《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第六节 多元函数的极值及其求法

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•第7章 第六节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值

多元函数的极值一、定义:若函数 z= f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有f(x,y)≤f(xo,yo) (或 f(x,y)z f(xo,yo))则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点例如：z=3x2+42在点（0,0）有极小值在点（0,0）有极大值z= /x? +y?在点（0.0）无极值z=xV目录上页返回结束机动下页

x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z

定理1（必要条件）函数z=f(x,y）在点（xo,yo）存在且在该点取得极值，则有偏导数fi(xo, yo) = 0, J,(xo, yo) = 0证：因z=f(x,J)在点(xo,yo）取得极值,故z=f(x,yo）在x=xo取得极值z=f(xo,)在=yo取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立说明：使偏导数都为0的点称为驻点但驻点不一定是极值点例如，z=xy有驻点(0,0）,但在该点不取极值目录上页下页返回结束机动

说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x  x0 y0 = f y  x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故

定理2(充分条件)若函数z= f(x,y)在点（xo,yo）的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fx(xo,yo)= 0, f,(xo, yo)= 0令 A = fxx(xo, yo), B= fxy(xo,yo), C = fyy(xo,yo)A0时取极小值2)当AC-B2<0 时,没有极值3)当 AC-B2=0 时,不能确定,需另行讨论证明见第九节(P65)目录上页下页返回结束机动

时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P65) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f ( x, y ) 在 点 ( x0 , y0 ) 的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 A C − B  0 2 A C − B  0 2 A C − B =

例1. 求函数 f(x,J)=x3 -3 +3x2 +3y2-9x的极值解：第一步求驻点f(x,y)=3x2+6x-9=0解方程组f,(x,y)= -3y2 +6y=0得驻点:（1,0)，（1,2)，(-3,0)，（-3,2)CB判别.求二阶偏导数第二步fxr(x,y)=6x+6, fxy(x,y)=0, fyy(x,y)= -6y+6在点(1,0)处A=12,B=0,C=6AAC-B2=12×6>0, A>0：f(1,0)=-5为极小值上页目录下页返回结束机动

例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f ( x, y) = 6 x + 6 , x x f ( x, y) = 0 , x y f ( x, y) = −6 y + 6 y y 1 2 6 0 , 2 A C − B =   A  0

在点(1,2) 处 A =12, B=0, C=-6AC- B2 =12×(-6)0, A<0,：f(-3,2)=31为极大值fxx(x,y)=6x+6, fx(x,y)=0, fyy(x,y)=-6y+6BCA上页目录下页返回结束机动

在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f ( x, y) = 6 x + 6 , x x f ( x, y) = 0 , x y f ( x, y) = −6 y + 6 y y 1 2 6 0 , 2 A C − B = −   1 2 ( 6) 0 , 2 A C − B = −  −  A  0 , 在点(1,2) 处 1 2 ( 6) 0 , 不是极值; 2 A C − B =  −  A B C

例2.讨论函数 z=3 +3及z=(x2 +2)2在点(0,0)是否取得极值解：显然（0,0都是它们的驻点，并且在(0,0)都有AC-B?=0在（0.0）点邻域内的取值=s+1正可能为负，因此z(0,0)不是极值O当x2 + 2 0时, z=(x2 +2)>≥(0.0) =0因此 z(0,0)=(x2 +2) [(0,0) =0为极小值,目录上页返回结束机动下页

例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当 x 2 + y 2  时 2 2 2 z = ( x + y ) 0  z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为

二、#最值应用问题依据函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值驻点最值可疑点边界上的最值点特别，当区域内部最值存在，，且只有一个极值点P时)值>f(P)为最小(大)值f(P)为极小(大)目录上页返回结束机动下页

二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点    驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f ( P ) 为极小(大) 值 f ( P ) 为最小(大) 值 依据

例3.某厂要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？m解：设水箱长,宽分别为x，ym，则高为xy则水箱所用材料的面积为x>0A=2(xy +y+x·)=2(xy+2+2)V>0Ax =2(y-)=0令得驻点（3/2,32）(A, =2(x -2)= 0根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可宽均为即当长、断定此唯一驻点就是最小值点3/2高为= /2 时,水箱所用材料最省,目录上页返回结束机动下页

例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? m, 2 x y ( ) x y x y 2 2 = 2 + + 2( ) 0 2 2 = − = x x A y 2( ) 0 2 2 = − = y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. ( 2 , 2 ) 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 = 