《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第3章 微分中值定理与导数的应用 第五节 曲线的凹凸性

第五节西数曲线的凹凸性第3章曲线的凹凸性二、曲线的拐点下页返回

第3章 第五节函数曲线的凹凸性 一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点

一、曲线的凹凸性曲线的凹凸性的定义设函数f(x）在区间I上连续，如果对I上任意两点X1,X2恒有f(xi)+ f(x2)1+X222则称f（x）在I上的图形是f（x）（向上）凹的（或凹弧）;如果对I上任意两点X1,X2恒有(i +x2)>f(xi)+ f(x2)22则称f(x)在I上的图形是f(x）（向上）凸的J（或凸弧）目录上页下页返回结束机动

一、曲线的凹凸性 曲线的凹凸性的定义 设函数 f x( ) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 1 2 x x, 恒有 1 2 1 2 + ( ) + ( ) ( ) , 2 2 x x f x f x f 如果对 I 上任意两点 1 2 x x, 恒有 则称 f x( )在 I上的图形是 f x( ) ( 向上) 凸的 (或凸弧)

一、曲线的凹凸性定义.设函数f(x)在区间I上连续，Vxi,x2EIf(xi)+ f(x2)+X2则称f(x)的(1）若恒有f22图形是凹的；f(x)+f(x)Xi+x(2）若恒有f(则称f(x)的22拐点图形是凸的连续曲线上有切线的凹凸分界点x称为拐点目录上页下页返回结束机动

A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 一、曲线的凹凸性 y O x 2 x 1 x 2 1 2 x +x y O x 2 x 1 x 2 1 2 连续曲线上有切线的凹凸分界点 x +x 称为拐点 . y O x 拐点

定理2.(凹凸判定法）设函数f(x)在区间I上有二阶导数(1)在I内 f"(x)>0,则f(α)在I内图形是凹的 ；+(2)在I内 f"(x)0时, {(x)f(2)> f(5),说明(1)成立;2证毕(2)目录上页下页返回结束机动

定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f  ( ) ( ) 2 f x = f  两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f   + f   当 f (x)  0时, 说明 (1) 成立;   (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x +x 记  = + f ( ) ( ) x1 − + f ( ) ( ) x2 −  2 ! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 ! ( ) 1 f  + 2 1 (x −  ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f  ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 

定理设f(x)在区间[a,b上连续，在(a,b）内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内f"(x)>0,则f(x)在[a,bl上的图形是凹的；(2) 若在(a,b) 内 f"(x)<0,则f(x) 在[a,b]上的图形是凸的证明(1)设xi,x2(xi<x2)为[a,b]内任意两点，记X2 - Xo = Xo - X1 = h,则Xi = xo- h, X2 =xo + h.由拉格朗日公式，得目录上页下页返回结束机动

定理 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内具有 一阶和二阶导数，那么 (1) 若在 ( , ) a b 内 f x ( ) > 0, 图形是凹的； 则 f x( ) 在 [ , ] a b 上的 若在 ( , ) a b 内 f x ( ) < 0, 图形是凸的． (2) 则 f x( ) 在 [ , ] a b 上的 证明 (1) 设 x x 1 2 , ( < ) x x 1 2 为 [ , ] a b 内任意两点，记 x x x x h 2 0 0 1 − − = = , 则 − x x h 2 0 = + . x x h 1 0 = , 由拉格朗日公式，得

f(xo +h)- f(xo) = f(xo +0jh)h, (0 <01 <1),f(xo)-f(xo -h)= f'(xo -02h)h, (0<02 <1),两式相减，得f(xo +h)+ f(xo -h)-2f(xo)=[f(xo + 0jh)-f'(xo -02h)lh,f'(x)在[xo-02h,xo+0jh]上满足拉格朗日公式条件，于是[f'(xo +djh)- f'(xo -02h)|h= f"()(01 +02)h, (xo -02h<=<xo +01h)目录上页下页返回结束机动

−  0 0 0 1 f x h f x f x ( + ) ( ) = ( + ) , θ h h − − −  0 0 0 2 f x f x h f x ( ) ( ) = ( ) , θ h h 1 (0 < < 1), θ 2 (0 < < 1), θ 两式相减，得 f x h f x h f x ( + ) + ( ) 2 ( ) 0 0 0 − − = [ ( + ) ( )] , f x   0 1 0 2 θ h f x − −θ h h f x ( ) 在 [ , + ] x0 2 0 1 −θ h x θ h 上满足拉格朗日公式条 件，于是 [ ( + ) ( )] f x   0 1 0 2 θ h f x − −θ h h  2 = ( )( + ) , 1 2 f ξ θ θ h ( < < + ), x0 2 0 1 −θ h ξ x θ h

由(1)的条件知，f"()>0，于是f(xo + h)+ f(xo -h)-2f(xo)>0,即(xo +h)+ (x0 -h) > f(x0),2也就是f(xi)+ f(x2)X+X222所以f(x在[a,b上的图形是凹的同理可证（2）目录上页下页返回结束机动

由 (1) 的条件知， f ( ) > 0, ξ 于是 f x h f x h f x > ( + ) + ( ) 2 ( ) 0, 0 0 0 − − 即 0 0 − 0 ( + ) + ( ) ( ), 2 f x h f x h > f x 也就是 1 2 1 2 ( ) + ( ) + ( ), 2 2 f x f x x x > f 所以 f x( ) 在 [ , ] a b 上的图形是凹的． 同理可证 (2)

例1判断曲线y=lnx的凹凸性解因为函数 =lnx 的定义域为(O,+o)，且所以曲线y=Inx在的定义域（O,+oo)内是凸的例2判断曲线=x3的凹凸性。因为函数 =x3 的定义域为(-o0,+)，且解y'=3x?, y"= 6x,又在（-00,0)内，J"<0，所以J=x3在(-0,0)内是凸的。目录上页下页返回结束机动

例1 判断曲线 y x = ln 的凹凸性． 且  1 y = , x  − 2 1 y = < 0, x 解 因为函数 y x = ln 的定义域为 (0,+ ),  所以曲线 y x = ln 在的定义域 (0,+ )  内是凸的． 例２ 判断曲线 y x = 3 的凹凸性． 且  2 y x = 3 , y x  = 6 , 解 因为函数 y x = 3 的定义域为 ( ,+ ), −  又在 ( ,0) − 内， y < 0, 是凸的． 所以 3 y x = 在 ( ,0) − 内

例3.判断曲线y=x的凹凸性解: y'= 4x3, J"=12x2当x±0时，y">0；x=0时，y"=0x0故曲线V=x4在（-00，+0）上是向上凹的说明：1）若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号则曲线的凹凸性不变根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下2）若曲线y=f(x)在点xo连续，f"(xo）=0或不存在但f"(x)在Xo两侧异号，则点(xo,f(xo))是曲线y=f(x)的一个拐点上页目录下页返回结束机动

x y O 例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y  = x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号

二、曲线的拐点拐点定义曲线的凹凸分界点称为拐点求拐点步骤：(1) 求f"(x);(2）令f"(x)=0，解出该方程在区间I内的实根并求出在I内f"(x）不存在的点；(3）对于（2)中求出的每个实根或f"(x)不存在的点Xo，检查f"(x)在xo 左右两侧的符号，若符号相反，则点(xo,f(xo))为拐点；若符号相同，则点(xo,f(xo))不是拐点。上页目录下页返回结束机动

二、曲线的拐点 拐点定义 曲线的凹凸分界点称为拐点． 求拐点步骤： (1) 求 f x ( ); (2) 令 f x ( ) = 0, 解出该方程在区间 I 内的实根， 并求出在 I 内 f x ( ) 不存在的点； (3) 对于 (2) 中求出的每个实根或 f x ( ) 不存在的点 0 x , 检查 f x ( ) 在 0 x 左右两侧的符号，若符号相反， 则点 ( , ( )) x f x 0 0 为拐点；若符号相同，则点 0 0 ( , ( )) x f x 不是拐点．