《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第5章 定积分及其应用

第五章定积分及其应用教学提示：定积分是积分学的另一个基本概念．本章我们将阐明定积分的定义，基本性质以及计算：此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来成为一个有机的整体。最后把定积分的概念推广到两类广义积分，并讨论关于定积分在几何方面的应用.教学要求：理解定积分的概念和几何意义；掌握定积分的基本性质；理解积分上限的函数，会求其导数，掌握微积分基本公式：熟练掌握定积分的计算方法；熟练掌握几种特殊形式定积分的计算：理解微元法的思想，掌握用微元法解决实际问题的步骤：熟练掌握用定积分表达和计算一些几何量：了解广义积分的概念，会计算反常积分，教学重点：定积分的概念、几何意义、基本性质；积分上限的函数及性质；定积分的计算方法：微元法：用定积分表达和计算一些几何量，教学难点：定积分的计算：用微元法解决实际问题第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设f(x)为闭区间[a,b]上非负连续函数.由曲线f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形(图5-1)称为f(x)在[a,b]上的曲边梯形，其中曲线弧称为曲边yx-X=bx1-图 5-1求曲边梯形的面积，我们要解决两个问题：一个是给出面积的定义，一个是找出面积的计算方法，由于曲边梯形底边上各点处的高f(x)在区间[a,bl上随x的变化而变化，所以它的面积不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算．注意到曲边梯形的高f(x)在区间[α,上是连续变化的，当区间的长度很小时，高f(x)也相应地也变化很小。因此，如果我们用一些分点将曲边梯形的底边[a,b]分割成若干个小区间，过各分点作x轴的垂线，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，在各小曲边梯形的底边上任取一点作x轴的垂线，以该垂线与曲边的交点到底边的距离为高，以小曲边梯形的底为底作小矩形，用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，将所有小矩形面积求和，便得到所求曲边梯形面积的近似值．显然，底边分割得越细，近似程度就越高，因此，若无限地细分[α,b]，使每个小区间的长度都趋于零，这时曲边梯形面积的近似值就转化为精确值，根据上面的分析，下面我们分四步来解决曲边梯形的面积问题：分割_设所求曲边梯形的面积为A，在[a,b]中任意插入n-1个分点a=x<x<<x,=b，把[a,b]

第五章 定积分及其应用 教学提示: 定积分是积分学的另一个基本概念．本章我们将阐明定积分的定义，基本性质以及计 算．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究 的微分和积分彼此互逆地联系起来成为一个有机的整体．最后把定积分的概念推广到两类广义积分， 并 讨论关于定积分在几何方面的应用． 教学要求：理解定积分的概念和几何意义；掌握定积分的基本性质；理解积分上限的函数，会求其 导数，掌握微积分基本公式；熟练掌握定积分的计算方法；熟练掌握几种特殊形式定积分的计算；理解 微元法的思想,  掌握用微元法解决实际问题的步骤；熟练掌握用定积分表达和计算一些几何量；了解广 义积分的概念，会计算反常积分． 教学重点：定积分的概念、几何意义、基本性质；积分上限的函数及性质；定积分的计算方法；微 元法；用定积分表达和计算一些几何量． 教学难点: 定积分的计算；用微元法解决实际问题． 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 1．曲边梯形的面积 设 f (x) 为闭区间[a,b ]上非负连续函数． 由曲线 f (x) ， 直线 x = a 、x = b 及 x 轴所围成的平面图形(图 5­1)称为 f (x) 在[a,b ]上的曲边梯形，其中曲线弧称为曲边． 图 5­1  求曲边梯形的面积，我们要解决两个问题：一个是给出面积的定义，一个是找出面积的计算方法． 由于曲边梯形底边上各点处的高 f (x) 在区间[a,b ]上随 x 的变化而变化，所以它的面积不能直接按 矩形或直角梯形的面积公式去计算．注意到曲边梯形的高 f (x) 在区间[a,b ]上是连续变化的，当区间的 长度很小时，高 f (x) 也相应地也变化很小．因此，如果我们用一些分点将曲边梯形的底边[a,b ]分割成 若干个小区间，过各分点作 x 轴的垂线，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，在各小曲边梯形的底 边上任取一点作 x 轴的垂线，以该垂线与曲边的交点到底边的距离为高，以小曲边梯形的底为底作小矩 形，用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，将所有小矩形面积求和，便得到所求曲边梯形面积的近似 值．显然，底边分割得越细，近似程度就越高．因此，若无限地细分[a,b ]，使每个小区间的长度都趋 于零，这时曲边梯形面积的近似值就转化为精确值． 根据上面的分析，下面我们分四步来解决曲边梯形的面积问题： 分割 设所求曲边梯形的面积为 A ，在[a,b ]中任意插入n -1个分点 0 1 n a = x < x < ××× < x = b ，把[a,b]

139第一节定积分的概念与性质分成n个子区间[x-,]，i=,2,n，其长度记为Ax,=x,-x-1近似代替在每个子区间[x-1,,]上任取一点,，作以[x-I,]为底，以(5)为高的小矩形，用其面积f()Ax,近似代替小曲边梯形的面积A,(5)A（i=1,2,,n)近似求和将n个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值A~f(SAx (=l取极限记入=maxAx,Ar,Ax,)，当无限细分区间[a,b]使每个小区间的长度都趋于零，即入→0时（这时分段数n无限增大，即n→），如果n个小矩形的面积之和的极限存在，我们就很自然TZf(5)Ax, .地将n个小矩形面积之和的极限定义为曲边梯形的面积，即A=lim150132．变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，其速度v是时间t的连续函数v=v(t)：试求物体从t=a到t=b在这一段时间内所经过的路程S.对于匀速直线运动，即v=v(）=常量，我们有公式路程=速度×时间．但是，在我们的问题中，速度v=(）不是常量而是随时间变化的变量，因此，所求路程S不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算，然而，物体运动的速度函数v=()是连续变化的，在很短一段时间内，速度的变化很小，近似于匀速，因此，如果把时间间隔分小，在小段时间内可以用“匀速代替变速”，而且时间间隔越短，这种近似代替的精确度就越高．这样，我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．具体计算步骤如下：分割在时间[a,b]中任意插入n-1个分点a=t<1,<…<1,=b，把[a,b]分成n个子区间[,}]i=1,2,n，其长度记为Af,=1,-1-(图5-2)，物体在其内经过的路程记为△S,.0 a-41=b图5-2近似代替在时间[-,}]上任取一个时刻，以,时的速度v()来代替[t-,]上各时刻的速度，于是得到该时间段物体所经过的路程AS,的近似值，即△S,~v(5,)Af,，(i=1,2,",n)近似求和按匀速运动计算出这n个小时间段上的路程，求和得变速直线运动路程S的近似值S=FASVEAta(=l取极限记入=max(A,A2")，当→0时，取上述和式的极限，如果极限存在，即为所求变-速直线运动路程的精确值S=limZ（s）At20以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式的极限问题：在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念，二、定积分的定义定义设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内任取n-1个分点a=<<…<x,=b，把[a,b]分成n个子区间[x-,x]，i=1,2,",n，其长度记为A,=x-x-1·在每个子区间[x-,x,]上任取一点，作乘积f(5)Ax，再作和式

第一节 定积分的概念与性质 139 分成n 个子区间 1 [ , ] i i  x x - ，i =1,2,××× ,n ，其长度记为 i i i  1 x x x D = - - ． 近似代替 在每个子区间 1 [ , ] i i  x x - 上任取一点 i x ，作以 1 [ , ] i i  x x - 为底，以 ( ) i  f x 为高的小矩形，用其面 积 ( ) i i  f x Dx 近似代替小曲边梯形的面积 ( ) Ai i i  D ª f x Dx (i =1,2,××× ,n) ． 近似求和 将n 个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值 1 ( ) n i i  i  A f x x = ª Â D ． 取极限 记 m 1 2 ax{ , , , }n l = Dx Dx ××× Dx ，当无限细分区间[a,b ] 使每个小区间的长度都趋于零，即 l Æ 0 时（这时分段数n 无限增大，即n Æ • ），如果n 个小矩形的面积之和的极限存在，我们就很自然 地将n 个小矩形面积之和的极限定义为曲边梯形的面积，即 0 1 lim ( ) n i i  i  A f x l x Æ = = Â D ． 2．变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数v = v(t) ．试求物体从t = a 到t = b 在这一 段时间内所经过的路程S ． 对于匀速直线运动，即v = v(t) = 常量，我们有公式路程=速度×时间．但是，在我们的问题中，速 度v = v(t) 不是常量而是随时间变化的变量．因此，所求路程S 不能直接按匀速直线运动的路程公式来 计算．然而，物体运动的速度函数 v = v(t) 是连续变化的，在很短一段时间内，速度的变化很小，近似 于匀速．因此，如果把时间间隔分小，在小段时间内可以用“匀速代替变速”，而且时间间隔越短，这种 近似代替的精确度就越高．这样，我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问 题．具体计算步骤如下： 分割 在时间[a,b ]中任意插入 n -1 个分点 0 1 n a = t < t < ××× < t = b ，把[a,b ] 分成 n 个子区间 1 [ , ] i i  t t - ， i =1,2,××× ,n ，其长度记为 i i i  1 t t t D = - - (图 5­2)，物体在其内经过的路程记为 i  DS ． 图 5­2  近似代替 在时间 1 [ , ] i i  t t - 上任取一个时刻 i x ，以 i x 时的速度 ( ) i  v x 来代替 1 [ , ] i i  t t - 上各时刻的速度．于 是得到该时间段物体所经过的路程 i  DS 的近似值，即 ( ) i i i  DS ª v x Dt ， (i =1,2,××× ,n) ． 近似求和 按匀速运动计算出这n 个小时间段上的路程，求和得变速直线运动路程S 的近似值 1 1 ( ) n n i i i  i i  S S v x t = = = ÂD ª Â D ． 取极限 记 m 1 2 ax{ , , , }n l = Dt Dt ××× Dt ，当l Æ 0 时，取上述和式的极限，如果极限存在，即为所求变 速直线运动路程的精确值 0 1 lim ( ) n i i  i  S v t l x Æ = = Â D ． 以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学 方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结 构的和式的极限问题．在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平 均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由 此产生了定积分的概念． 二、定积分的定义 定义 设函数 f (x) 在[a,b ]上有定义，在(a,b ) 内任取 n -1个分点 0 1 n a = x < x < ××× < x = b ，把[a,b ] 分 成 n 个子区间 1 [ , ] i i  x x - ，i =1,2,××× ,n ，其长度记为 i i i  1 x x x D = - - ．在每个子区间 1 [ , ] i i  x x - 上任取一点 i x ，作 乘积 ( ) i i  f x Dx ，再作和式

140第五章定积分及其应用S=Zf(5)Ar,(=l并记入=max(Ax,Ar2,",Ax,}：如果不论对[a,b]怎样划分成子区间，也不论在子区间[x-,]上点5,怎样取，只要当入→0时，和S总趋于确定的值A，则极限值A称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称积分），记作f(x)dx，即1()dx=lm(5)Ar,10其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，「称为积分号，x称为积分变量，α称为积分下限b称为积分上限，[a,b]称为积分区间和式s通常称为函数f(x)积分和.如果积分和的极限存在，那么称函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，或者称函数f(x)在区间[α,b]上可积关于定积分的定义，再强调几点：第一，区间[a,b]划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n的大小来确定．因为尽管n很大，但每个子区间的长度不一定都很小，所以在求积分和的极限时，必须要求最长的子区间的长度元→0，这时必然有n→80第二，定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限，尽管积分和随着区间的不同划分及点的不同选取而不断变化着，但当元→0时却都以唯一确定的A值为极限，只有这时才说定积分存在，第三，当函数f(x)在区间[a,b]上可积时，[f(x)dx仅与被积函数f(x)以及积分区间[a,b]有关.如果被积函数与积分区间都保持不变，而积分变量x改变，比如变为1或u，那么，这时和S的极限A不变，即"f(x)dx='s(0dt='()du这就是说，定积分的值与被积函数和积分区间有关，而与积分变量x的记法无关，第四，从定义可以推出定积分存在的必要条件是被积函数f(x)在区间[α,b]上有界.如果不然，当把[a,b]任意划分成n个子区间后，f(x)至少在其中某一个子区间上无界.于是适当选取点5，能使f(5)的绝对值任意地大，也就是能使和S的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值，第五，我们仅对αb的情况可以作补充规定：当a=b时，规定f(x)dx=0；当a>b时，规定f(x)dx=-f(x)dx经过上述补充规定后，这样对于定积分的上下限的大小就没有什么限制了.其中第二条补充规定表示的是，交换定积分的上下限时，其定积分的值要变号，假定函数f(x)在区间[a,b]上可积，下面来说明上述两个补充规定的合理性。对于a=b的情形，由于积分和中每个△xr,都为零，从而每个f(,)Ar,都为零，于是积分和为零，因此积分和的极限为零，对于a>b的情形，如图5-1，只要我们从b到a来看（此时把该方向规定为正方向)，对区间[b,a]划分的n个子区间为[x，-]，…，[x,]，…，[,]，[]，而每个子区间的长度为A=-x，i=n,n-1,,2,1.这个划分与从a到b(此时把该方向规定为正方向)的区间[a,b]的划分一致，但每个子区间的长度Ax,与相应子区间长度Ax互为相反数，即Ax=-(x,-x)=-x，i=1,2,,n，于是

140 第五章 定积分及其应用 1 ( ) n i i  i  S f x x = = Â D ， 并记 m 1 2 ax{ , , , }n l = Dx Dx ××× Dx ．如果不论对[a,b ] 怎样划分成子区间，也不论在子区间 1 [ , ] i i  x x - 上点 i x 怎 样取，只要当l Æ 0 时，和S 总趋于确定的值 A ，则极限值 A 称为函数 f (x) 在区间[a,b ]上的定积分(简 称积分)，记作 ( ) b a f x dx Ú ，即 0 1 ( ) lim ( ) n b i i  a i  f x dx f x l x Æ = = Â D Ú ， 其中 f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式，Ú 称为积分号， x 称为积分变量，a 称为积分下限， b 称为积分上限，[a,b ]称为积分区间． 和式 S 通常称为函数 f (x) 积分和．如果积分和的极限存在，那么称函数 f (x) 在区间[a,b ] 上的定 积分存在，或者称函数 f (x) 在区间[a,b ]上可积． 关于定积分的定义，再强调几点： 第一，区间[a,b ]划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或 n 的大小来确定．因为尽管 n 很大， 但每个子区间的长度不一定都很小．所以在求积分和的极限时，必须要求最长的子区间的长度l Æ 0 ， 这时必然有n Æ • ． 第二，定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数 极限．尽管积分和随着区间的不同划分及点的不同选取而不断变化着，但当l Æ 0 时却都以唯一确定的 A 值为极限，只有这时才说定积分存在． 第三， 当函数 f (x) 在区间[a,b ]上可积时， ( ) b a f x dx Ú 仅与被积函数 f (x) 以及积分区间[a,b ]有关． 如 果被积函数与积分区间都保持不变，而积分变量 x 改变，比如变为t 或u ，那么，这时和 S 的极限 A 不 变，即 ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx = f t dt = f u du Ú Ú Ú ． 这就是说，定积分的值与被积函数和积分区间有关，而与积分变量 x 的记法无关． 第四，从定义可以推出定积分存在的必要条件是被积函数 f (x) 在区间[a,b ]上有界．如果不然，当 把[a,b ]任意划分成n 个子区间后，f (x) 至少在其中某一个子区间上无界． 于是适当选取点 i x ， 能使 ( ) i  f x 的绝对值任意地大，也就是能使和S 的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值． 第五，我们仅对a b 的情况可 以作补充规定：当a = b 时，规定 ( ) 0 b a f x dx = Ú ； 当a > b 时，规定 ( ) ( ) b b a a f x dx = - f x dx Ú Ú ． 经过上述补充规定后，这样对于定积分的上下限的大小就没有什么限制了．其中第二条补充规定表示的 是，交换定积分的上下限时，其定积分的值要变号． 假定函数 f (x) 在区间[a,b ]上可积，下面来说明上述两个补充规定的合理性． 对于 a = b 的情形，由于积分和中每个 i  Dx 都为零，从而每个 ( ) i i  f x Dx 都为零，于是积分和为零， 因此积分和的极限为零． 对于a > b 的情形， 如图 5­1， 只要我们从b 到 a 来看(此时把该方向规定为正方向)， 对区间[b,a ]划 分的n 个子区间为 1 [ , ] n n x x - ，.， 1 [ , ] i i  x x - ，.， 2 1 [x , x ]， 1 0 [x , x ]，而每个子区间的长度为 i i 1 i  x x x - D ¢ = - ， i = n,n -1,××× ,2,1．这个划分与从a 到b (此时把该方向规定为正方向)的区间[a,b ]的划分一致，但每个子 区间的长度 i  Dx 与相应子区间长度 i  Dx¢互为相反数，即 1 ( ) i i i i  x x x x - D ¢ = - - = -D ，i =1,2,××× ,n ，于是

141第一节定积分的概念与性质, f(x)dx=limZ(5)Ax/=lim((5,)(-Ax,)=-1im >f(x)dxf(5)Ax对于定积分，我们有这样一个重要问题：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件是可积？这个问题不作深入讨论，我们只给出如下两个函数可积的充分条件。定理1若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积定理2若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积利用定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表述如下：曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a，x=b及x轴所围成曲边梯形的面积A等于函数f(x)在[a,b)上的定积分f(x)dx=物体以变速v=v(t)(v(t)≥0)作直线运动，时刻a到时刻b所经过的路程S等于函数v(t)在时间[a,b)上的定积分S=J'v(t) dt.三、定积分的几何意义在区间[a,b)上f(x)≥0时，由前面讨论可知，定积分[f(x)dx表示由直线x=a、x=b、x轴及曲线f(x)所围成的曲边梯形的面积，在区间[a,b)上f(x)≤0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线x=a、x=b、x轴及曲线y=f(x)所围成曲边梯形面积的负值：事实上，["(x)dx=lim之(5,)Ax, =-limZ(-f(5)Ax)=-A .在区间[a,b]上(x)既取得正值又取得负值时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线x=a、x=b、x轴及曲线y=f(x)所围成的在x轴上方的曲边梯形面积减去在x轴下方的曲边梯形面积（图5-3)，即各部分面积的代数和。图5-3四、定积分的基本性质性质1若函数f(x)在[a,b)上可积，k为常数，则["kf(x)dx=kl"f(x)dx，即被积函数的常数因子可以提到积分号外面证因为函数f(x)在[a,b)上可积，根据定积分的定义，有["f(x)dx=limf(5)Ax，于是["k(x)dx=limk(5,)Ax,=klim(5)Ax,=J'(x)dx.性质2若函数f(x),g(x)在[a,b)上都可积，则[,[f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx

第一节 定积分的概念与性质 141 0 0 0 1 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ( )( )) lim ( ) ( ) n n n a b i i i i i i  b a i i i  f x dx f x f x f x f x dx l l l x x x Æ Æ Æ = = = = Â D ¢ = Â -D = - Â D = - Ú Ú ． 对于定积分，我们有这样一个重要问题：函数 f (x) 在[a,b ]上满足怎样的条件是可积？这个问题不 作深入讨论，我们只给出如下两个函数可积的充分条件． 定理 1  若 f (x) 在[a,b ]上连续，则 f (x) 在[a,b ]上可积． 定理 2  若 f (x) 在[a,b ]上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在[a,b ]上可积． 利用定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表述如下： 曲线 y = f (x)( f (x) ³ 0) ， 直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成曲边梯形的面积 A 等于函数 f (x) 在[a,b ]上 的定积分 ( ) b a A = f x dx Ú ． 物体以变速v = v(t)(v(t) ³ 0) 作直线运动， 时刻a 到时刻b 所经过的路程S 等于函数v(t ) 在时间[a,b ] 上的定积分 ( ) b a S = v t dt Ú ． 三、定积分的几何意义 在区间[a,b ]上 f (x) ³ 0 时，由前面讨论可知，定积分 ( ) b a f x dx Ú 表示由直线 x = a 、x = b 、x 轴及曲 线 f (x) 所围成的曲边梯形的面积． 在区间[a,b ]上 f (x) £ 0 时， 定积分 ( ) b a f x dx Ú 在几何上表示由直线 x = a 、x = b 、x 轴及曲线 y = f (x) 所围成曲边梯形面积的负值．事实上， 0 0 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ( ) ) n n b i i i i  a i i  f x dx f x f x A l l x x Æ Æ = = = Â D = - Â - D = - Ú ． 在区间[a,b ]上 f (x) 既取得正值又取得负值时， 定积分 ( ) b a f x dx Ú 在几何上表示由直线 x = a 、x = b 、 x 轴及曲线 y = f (x) 所围成的在 x 轴上方的曲边梯形面积减去在 x 轴下方的曲边梯形面积（图 5­3），即 各部分面积的代数和． 图 5­3  四、定积分的基本性质 性质 1  若函数 f (x) 在[a,b ]上可积，k 为常数，则 ( ) ( ) b b a a kf x dx = k f x dx Ú Ú ， 即被积函数的常数因子可以提到积分号外面． 证 因为函数 f (x) 在[a,b ]上可积，根据定积分的定义，有 0 1 ( ) lim ( ) n b i i  a i  f x dx f x l x Æ = = Â D Ú ，于是 0 0 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) n n b b i i i i  a a i i  kf x dx kf x k f x k f x dx l l x x Æ Æ = = = Â D = Â D = Ú Ú ． 性质 2  若函数 f (x), g(x) 在[a,b ]上都可积，则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x ± g x dx = f x dx ± g x dx Ú Ú Ú ．

142第五章定积分及其应用即两个函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）证因为函数f(x),g(x)在[a,b]上都可积，根据定积分的定义，有1[()dx=lm(5)Ar,limZg(5)Axg(x)dx:-'(x)±g(x)]dx=Im≥((5)±g(5)Ax, =lim≥(5)Ax,±m于是Eg(5,)Ar= I" (x)dx+ [" g(x)dx .性质2的更一般的结论是：'2k() dx=2k,1's(x)dx.其中f(x)在[a,b]上可积，k,为常数(j=1,2,,n).性质3设f(x)是可积函数，则[,(x)dx=,(x)dx+f(a)dx，对a,b,c任何顺序都成立.证先考虑a0(i=1,2,n)，所以上式右边的极限值为非负，从而性质4成立.推论1若f(x)在[a,b]上可积，且f(x)≥0，则[f(x)dx≥0例1比较e*dx与[(1+x)dx的大小解因为e*>1+x,(x>0)，所以fe'dx>f(1+x)dx.例2 设(x)在[a,b]上连续，J(x)≥0,xe[a,b]，且,f(x)dx=0，则f(x)=0 .证反证法。设f(x)在[a,b]上不恒为零，则存在x=(a,b)，使得f(x)>0，又f(x)在[a,b]上连续则f(x)在x处连续，所以存在U(xo,5)，当xeU(,)时，有(x)>0，此时了f(x)dx>0，所以"(x)dx=J (x)dx+ e (x)dx+ J (x)dx≥ J f(x)d>0.矛盾.推论2若f(x)在[a,b]上可积，且存在常数m和M，使对一切xe[a,b]有m≤f(x)≤M，则m(b-a)≤Jf(x)dx≤M(b-a)

142 第五章 定积分及其应用 即两个函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）． 证 因为函数 f (x), g(x) 在[a,b ]上都可积，根据定积分的定义，有 0 1 ( ) lim ( ) n b i i  a i  f x dx f x l x Æ = =  D Ú ， 0 1 ( ) lim ( ) n b i i  a i  g x dx g x l x Æ = =  D Ú ， 于是 0 1 [ ( ) ( )] lim [ ( ) ( )] n b i i i  a i  f x g x dx f g x l x x Æ = ± =  ± D Ú 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i  i i  f x g x l l x x Æ Æ = = =  D ±  D ( ) ( ) b b a a = f x dx ± g x dx Ú Ú ． 性质 2 的更一般的结论是： 1 1 ( ) ( ) n n b b j j j j  a a j j  k f x dx k f x dx = = Ú Â = Â Ú ． 其中 ( ) j  f x  在[a,b ]上可积， j  k  为常数( j =1,2,××× ,n) ． 性质 3  设 f (x) 是可积函数，则 ( ) ( ) ( ) b c b a a c  f x dx = f x dx + f x dx Ú Ú Ú ，对a,  b, c 任何顺序都成立． 证 先考虑a (i =1,2,××× ,n) ，所以上式右边的极限值为非负，从而性质 4 成立． 推论 1  若 f (x) 在[a,b ]上可积，且 f (x) ³ 0 ，则 ( ) 0 b a f x dx ³ Ú ． 例 1  比较 1 0 x  e dx Ú 与 1 0 (1+ x)dx Ú 的大小． 解 因为 1 ,( 0) x  e > + x x > ，所以 1 0 x  e dx Ú > 1 0 (1+ x)dx Ú ． 例 2  设 f (x) 在[a,b ]上连续， f (x) ³ 0, xŒ[a,b] ，且 ( ) 0 b a f x dx = Ú ，则 f (x) º 0． 证 反证法．设 f (x) 在[a,b ]上不恒为零，则存在 0 x Œ(a,b) ，使得 0 f (x ) > 0 ，又 f (x) 在[a,b ]上连续， 则 f (x) 在 0 x  处连续，所以存在 0 U(x ,d ) ，当 0 xŒU(x ,d ) 时，有 f (x) > 0 ，此时 0  0  ( ) 0 x  x  f x dx d d + - > Ú ，所以 0  ( ) ( ) b x  a a f x dx f x dx - d = + Ú Ú 0  0 0  ( ) ( ) x b x x  f x dx f x dx d d d + - + + ³ Ú Ú 0  0  ( ) 0 x  x  f x dx d d + - > Ú ． 矛盾． 推论 2 若 f (x) 在[a,b ]上可积，且存在常数m 和 M ，使对一切 xŒ[a,b]有 m £ f (x) £ M ，则 ( ) ( ) ( ) b a m b - a £ f x dx £ M b - a Ú ．

143第一节定积分的概念与性质例3估计(1+sinx)dx的值.解因为1≤1+sin2x≤2，所以1-(5元/4-元/4)≤[/ (1+sin2x)dx≤2.(5元/4-元/4),即(1+sin"x)dx≤2.0，则得mJ.'g(x)dx

第一节 定积分的概念与性质 143 例 3  估计 5 4 2 4 (1 sin x)dx p p + Ú 的值． 解 因为 2 1£1+ sin x £ 2，所以 5 4 2 4 1 (5 4 4) (1 sin x)dx 2 (5 4 4) p p × p -p £ + £ × p -p Ú ,即 5 4 2 4 (1 sin x)dx 2 p p p £ + £ p Ú ． 推论 3  若 f (x) 在[a,b ]上可积，则| f (x)| 在[a,b ]上也可积，且 ( ) ( ) b b a a | f x dx |£ | f x | dx Ú Ú ． 证 因为- | f (x)|£ f (x) £| f (x)|，由性质 4， ( ) ( ) ( ) b b b a a a - | f x |dx £ f x dx £ | f x |dx Ú Ú Ú ，即 ( ) ( ) b b a a | f x dx |£ f x dx Ú Ú ． 定理 5 (积分中值定理)若 f (x) 在[a,b ]上连续，则在[a,b ]上至少存在一点x ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx = f x b - a Ú ． 该式称为积分中值公式． 证 因为 f (x) 在[a,b ]上连续，所以 f (x) 在[a,b ]上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在[a,b ] 上，有 ( ) ( ) ( ) b a m b - a £ f x dx £ M b - a Ú ， 从而 1 ( ) b a m f x dx M  b a £ £ - Ú ． 根据连续函数的介值定理可知，在[a,b ]上至少存在一点x ，使 1 ( ) ( ) b a f x dx f  b a = x - Ú ，即 ( ) ( )( ) b a f x dx = f x b - a Ú ． 积分中值定理的几何意义：若 f (x) 在[a,b ]上连续且非负，则 f (x) 在[a,b ] 上的曲边梯形面积等于 与该曲边梯形同底，以 f (x )为高的矩形面积，如图 5­4 所示． 图 5­4  定理 6 (推广的积分中值定理)若 f (x), g(x) 在[a,b ]上连续，且 g(x) 在[a,b ]上不变号，则在[a,b ]上 至少存在一点x ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx = f x g x dx Ú Ú ． 证 不妨设在[a,b ]上有 g(x) ³ 0， 则 ( ) 0 b a g x dx ³ Ú ， 且在[a,b ]上 mg(x) £ f (x)g(x) £ Mg(x) ， 其中m,M  分别为 f (x) 在[a,b ]上的最小值与最大值．由此推出 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a m g x dx £ f x g x dx £ M g x dx Ú Ú Ú ． 若 ( ) 0 b a g x dx = Ú ，则由上式知 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = Ú ．从而在[a,b ]上任取一点作为x ，使得定理 6 成立． 若 ( ) 0 b a g x dx > Ú ，则得 ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx  m M  g x dx £ £ Ú Ú ．按连续函数的介值定理推出，在[a,b ]上至少存在一

144第五章定积分及其应用点，使[" f(x)g(x)dx=(5),T'g(x)dr所以定理6成立

144 第五章 定积分及其应 用 点 x ，使 ( ) ( ) ( ) ( ) ba baf x g x dx  f  g x dx = x Ú Ú ， 所以定理 6 成立．

145第二节微积分基本公式第二节微积分基本公式若已知f(x)在[α,b]上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出定积分计算的简捷的公式---牛顿-莱布尼兹公式(N-L公式).一、微积分基本定理1.变上限积分函数设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，x是[a,b]上一点，那么f(t)dx存在。当上限x在[a,b]上任意变动时，「f(1)dx都有唯一确定的值与之对应，因而在区间[a,b]上可以定义一个函数F(x)=J f(t)dt,a≤x≤b,称之为函数f(x)在区间[a,b]上的变上限积分函数，简称变上限积分函数或变上限积分：其几何意义如图5-5中阴影部分的面积所示.1图5-52.微积分基本定理微积分基本定理不但回答了变上限积分函数F(x)是其被积函数f(x)在[a,b]上的一个原函数，而且肯定了F(x)也是连续函数，即定理1设f(x)在[a,b]上连续，则变上限积分函数F(x)在[a,b]上可导，且F'(x)=((" f(t)dt),=f(x), xe[a,b].证如图5-5，任取xe(a,b)，Ax±0，不妨设Ax>0，使x+Axe(a,b).应用积分对区间的可加性有AF(x)= F(x+Ax)-F(x) = J, f(0)dt+ J++ (0)dt - , f(0)dt = ++ f(t)dt ,再应用积分中值定理，在区间(x,x+Ax)中存在=x+Ax(0≤≤1)，使得AF(x)= J** f(0) dt= f(x+Ax)Ax,F= f(x+ 0At).即Ax又(x)在[a,b]上连续知，limf(x+Ax)=f(x)，所以AF-F()==m+)=()若x=a，取Ar>0，则同理可证F(a+0)=f(a)；若x=b，取△r<0，则同理可证F(b-0)=f(b)，因此定理1成立.变上限定积分对上限导数等于被积函数在上限处的值．例如

第二节 微积分基本公式 145 第二节 微积分基本公式 若已知 f (x) 在[a,b ]上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要 计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分 和积分的关系，引出定积分计算的简捷的公式­­­牛顿­ 莱布尼兹公式( N - L 公式)． 一、微积分基本定理 1.  变上限积分函数 设 f (x) 是区间[a,b ]上的连续函数， x 是[a,b ]上一点，那么 ( ) x a  f t dx Ú 存在．当上限 x 在[a,b ]上任 意变动时， ( ) x a  f t dx Ú 都有唯一确定的值与之对应，因而在区间[a,b ]上可以定义一个函数 ( ) ( ) x a  F x = f t dt ,a £ x £ b Ú ， 称之为函数 f (x) 在区间[a,b ]上的变上限积分函数，简称变上限积分函数或变上限积分．其几何意义如 图 5­5 中阴影部分的面积所示． 图 5­5 2.  微积分基本定理 微积分基本定理不但回答了变上限积分函数 F(x) 是其被积函数 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，而且 肯定了 F(x) 也是连续函数，即 定理 1 设 f (x) 在[a,b ]上连续，则变上限积分函数 F(x) 在[a,b ]上可导，且 ( ) ( ( ) ) ( ) x x a  F¢ x = f t dt ¢ = f x Ú ， xŒ [a,b]． 证 如图 5­5，任取 x Œ (a,b) ， Dx ¹ 0 ，不妨设Dx > 0 ，使 x + Dx Œ (a,b)．应用积分对区间的可加性 有 DF(x) = F(x + Dx) - F(x) ( ) ( ) ( ) x x x x a x a  f t dt f t dt f t dt +D = + - Ú Ú Ú ( ) x x x f t dt +D = Ú ， 再应用积分中值定理，在区间(x, x + D x)中存在x = x +q Dx (0 £ q £ 1) ，使得 ( ) ( ) ( ) x x x F x f t dt f x q x x +D D = = + D D Ú ， 即 ( ) F  f x x  x q D = + D D ． 又 f (x) 在[a,b ]上连续知， 0  lim ( ) ( ) x f x q x f x D Æ + D = ，所以 0 0  ( ) lim lim ( ) ( ) x x F  F x f x x f x  x q D Æ D Æ D ¢ = = + D = D ． 若 x = a ，取Dx > 0 ，则同理可证 F¢(a + 0) = f (a) ；若 x = b ，取 Dx < 0 ，则同理可证 F¢(b - 0) = f (b) ， 因此定理 1 成立． 变上限定积分对上限导数等于被积函数在上限处的值．例如

146第五章定积分及其应用(Jsintd)'=sinx，（f'sintdt)'=-sinx，但(fsintdt)'=sinx是错误的，因为它不符合上述结构形式特点。为了解决上限是β(x)的变上限积分的求导问题，我们给出如下微积分基本定理的推广：3.微积分基本定理的推广定理2设y=f(u)在[a,b]上连续，而u=(x)在[a,b]上可导，则[f(t)dt在[a,b]上可导，且(F[0(x))=(fa f(t)dt)= (0(x)g(x) .证因为y=f(u)在[a,b]上连续，由微积分基本定理，变上限积分F(u)=』"f(t)dt在[a,b]上关于u可导，且(F(u)=(f"f(t)dt)= f(u),又u=p(x)在[a,b)上关于x可导，因而复合函数F(u)关于x可导，并且有(F(u)=(F(u)-(u)，所以(F[p(x)l),= f(u)·u,= f[o(x)lp'(x)定理2还可以推广，我们有定理3设f(x)为连续函数，(x),(x)皆为可导函数，且存在复合[o(x)与f[y(x)，则Ja) (d) = 0(x)(x)- v(x)(x) .例1求[sinidi的导数。解(J, sintdt)=(-f,sintdt)=-(fsintdt),=-sinx.3x =-3x sinx;例2求sintdt 的导数。解（sintd)}=sinx.2x-sinx=2xsinx-sinx;例3求xsintdt的导数解(,xsin'tdt)=(xf。sin'idi)=x'-J。sin'tdt+x(。sin'td),=Jsin'tdt+xsin'x.若所给积分的被积函数中含有变上限变量x，则不能直接用变上限求导公式，通常处理方法是将被积函数中的x分离到积分号外面或进行变量替换变到积分限上.二、微积分基本公式微积分基本定理明确地告诉我们连续函数的原函数的存在性，也揭示了定积分与原函数的联系，使我们有可能通过f(x)的原函数来求定积分【f(x)dx．现在利用微积分基本定理来证明一个重要的定理，它给出了用原函数计算定积分的公式.定理4设函数f(x)在[a,b]上连续，若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则[f(x)dx = F(b)-F(a) -该式称为微积分基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式，简称N-L公式，证根据微积分基本定理，【f(t)dt是f(α)在[a,b]上的一个原函数，所以Jf(t)dt= F(x)+C, xe[a,b].上式中令x=a，得C=-F(a)，于是

146 第五章 定积分及其应用 0  ( sin ) sin x tdt ¢ = x Ú ， 1  ( sin ) sin x tdt ¢ = - x Ú ，但 2 2  0  ( sin ) sin x tdt ¢ = x Ú 是错误的，因为它不符合上述结构形式特点．为了解决上限是j(x) 的变上限积分的求导问题，我们给 出如下微积分基本定理的推广： 3.  微积分基本定理的推广 定理 2  设 y = f (u) 在[a,b ]上连续，而u = j(x) 在[a,b ]上可导，则 ( )  ( ) x a  f t dt jÚ 在[a,b ]上可导，且 ( )  ( [ ( )]) ( ( ) ) ( ( )) ( ) x x x a  F x f t dt f x x j j ¢ = ¢ = j j¢ Ú ． 证 因为 y = f (u) 在[a,b ]上连续， 由微积分基本定理， 变上限积分 ( ) ( ) u  a  F u = f t dt Ú 在[a,b ]上关于u 可 导，且 ( ( )) ( ( ) ) ( ) u  u u  a  F u ¢ = f t dt ¢ = f u Ú ,  又u = j(x) 在[a,b ]上关于 x 可导，因而复合函数 F(u ) 关于 x 可导，并且有( ( )) ( ( )) ( ) F x u x u ¢ = F u ¢ × u ¢ ，所以 ( [ ( )]) ( ) [ ( )] ( ) F x x j x ¢ = f u ×u¢ = f j x j¢ x ． 定理 2 还可以推广，我们有 定理 3  设 f (x) 为连续函数，j(x) , y (x) 皆为可导函数，且存在复合 f[j(x)]与 f[y (x)]，则 ( )  ( )  ( ( ) ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x x f t dt f x x f x x j y ¢ = j j¢ - y y ¢ Ú ． 例 1  求 3 0 sin x tdt Ú 的导数． 解 3 3 3 0  0 0  ( sin ) ( sin ) ( sin ) x x x x x x tdt ¢ = - tdt ¢ = - tdt ¢ Ú Ú Ú 3 2 2 3 = -sin x ×3x = -3x sin x ； 例 2  求 2 sin x x tdt Ú 的导数． 解 2 2 2  ( sin ) sin 2 sin 2 sin sin x x x tdt ¢ = x × x - x = x x - x Ú ； 例 3  求 2  0  sin x x tdt Ú 的导数． 解 2 2 2 2  0 0 0 0  ( sin ) ( sin ) sin ( sin ) x x x x x x x x tdt ¢ = x tdt ¢ = x¢× tdt + x × tdt ¢ Ú Ú Ú Ú 2 2  0 sin sin x = tdt + x x Ú ． 若所给积分的被积函数中含有变上限变量 x ，则不能直接用变上限求导公式，通常处理方法是将被 积函数中的 x 分离到积分号外面或进行变量替换变到积分限上． 二、微积分基本公式 微积分基本定理明确地告诉我们连续函数的原函数的存在性， 也揭示了定积分与原函数的联系，使 我们有可能通过 f (x) 的原函数来求定积分 ( ) b  a  f x dx Ú ．现在利用微积分基本定理来证明一个重要的定理， 它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理 4  设函数 f (x) 在[a,b ]上连续，若 F(x) 是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，则 ( ) ( ) ( ) b  a  f x dx = F b - F a Ú ． 该式称为微积分基本公式，也称为牛顿­ 莱布尼兹公式，简称 N - L 公式． 证 根据微积分基本定理， ( ) x a  f t dt Ú 是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，所以 ( ) ( ) x a  f t dt = F x + C Ú ， xŒ [a,b]． 上式中令 x = a ，得C = - F(a) ，于是

147第二节微积分基本公式J°f(t)dt = F(x)- F(a) .再令x=b，即得["f(x)dx= F(b)-F(a) 在使用上，N-L公式也常写作[ f(x)dx=F(x),或[ f(x)dx=[F(x)]N-L公式就是它建立了定积分与不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在闭区间[a,b]上的定积分等于它的任一原函数在[α,b]上的增量，这就给定积分的计算开辟了一条新的途径例4计算门x/4-xdx.解 [x/4-x dx =[-(4-x)/2 /3F =8/3 .iadx例5计算07+ (a*0).Vadx解=[arctan(x/a)/al= (arctan /3)/a= 元/(3a) g2+x应当指出，应用N－L公式适用的条件是被积函数在积分区间[a,b上连续，同时由定积分存在定理知，在[α,b]上除有限个第一类间断点外处处连续的函数也是可积的.下面介绍分段连续函数的积分方法：只要把分段点及间断点作为分点，将区间[α,b]分成若干个子区间，然后分段积分再求和例6设[x2+], 0≤x≤1f(x)=3-x, 1<x≤3求f. f(x) dx解 f(x) x=J( +1) dx+(3-x) dx =[/3+x +[3x+x /21 =10/3,例7设J(n)=[z 0≤x<11≤x≤2求(x)=[f(t)dt在[0,2]上的表达式解当0≤x<1时，J(x)=x,f(t)=f，从而0(x)= J。 f(0) dt= JF dt=[/3]= x/3,当1≤x<2时，f(x)=x,f(t)=t，从而0(x) = f" f(t) dt+ f' f(0) dt = ft dt + , t dt =[r /3]l +r /21F= x /2 -1/6,[x/3,0≤x<1故d(x) =[x/2-1/6, 1≤x≤2当被积函数带有绝对值符号时，在作积分运算之前要先去掉被积函数中的绝对值符号其方法是令绝对值符号内的式子为零，求出在积分区间内的根，由这些根作为分点将积分区间分为若干个子区间，在各子区间内便可去掉被积函数的绝对值，从而变为分段函数积分，例8计算[Isinx| dx

第二节 微积分基本公式 147 ( ) ( ) ( ) x a  f t dt = F x - F a Ú ． 再令 x = b ，即得 ( ) ( ) ( ) b  a  f x dx = F b - F a Ú ． 在使用上， N - L 公式也常写作 ( ) ( ) b  b  a  a  f x dx = F x Ú ， 或 ( ) [ ( )] b  b  a  a  f x dx = F x Ú ． N - L 公式就是它建立了定积分与不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在闭区间[a,b ]上的 定积分等于它的任一原函数在[a,b ]上的增量．这就给定积分的计算开辟了一条新的途径． 例 4  计算 2  2  0  x 4 - x dx Ú ． 解 2  2  0  x 4 - x dx Ú 2 3 2 2  0  = [-(4 - x ) 3] = 8 3 ． 例 5  计算 3  2 2  0  ( 0) a  dx  a a x ¹ + Ú ． 解 3  2 2  0 a  dx  a + x Ú 3  0  [arctan( ) ] (arctan 3) (3 ) a  = x a a = a = p a ． 应当指出，应用 N - L 公式适用的条件是被积函数在积分区间[a,b ]上连续，同时由定积分存在定理 知，在[a,b ]上除有限个第一类间断点外处处连续的函数也是可积的． 下面介绍分段连续函数的积分方法：只要把分段点及间断点作为分点，将区间[a,b ]分成若干个子 区间，然后分段积分再求和． 例 6  设 2  1,     0 1 ( ) 3 ,    1 3 x x  f x  x x Ï + £ £ = Ì Ó - < £ ， 求 3  0  f (x) dx Ú ． 解 3 1 3  2  0 0 1  f (x) dx = (x +1) dx + (3- x) dx Ú Ú Ú 3 1 2 3  0 1  = [x 3 + x] +[3x + x 2] =10 3． 例 7  设 2 ,    0 1 ( ) ,      1 2 x x  f x  x x Ï £ < = Ì Ó £ £ ， 求 0  ( ) ( ) x F x = f t dt Ú 在[0, 2]上的表达式． 解 当0 £ x < 1时， 2 2  f (x) = x , f (t) = t ，从而 2 3 3  0  0 0  ( ) ( ) [ 3] 3 x x x F x = f t dt = t dt = t | = x Ú Ú ， 当1 £ x < 2 时， f (x) = x , f (t) = t ，从而 1 1  2  0 1 0 1  ( ) ( ) ( ) x x F x = f t dt + f t dt = t dt + t dt Ú Ú Ú Ú 3 1 2 2  0 1  [ 3] [ 2] 2 1 6 x = t | + t | = x - ， 故 3  2  3,    0 1 ( ) 2 1 6,   1 2 x x  x  x x Ï Ô £ < F = Ì Ô Ó - £ £ ． 当被积函数带有绝对值符号时， 在作积分运算之前要先去掉被积函数中的绝对值符号． 其方法是令 绝对值符号内的式子为零，求出在积分区间内的根，由这些根作为分点将积分区间分为若干个子区间， 在各子区间内便可去掉被积函数的绝对值，从而变为分段函数积分． 例 8  计算 2  0  sin x dx p | | Ú ．