《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第5章 定积分及其应用 第四节 反常积分

第四节反常积分第5章积分限有限常义积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分下页返回

第5章 二、无界函数的反常积分 第四节 反常积分 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分)

一、无穷限的反常积分引例.曲线：和直线x=1及x轴所围成的开口曲V=中边梯形的面积可记作A="其含义可理解为dxblimA= limAJb-→+8b->+0人= limb→+8目录上页下页返回结束机动

一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作  + = 1 2 d x x A 其含义可理解为  → + = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim       = − → +       = − b→ + b 1 lim 1 = 1

定义1.设f(x)eC[a,+o0),取b>α,若-blim (~f(x)dxb-+oJa记作存在，则称此极限为f（x）的无穷限反常积分cbtdf(x)dx= limn /f(x)dxb+ooJa+8这时称反常积分f(x）dx收敛：如果上述极限不存在Ja+8就称反常积分f(x)dx发散Ja类似地，若f(x）EC（-0,bl，则定义.6J-f(x)dx= lim f(x)dxa-0a目录上页下页返回结束机动

定义1. 设 f ( x)  C [a , + ), 取 b  a , 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f ( x)  C (−  , b], 则定义

若 f(x)EC(-80,+o0),则定义cbf[- f(x)dx = lim(f(x)dx+ limf(x)dxa--Jab→+Jc（c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称f(x)dx发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明：上述定义中若出现180-80,并非不定型它表明该反常积分发散目录上页下页返回结束机动

若 f ( x)  C (−  , + ), 则定义 f x x c a a lim ( ) d  → − f x x b b c lim ( ) d  → + + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现  −  , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散

若F(x)是f(x）的原函数，引入记号F(+oo)= lim F(x); F(-oo)= lim F(x)X→+X→-00则有类似牛一莱公式的计算表达式+8= F(+o0)- F(a)f(x)dx= F(x)ab["m f(x)dx = F(x)= F(b)- F(-00)18+8[- f(x)dx = F(x)= F(+)- F(-8)18目录上页下页返回结束机动

引入记号 F ( ) lim F ( x) ; x→ + +  = F ( ) lim F ( x) x→ − −  = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( ) d  + = F ( x) = F (+ ) − F (a) f x x b ( ) d − = F ( x) = F (b) − F (− ) f (x) dx  + − = F ( x) = F (+  ) − F (−  )

dx+0例1.计算反常积分81+xdx+8+8解：Tarctanx+x-80X1+x12xdx+8X0对吗?思考：2181+x+8+xdx分析：原积分发散nol-1+x-8注意：对反常积分只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零的性质否则会出现错误目录上页下页返回结束机动

例1. 计算反常积分 解: + − = [ arctan x ] ) 2 (  − − 2  = =  o x y 2 1 1 x y + = 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误

dr+8当p>1 时收敛；p≤l例2. 证明第一类p积分toa时发散证：当p =1 时有dx+8+8=[1n|x| ]Tar=+8X当p≠1 时有8p1p-1-p因此,当p>1 时,反常积分收敛，其值为p-1当p≤1时，反常积分发散目录上页下页返回结束机动

例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有   + = a ln x = +  − +    −  = a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p  1 , p  1 1 1 − − p a p 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . +  , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散

+8te-pt dt (p>0)例3.计算反常积分+8+8e-pt解：原式=二e-ptdt0p0PJ+8ept20pD上页机动目录下页返回结束

例3. 计算反常积分 解: p t e p t − 原式 = −  + − + 0 d 1 e t p p t pt e p − = − 2 1 2 1 p =

二、无界函数的反常积分与x轴,轴和直线x=1所围成的引例：曲线V=开口曲边梯形的面积可记作ldxA=?VJoxX其含义可理解为Al dxA= limlim2/x86→0+JcVx0+= lim 2(1- V)= 26-0+目录上页下页返回结束机动

二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 +  → = 1 0 d lim   x x A   1 lim 2 0 x → + = lim 2(1 ) 0   = − → + = 2 x y 1 = 0 A x y 

定义2.设f(x)εC（α,bl,而在点α的右邻域内无界.b取>0.若极限limf（x)dx存在，则称此极限为函80+Ja+8数f(x)在[α，b]上的反常积分,记作7b[~f(x)dx = limf(x)dx0+Ja+eb这时称反常积分1~f(x)dx收敛；如果上述极限不存在O8就称反常积分f(x)dx发散C类似地，若 f(x)eC[α,b),而在 b 的左邻域内无界rbcb-8则定义f(x)dxα f(x)dx = lim-0+Ja目录上页下页返回结束机动

定义2. 设 f ( x)  C (a , b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f ( x)  C [a , b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 则称此极限为函