     （10）已知 3 2 2 2 1 2 3 , , x x x x x y e xe y e xe y xe = − = − = − 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 y = _ 【答案】 3 2 1 2 ( ) x x x x y c e e c e xe = − + − 【解析】 3 1 2 2 3 , , x x x y y e e y y e − = − − = 对应齐次微分方程的通解 2 3 1 2 ( ) x x x y c e e c e = − + 非齐次微分方程的通解 3 2 1 2 ( ) x x x x y c e e c e xe = − + − (11) 设{ sin sin cos x t y t t t = = + （t 为常数），则 2 2 d y dx 4 t π = =_ 【答案】 2 【解析】 1 sin cos sin cos dy dy t t t t t dx dt t dx dt + − = ⋅ = = ， 2 2 2 2 4 1 1 1 , 2 cos cos 4 t dy d d y dt d y dx dx dt dx t dx dx dt π = π       = ⋅ = = = = (12) 2 1 ln (1 ) x dx x +∞ = + ∫ . 【答案】ln 2 【解析】 2 1 1 1 1 ln ln ln ln 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x x dx x dx x x x x x +∞ +∞ +∞ +∞ = − + = = + + + + ∫ ∫ (13) 设 ( ) A a = ij 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， Aij 为 ij a 的代数余子式，若 0( , 1,2,3) ij ij a A i j + = = 则 A =_ 【答案】−1

100【解析】方法一：取矩阵A=0-10，满足题设条件，A=-1(001)方法二：A =-AT，则A=-A|，整理得到A-I=(-1)"[A|，即A|=-1或者|A|=0A|=a,Ar+a2A2+agA3=-(i +a2+d)≤0又因为A±0，所以至少有一个α+0，所以[A|=a,A, +ai2A2 +asA =-(ai +a2 +a)a=【答案】1-]Je, y>0,【解析】f(y)=y≤0,[0,f(y)dyP[Y≤a+1y>a)-P(y>a,Ysa+1] 0-4P[Y>a]e-fef(y)dy三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)（本题满分10分）计算"d，其中(m)=Cr In(t+ 1) dVx[解析 ()=+Da,则()-(x+ )=0=2 (M)-2f°lm(+ /xdx= -2f"n(x+) dx= -4f'n(++1) /Vx1 V=-4 n(++1)[-Idx =-41n2+4f01+x+1

【解析】方法一：取矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A     = −       ，满足题设条件， A = −1. 方法二： * T A A = − ，则 * T A A = − ，整理得到 3 1 3 A A ( 1) − = − ，即 A = −1或者 A = 0. ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 A a A a A a A a a a = + + = − + + ≤ i i i i i i i i i 又因为 A O≠ ，所以至少有一个 0 ij a ≠ ，所以 ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 A a A a A a A a a a = + + = − + + = 1 } _. 【答案】 1 1 e − 【解析】 0 ( ) 0 0 y e y f y y −  > =   ≤ ， ， ， ， { } { } { } 1 ( ) ( 1) , 1 1 1 1 ( ) a a a a a a P Y a Y a f y dy e e P Y a Y a P Y a e e f y dy + − − + +∞ − > ≤ + − ≤ + > = = = = − > ∫ ∫ 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明 .解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 计算 1 0 f x( ) dx x ∫ ，其中 1 ln( 1) ( ) x t f x dt t + = ∫ 【解析】 1 ln( 1) ( ) x t f x dt t + = ∫ ，则 ln( 1) ( ) x f x x + ′ = , f (1) 0 = 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) f x dx f x d x f x x x f x dx x = = −   ′ ∫ ∫ ∫   1 1 1 0 0 0 ln( 1) ln( 1) 2 (1) 2 2 4 ln( 1) x x f xdx dx x d x x x + + = − = − = − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 4 ln( 1) 4ln 2 4 1 1 x x x x dx dx x x   = − + − = − +   + +   ∫ ∫

Vx其中.2tdt=dxdt01+1Jo1+x1+1dr=2d= 2(1-=2[t-arctant]元所以原式=-4ln2+8(1-=8-2元-4ln24（16）（本题满分10分）设数列[a,)满足条件：=3,α,=1,an-2-n(n-1)a,=0(n≥2),S(x)是幂级数ax1=0的和函数(I)证明：S"(x)-S(x)=0(II)求S(x)的表达式Za,x,S(x)=)【解析】S(x)=na,xRaOn=l1En(n-1)a,xn-2 =s"(x)=Z(n+2)(n+1)au+2x1=2n=0s"(x)-S(x)=[(n+2)(n+1)a+2 -a, ]x"n=0因为n(n-1)a,-an-2=0,n≥2,所以(n+2)(n+1)an+2-a,=0(n≥0)[s"(x)- S(x) = 0,所以s(0)=a=3,s(0) = α =1.(II）?-1=0,=1,=-1，所以S(x)=C,e+C,e*又S(0)=3, S(0)=1, 所以C, =1,C, =2, S(x)=e- +2e*.(17)（本题满分10分)x)er+y的极值求函数f(x,y)=(y+3x3x3y(x?+y+【解析】令)=0,)=0(1+)733[x=1[x=-]4或解得2y=y=33

其中 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 2 1 .2 2 2 2 1 1 1 1 = x t x t dx tdt x t t dx tdt dt dt dt x t t t = = = = = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] 1 0 2 arctan 2(1 ) 4 t t π = − = − 所以原式 4ln 2 8(1 ) 4 π = − + − = − π − 8 2 4ln 2 (16)(本题满分 10 分) 设数列{an}满足条件： 0 1 2 3, 1, ( 1) 0( 2), n n a a a n n a n = = − − = ≥ − S x( ) 是幂级数 0 n n n a x ∞ = ∑ 的和函数 (I)证明： S x S x ′′( ) ( ) 0 − = (II)求 S x( ) 的表达式 【解析】 1 0 1 ( ) , ( ) , n n n n n n S x a x S x na x ∞ ∞ − = = = = ∑ ∑ ′ 2 2 2 0 ( ) ( 1) ( 2)( 1) n n n n n n S x n n a x n n a x ∞ ∞ − + = = ′′ = − = + + ∑ ∑ [ ] 2 0 ( ) ( ) ( 2)( 1) n n n n S x S x n n a a x ∞ + = ′′ − = + + − ∑ 因为 2 ( 1) 0, 2 n n n n a a n − − = ≥ − ，所以 2 ( 2)( 1) 0( 0). n n n n a a n + + − = ≥ + 所以 0 1 ( ) ( ) 0, (0) 3, (0) 1. S x S x S a S a  ′′ − =   = =   ′ = = （II） 2 1 2 λ λ λ − = = = − 1 0, 1, 1，所以 1 2 ( )= x x S x C e C e − + . 又 S S (0) 3, (0) 1 = = ′ ，所以 1 2 C C = = 1, 2 , ( )= 2 . x x S x e e − + (17)(本题满分 10 分) 求函数 3 ( , ) ( ) 3 x x y f x y y e + = + 的极值 【解析】令 3 2 ( ) 0 3 x y x x f e x y + ′ = + + = ， 3 (1 ) 0 3 x y y x f e y + ′ = + + = 解得 1 4 3 x y  =   = −   或 1 2 3 x y  = −   = −  

f =e+(2x+2x2 +y+f"=e(l+x?+y+f,=e++(2+y4A=f(-)=3e, B=fe-))=e3 , C=f4)=eAC- B2=3e3e3 =2e3 ≥>0又A>0+所以1,为f(x,)的极小值点，极小值为fA =k) c-因为AC-B<0,所以(-1,-)不是f(s,)的极值点3(18)（本题满分10分）设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数，且f(1)=1.证明：（I）存在5E（0,1)，使得f（)=1()存在nE(-1,1)，使得f"(n)+f(n)=1,【解析】（I）由于f(x)在[-1,1]上为奇函数，故f(-x)=-f(x)，则f(O)=0令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0,1)上连续，在(0,1)内可导，且F(1)=f(1)-1=0F(O)=f(0)-0=0，由罗尔定理，存在e(0,1)，使得F()=0,即f()=1（II）由于f(x)在[-1,1]上为奇函数，则f(x)在[-1,1]上为偶函数，所以由（1）f'(-)= f'(5)=1令G(x)=e[f'(x)-1]，则G(x)在[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且G()=G(-)=0，由罗尔定理存在nE(-,)C(0,1)，使得G(n)=0即 f"(n)+ f'(n)=1.(19)（本题满分10分）设直线L过A(1,0,O)，B(0,1,1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面E，与平面

3 2 (2 2 ) 3 x y xx x f e x x y + ′′ = + + + 3 2 (1 ) 3 x y xy x f e x y + ′′ = + + + 3 (2 ) 3 x y yy x f e y + ′′ = + + 1 3 4 1, 3 3 A f e xx −     −   = = ′′ ， 1 3 4 1, 3 B f e xy −     −   = = ′′ ， 1 3 4 1, 3 C f e yy −     −   = = ′′ 2 2 2 2 3 3 3 AC B e e e 3 2 0 − − − − = − = > 又 A > 0 所以 4 1, 3     −   为 f x y ( , ) 的极小值点，极小值为 1 3 4 1, 3 f e −     − = −   5 3 2 1, 3 A f e xx −     −   = = − ′′ ， 5 3 2 1, 3 B f e xy −     −   = = ′′ ， 5 3 2 1, 3 C f e yy −     −   = = ′′ 因为 2 AC B− < 0 ，所以 2 ( 1, ) 3 − − 不是 f x y ( , ) 的极值点. (18)(本题满分 10 分) 设奇函数 f x( ) 在[ 1,1] − 上具有 2 阶导数，且 f (1) 1 = . 证明：（I）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f ′( ) 1 ξ = . （II）存在η ∈ −( 1,1) ，使得 f f ′′ ′ ( ) ( ) 1 η η + = . 【解析】（I）由于 f x( ) 在[ 1,1] − 上为奇函数，故 f x f x ( ) ( ) − = − ，则 f (0) 0 = 令 F x f x x ( ) ( ) = − ，则 F x( )在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且 F f (1) (1) 1 0 = − = F f (0) (0) 0 0 = − = ，由罗尔定理，存在ξ ∈(0,1) ，使得 F′( ) 0, ξ = 即 f ′( ) 1. ξ = （II）由于 f x( ) 在[ 1,1] − 上为奇函数，则 f x ′( )在[ 1,1] − 上为偶函数，所以由（1） f f ′ ′ ( ) ( ) 1 − = = ξ ξ . 令 ( ) ( ) 1 [ ] x G x e f x = − ′ ，则G x( ) 在[ 1,1] − 上连续，在(−1,1) 内可导，且 G G ( ) ( ) 0 ξ ξ = − = ，由罗尔定理存在η ξ ξ ∈ − ⊂ ( , ) (0,1) ，使得G′( ) 0 η = 即 f f ′′ ′ ( ) ( ) 1 η η + = . (19)(本题满分 10 分) 设直线 L 过 A(1,0,0) ， B(0,1,1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 Σ ， Σ 与平面

z=0,z=2所围成的立体为2.（I)求曲面Z的方程，（II)求Q的形心坐标【解析】x-1-y-z(I)AB=(-1,1,1)，所以直线L方程-1""1设Z上任一点y由直线L上的点F(y)绕z轴旋转一周得到，则[x?+y?=x?+y[z= Zo=，所以方程为+=(1-2)+2=22-22+1-1 1-=!(II) x2+y2-2(z-22设形心坐标（x,y,z），几何体关于xozyoz对称，x=y=0zdzdxdy[]] zdv(2-+z)dz_7.2+J dydz51(2z2-2z+1)dzdxdyJoaP+y's22-22+1(20)（本题满分11分）110q设A=B当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B.并求所01bJ有矩阵CXX2【解析】设C=由于AC-CA=B,故X(rG ( )-G G -G )x+ax$+ax(x+x2ax)- ax)-(b)(+xax)大x

z z = = 0, 2所围成的立体为Ω .(I)求曲面Σ 的方程，(II)求Ω 的形心坐标. 【解析】 (I) = −( 1,1,1) uuur AB ， 所以直线 L 方程 1 1 1 1 − = = − x y z 设Σ 上任一点 y 由直线 L 上的点 F y( ) 绕 z 轴旋转一周得到，则 2 2 2 2 0 0 0  + = +   = x y x y z z 又 0 0 0 1 1 1 1 − = = − x y z ，所以Σ 方程为 2 2 2 2 2 x y z z z z + = − + = − + (1 ) 2 2 1 (II) 2 2 2 1 1 2( ) 2 2 x y z + − − = 设形心坐标( , , ) x y z ，几何体关于 xoz yoz , 对称， x y = = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2 2 0 0 2 2 1 (2 ) 7 . 5 (2 2 1) x y z z x y z z zdv zdz dxdy z z z dz z dv dz dxdy z z dz π π Ω + ≤ − + Ω + ≤ − + − + = = = = − + ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ (20)(本题满分 11 分) 设 1 1 0 a A   =     , B = 0 1 1 b       ，当 a b ， 为何值时，存在矩阵C 使得 AC CA B − = .并求所 有矩阵C . 【解析】设 1 2 3 4 x x C x x   =     ,由于 AC CA B − = ,故 1 1 0   a     1 2 3 4 x x x x       − 1 2 3 4 x x x x       1 1 0   a     = 0 1 1 b       , 即 1 3 2 4 1 2 1 1 2 3 4 3 x ax x ax x x ax x x x x ax   + +   +   − =       + 0 1 1 b      

-x, +ax, =0ax, +x +ax, =1(I)x--x=1x-ax,=b由于矩阵C存在，故方程组（I)有解.对（I)的增广矩阵进行初等行变换：00-101010a1.10000001-101aL010100000a+1a+1-:.-a0o0b000b00：(0b10-a方程组有解，故a+1=0,b=0，即a=-1,b=0，此时存在矩阵C使得AC-CA=B.10-1 : 11000当a=-1,b=0时，增广矩阵变为00000(0000:0,x为自由变量，令x=1,x4=0，代为相应齐次方程组，得xz=-1,x=1令=0,x4=1，代为相应齐次方程组，得x,=0,=1.故与,=(1,-1,1,0)"，5=(1,0,0,1)，令,=0,x=0，得特解n=(1,0,0,0)，方程组的通解(k,+k,+1 -k为x=k5+k,5,+=(k,+k,+1,-k,k,k,),所以C=kk2(21)（本题满分11分)设二次型f()=(a+a,+a）+(+b+b)，记(b)ab,αB:(b)a(I)证明二次型f对应的矩阵为2αα+ββT：(II)若α,β正交且为单位向量，证明f在正交交换下的标准形为2y+y【解析】证明：(I)f(x，x,)=2(a+azx+a)+(b+b+b)

2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 0 1 1 x ax ax x ax x x x x ax b  − + =  − + + =  − − =    − = (I) 由于矩阵C 存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换： 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a a a a b b     − − −     − − → − − − +     − M M M M M M M M 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a a b   − −   − → +   M M M M 方程组有解，故a + =1 0 , b = 0，即a b = − = 1, 0 ，此时存在矩阵C 使得 AC CA B − = . 当 a b = − = 1, 0 时，增广矩阵变为 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   − −     M M M M 3 4 x x, 为自由变量，令 3 4 x x = = 1, 0，代为相应齐次方程组，得 2 1 x x = − = 1, 1. 令 3 4 x x = = 0, 1，代为相应齐次方程组，得 2 1 x x = = 0, 1 . 故 1 ( ) 1, 1,1,0 T ξ = − , 2 ( ) 1,0,0,1 T ξ = ,令 3 4 x x = = 0, 0，得特解 ( ) 1,0,0,0 T η = ，方程组的通解 为 1 1 2 2 1 2 1 1 2 + + =( + +1,- , , )T x k k k k k k k = ξ ξ η ,所以 1 2 1 1 2 k k k 1 C k k   + + − =     . (21)(本题满分 11 分) 设二次型 2 2 1, 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 f x x x a x a x a x b x b x b x ( , ) ( ) ( ) = + + + + + ，记 1 2 3 a a a α     =       ， 1 2 3 b b b β     =       （I） 证明二次型 f 对应的矩阵为2 T T αα ββ + ； （II） 若α β, 正交且为单位向量，证明 f 在正交交换下的标准形为 2 2 1 2 2y y + . 【解析】证明：(I) 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 f x x x a x a x a x b x b x b x ( , , ) 2( ) ( ) = + + + + +